将军饮（yìn）马问题1.docx

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1、唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.1”诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后营地B山峥A,同流再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传.这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它.如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为

2、D,在AD的延长线上，营地B取A关于河岸的对称点A连结AB,与河岸线相交于C,则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C,饮马之后，再由C沿直线走到B,所走的路程就是最短的.如果将军在河边的另外任一点C饮马，所走的路程就是AC+CB,但是,AC,+C,B=AC+C,BA,B=A,C+CB=ACCB.可见，在C点外任何一点C饮马，所走的路程都要远一些.这有几点需要说明的：(1)由作法可知，河流1相当于线段AA的中垂线，所以AD=A(2)由上一条知：将军走的路程就是AC+BC,就等于AC+BC,而两点确定一线，所以C点为最优。如图，有A、B两个村庄，他们想在河流1的边上建立一个水泵站，已

3、知每米的管道费用是100元，A到河流的距离AD是Ikm,B到河流的距离BE是3km,DE长3km。请问这个水泵站应该建立在哪里使得费用最少，为多少？解：如图所作，C点为水泵站的位置。依题意，得：所铺设的水管长度就是AC+BC,即：A,C+BC=A,B的长度。因为EF=AD=AD=Ikm,所以BF=BE+EF=4km又A,F=DE=3km在RtZWBF中，A,B2=A,F2+BF2所以：解得：A,B=5km所以总费用为：5*1000*100=500000（元）最全.将军饮马类河息（类型大全分类汇编）1如图，直线I和I的异侧两点A、B,在应线I上求作一点P,使PA+PB最小.2 .如图，直线I和I

4、的同侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。3 .如图，点P是，MON内的一点，分别在0M,ON上作点A,B。使PAB的周长最小P：4如图，点P,Q为M0N内的两点，分别在0M,ON上作点A,B使四边形PAQB的周长最小。6倍公众g：胡曷中欧学M弓”越授15QQMAtt7ffUTttC:%15378835如图，点A是4MON外的一点，在射线OM上作点P,使PA与点P到射线ON的距离之和最小6如图，点A是，MON内的一点，在射线OM上作点P,使PA与点P到射线ON的距离之和小口信公今可切您中X：寸宝目行解恐拉EQa初W中不字G乂下般也：%1S37683二、常见器型三角形问是1. M

5、IKL 在靠边 ABC 中，AB 6. A(M, BC, EflAC 上的- 4. MIgAD 上的一.0. SAE 2,求 EM-EC 的吕小嗝W.算C关于庖技AD的对解党是中B.illt BE.交AD于.克M,则ME。MD最小, 过点B作BHxAC于O H,S EH AH - AE - 3 - 2 - 1,。耻2 CHz 3 3 W在白的BHE中，BEwBH2 HE2廖产F 2 V2. JfflBL在睨角ABC中，AB = AVBAC45*. ,BAC的平分段交BC于aD, M. N分别是ADKlAB上的动点.的BM,MN的最小情艮解：作点B关于AD的灯临点B ,过QB作BtlAB于点E,

6、交AD于点F, 则K段B E的长鼠是BM + M N的晶小值在 谆攫田AEB中，枳抠勾般定在得到，BE3. MIIE. ABC , AB2, zBAC30,若在AC、AB上各取一点M. N.使8M*MN2?俏品小，财这个最小值W：作AB关于AC的对熔蛭田AB.过点B作BNlAB,中足为N,交AC于点M,即B N MBMN MB*MNBN的长航是MB*MN的最小值则/B AN 2BAC 60,. AB, - AB - 2.zANff 90, B 30,oAN-I在自角ABN ,粮抠勾技定IiBNy相僖公众与：粉布中被学星典mMH!1M5QQM曷中数学43不找群：961537883正方形问题1 .

7、如图，正方形ABCD的边长为8,M在DC上,DM-2,NJiAC上的一动点，DN+MN的品小Ia为8D在at6AC上求一点N,使。N*MN最小4D解：故作点D关于AC的对称点B,dttBM,交AC于点NKDNMN三BNMN-BM戊皎BM的长轨是DN+MN的最小值在R的BCM.CM-6,BC-8,5MBM-10放DN+MN的品小偷足102 .知图所示，正方彩A8C0的面积为12.ABE相等边三场形.点E在正方影ABCD内,在对角秋AC上有一卓P,使PD+PE的田品小.魁这个Ia小值为）A.2.B.2yfC.3D,M：因在AC上求一且凡使PEPD的伯国小gD关于白拽AC的对称点星点B,连陵BE交A

8、CP.划BEPB+PE-PDRE.BE的长豉宗PDWE的修小份BE-AB-23J3 .在边长为2（限）正方形ABC。中,点。为BC边的中点,eP力对角城AC上F点，iikPfl、PQ,郑PBo级长的最小第为0（场果不取也仅值）解：在AC上求一/P,使PB*PQ的俏星小GB关于AC的对称自是。克.Ii接DQ,国AC的交点P就是潴足柒件的点DQPD+PQPB+PQ故DQ的长弱是PBPQ的最小信在电他CDQ中，CQ1,CD2用Ig勾收定0L密，DQ*户4 .如图.四边形ABCD算正方形,AB10cmE为边BC的中点.P为BD上的一个动点,求PC*PE的日小怕;M：AttAE1交BD于京P则AE做是P

9、E+PC的鼻小稔在鸟离ABE中，京（AE的快为V冷偈公众号物隹中依字工与便巧Q0WAtt7flTttW.1537883矩形同Ie1.Kffl.占四必先ABCOIB正彩.AB-10cm.BC20cm.E为边BC上的f西窟,P力BD上的一d30,3POPO的小偷；W：作点C关于BD的对号点C,视点C.作LBC.父BD于点凡为CEetfi!PEPC的小0Rm BCD . CH-Rm BCH 中,BH-8CC的而仅为：BH-CH-UOCfwBC-2-160HCE-16萎形同用1.右四泗ABCDfli形,Afl-IOcm,zABCPO-PA*PDAD的长就型PAPD的小OISAPD-4fitflMABP

10、B,AB-4,BP-1W网勾收这If.mAPa撤偌公&0.物居中数学宝理厉“如*巧QQ制宿中的军卡，不粒RT9615373(B的有关问黝1 .已加。的面及CD为4.，AOD的度敖为60二巨B晟AD的中点,在京桂CD上打一点P,使BPMP的的最小.开XBPMP的Sl小3.解：在以及CD上作一点P使PA+P8的俄修小作点A关于CD的对称aA.dttAB,交CD于点P,则AB的长就同PAPB的最小tn连接OA，.OB.WzAOB-W.OA-OB-4料医勾股定理，AB-42f2 .如圉，AWlt宗楼为1的。的自径，04在。上.&AM*W.8为4V期中0PSM-D.W4+叩的尾小偷为()A7By/2C1

11、D2HiMN上求一且P,使PA48的值最小作点A关于MN的对馨点AlMJAB交MN于电P.则点PftUS跖要性的点AB的长歌是PA*PB的最小的fitt0A08.a二OAB是等雄白话三黝影AB-y2一次函数问麴20.一次的敬y-fc*ft的图等与X、y辖分别交于由AC,).B0,4)(1)求谖丽芸的解析衣;(2) 0为生好厚.0,设OA、AB的中点分别为C、D. P为OB上一切点.求PC+PD的品小值.并求取御后小值EP点生糠.W:(1)在蓝邑田：02x+b,4bNSK2,b三4,y2x*4(2)作点C关于yW的对即点CCD,交y的于卓P则CDCP*POPOPDCg就是PC/po的1小馆dtt

12、CD,ftCD-2.CC-2在自第CCD中.楷男勾收定IfCD22秋烧CD的H折式.由CZ.0),0(1,2).有O-K+b,2k+b解耳k1,b1,yx*1xOM.y-1,WP(Ot1)tM偿公众司.前总中也于M团与Ii桂附15。0叨昌中外字底9637fi3二次函数同建1.如国,EIa/坐除家中.点A的生标力(-2,O).0A,秘线国OA绕原由O联时H差转120,5O(1)求点B的重标；(2)求扭过Z0.B三嘉的附粉我的第折式；O)在(2)中跄翔愎的对答但上品否存在目a使Boejgt三?昌存在求出白C生汉；居不存在，谓说明理由MB(L3)V厂0.433(3)点。关于对希电的对林声融点A,dt

13、fAB,交对称Ul于点ajBoC的阊长i小y.X2*:.X-IW.y史3333C(-l,W)2.加图，在角坐林系中,A,B,C咏活淞协内，0),0,0,3)i1A,B,C三总的为海视的对杵咕为自收/,D力庖城/上的T限点，1求雌!我的解析式；(2)未当AaCDm小S点D的堡惭；(3)以点A力圆心.以AO为母理作国A；*-Bfl:当AD*8小时,线BD号RlAIe切;。与想庖我8D与日A相出勾，QD的另一个生。HitBC,交感线I于中DftDA*OCDB*DC-BC.BC的蚊耽*AO*(C的显小值BC：y-X3则1钱BC与日纹X1的交点D。，2).3.冷空谖yaxbf(3对临的为x1与XIe交于A.B两声，马y建交于GC,艮中A(30)、C(0.2)0)求这条加松堡的房敷或达式.(2)己如在对衿箱上存在一点P,便值PBC的网长最小.谓求出点P的生M-(3)茗点DjItIlSoC上的一个动点(不写点0.京C星合).这点D任DEJPC交XIa于点E,dPD.PE.设CD的长为mPOE的面根为S.求SMmN同的函融关系式.演说IflSfiH5#右U大值,西存在，曲求出最大的；者不存在,后说喇理由.收得也锄烧的解析式力y域AC的M标式为ykxW,A(3,0).fW.Lb.2|除b32直线AC的薪斫K为y-x2344.fcIXAWy-