2024数列求和的8种常用方法(最全).docx
2024数列求和的8种常用方法（最全）（1）求数列前11项和的8种常用方法一.公式法（定义法）：1.等差数列求和公式:特别地，当前项的个数为奇数时，S2+1=（2+1）1,即前项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算；2 .等比数列求和公式：（1） q=,Sn-na；（2） ql,S“=1.,特别要注意对公比的讨论;-q3 .可转化为等差、等比数列的数列；4 .常用公式：(1) 1+2+3+1.+/2=-«(/?+1)；=2nI11(2) Yk2=l2+22+32+1.+n2=U(+1)(2+1)=-(+-)(+1);632(3) =I3÷23+33÷1.+；=2(4) £(21)=1+3+5+1.+(2-1)="kl例1已知l0g3X=,求X+f+d+"的前项和.log23解:由log3x=-；=>log3X=Tog32=>x=二Iog232由等比数列求和公式得S11=x+÷x3+1.+Xw(1C)17112,例2设S.=1+2+3+，"N*,求/()=以的最大值.(n+32)5,f+1解：易知S”=g(+1),S“x=g(+l)m+2)(n+32)Sw+ln2+34÷64+34+64(6-押+50<150当即，2=8时，）max=.二.倒序相加法:如果一个数列4,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前项和即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个（4+4）例3求si1。+sin22o+sin23o+sin2880+sin289'的值解：设S=Sin2r+sin220+si3°+-+sin288°+sin289°将式右边反序得S=sin289o÷sin288o+sin23o+sin22o÷sin2(反序)又因为sinx=cos(90o-x),sin2x+cos2x=1+得(反序相加)2S=(sin2+cos2)+(sin22c+cos229)+(sin289°+cos289o)=89S=44.5例4函数/(x)=,求/(1)+/(2)+÷(2012)÷f-Vf-5-+/(1+/的值.11AZU1/，Z)Ily三.错位相减法：适用于差比数列（如果4等差，等比，那么4叫做差比数列）即把即：(1-x)Sn=l+2x(2-1)xm1-x.e(2n-l)xn+,-(2?+l)xn+(1+x),=八9(I-X)2变式求数列2二,与,W,前项的和.222232”解：由题可知，券的通项是等差数列2的通项与等比娄g.C2462小s11-2+2+2t+,"+FIc246flne22223242n1G小句八1、C222222n一得，(l-)5,l=-+r+r+-rC12=2-'III2-i2"+Srt=4-Z四.裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消与组合思想(分是为了更好地合)在数列求和中的具体应用.攵列£的通项之积（设制错位）（错位相减）,只余有限几项，可求和。这是分解裂项法的实质是将数列中的每项（通如：等比数列的前项和就是用此法推导的.例5求和：S.=l+3x+5+7+（2_I）XI解：由题可知，（2"-l）i的通项是等差数列2-1的通项与等比数列*的通项之积设xSn=lx+3x2+5x3+7x4÷+（2-1）xh（设制错位）一得（1-x）Sf,=1+2x+2x2+2x3+2x4+2xm,-（2n-1）xm（错位相减）每一项都乘以色的公比°,向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和.项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.适用于是各项不为O的等差数列，c为常数;常见裂项公式：(1)n(n+1)nn+nn+k)knn+k(2)(3)(4)，其中4部分无理数列、含阶乘的数列等。其基本方法是）（q的公差为）；4,q+danan+l_1f=-（7-）.（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）；A+A+d-I：(一1)5+1)2n(n+1)(n+i11+2)a,'(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l(2尸n(2h-1)(2h+1)=，4(2n-l2n÷l);%二q,=25+Di_1.=_1.T_WJSrt=I-1.-"11(h+1)2nn(n+1)Tn2,'5+1)2""5+1)2"(6)一小一=tan(+l)Jan*cosivcos(+1)°(7)5+1)!1_1M(+1)!(8)常见放缩公式：2（g-«）厂_厂<-<-b11+1+如如yjn+:-1=2(yn-yjn-l).求数列f=，-f=-F=,(=,的前项和.1+-v2J2+J3+ly/n+yJn+1（裂项）则Sn=-.+.1+xf,yp2.+>/3yti+J九+1（裂项求和）(2V)+(3-V2)+÷(J+1V11)=h+1-1例7求和S'=-+一+一十"1x33x55x7(2n-1)(2?+1)例8在数列4中，4=，又打，求数列也的前项的和.解:：bll=8(-)n+1（裂项）22数列出的前项和Sn=8(l-)+(-i)+F-)+(-一)(裂项求和)22334nn+1=8(1-n+=红cos0ocosCOSl0cos2ocos88cos89csin2角相设S=1+!+!cosOcoscoscos2,cos88ocos89o=tan(11+i)o-tann(裂项)COSZlocos(11÷l)°S=!+1+!(裂项求和)cos0ocoscoscos2cos88°cos89o=(tanlo-tan0o)+(tan2-tan)+(tan30-tan2o)+tan89o-tan880sin1zCc。z1”cos=(tan89-tanO)=cotl=；sinsinsin2原等式成立113563变式求s”=g+%-91(-5×1-2I-9-1(-71T91-2-+1-7)Zlx1-7+五.分段求和法：例10在等差数列叫中4。=23必5=-22,求：(1)数列也前多少项和最大；(2)数列前项和.六.分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，可把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例11求数列的前项和：l+l,'+4,+7,工+3-2,aa2a"-角相设SZl=(I+l)+('+4)+(I+7)+(4+3-2)aaan将其每一项拆开再重新组合得S“=("+4+工)+(1+4+7+3-2)(分组)aaa当=la=l时，S=+(3"T)"=(3"+1).(分组求和)22当"时S1.X=上+112a-121a例12求数列(+1)(2+1)的前项和.角相设以=%伏+1)(2%+1)=2/+3/+左S”=/伏+1)(24+1)=力(223+3r+幻火=IA=I将其每一项拆开再重新组合得=2+32+A;(分组)JI=IJt=I=1=2(l3+23+n3)+3(12+22+n2)+(1+2+n)(分组求和)_2(n+l)2n(n+1)(2+l)n(+l)=11222_(+1)“+2)2变式求数列公尺，。+占,的前项和.24XI2,=(1+2+3+)+(；+J=-(n+l)+l-2211七.并项求和法：在数列求和过程中，将某些项分组合并后即可转化为具有某种特殊的性质的特殊数列，可将这些项放在一起先求和，最后再将它们求和，则称之为并项求和.形如为=(-),W类型，可采用两项合并求.利用该法时要特别注意有时要对所分项数是奇数还是偶数进行讨论.例13求COSIo+cs2o+c0s30+.+cosl78o+cosl79o的值.解：设Sn=coslo+cos20+cos3o+.+cosl78o+cosl79ocos=-cos080-no)(找特殊性质项)Sn=(coslo+cosl79o)+(cos2o+cosl78°)+(cos3o+cosl77o)+l÷(cos89o+cos910)+cos90o(合并求和)=O例14数列4：al=l,2=3,a3=2tan+2=an+i-an,求S2002.解：设S2002=a+4+"*"2002由q=1.a2=3,Ct3=2,an+2-an+l-an可得4=T,%=_3，4=_2,c1=1,8=3,a9=2,10=-1,11=-3,12=-2,6八1=1，642=3,A7=2,4=-1,fl6jt+5=-3,6+6=-2*a6k+a6+2+。6«+3+a6k+4+。6«+5+。6人+6=。(找特殊性质项)*S2002=a+&+。3“2002(合并求和)=(1+a2+3+a6)+(7+a8+12)+÷(6jt+1+a6k+2+jt+6)HF(993+994-11-1998)+。1999+a2000+°2001+°20021°1999+a2000+a200l+。2002=a6k+i+a6k+2+a6k+3+a6k+4=5例15在各项均为正数的等比数列中，6Z56Z6=9,<log31+log3tz2+Iog310¾t.角单：设S“=log31+log36t2+log34Z10由等比数列的性质机+=p+4=>anall=apaq(找特殊性质项)和对数的运算性质logrtM+logrtN=logrtM-N得StI=Qog3%+log3010)+(log3a2+log309)+Gog3a5+log3a6)(合并求和)=Qog3fl10)+(log329)+(log356)=Iog39+Iog39+log39=10变式Sn=I2-22+32-42+52-62+992-1002.A.利用数列的通项求和先根据数列的结
