(内容提要)-3--方程组的解法.docx

第三章线性方程组的解法一、基本内容提要1 .高斯消元法高斯消去法（GaussEliminationMethod）是一种规则化的加减消元法。基本思想是通过逐次消元计算把须要求解的线性方程组转化为上三角形方程组，即把线性方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组的求解转化为等价（同解）的上三角形方程组的求解。2 .高斯消元法的消元过程求解元线性方程组的Gauss消元法的一般步骤，将方程组设为如下形式+÷,X=°+ax2+<+÷娓Xn=姆）可简记为Ax=blli,其中A=A,b=b。第一步：设需）0,记乙=端）/域）。=2,3,），将上式中第i个方程减去第1个方程乘以乙（i=2,3,），完成第一次消元，得其同解方程组ani+a12x2+'=°感工+碍"”=欧）+=其中42）=4DTa）,甲=MDT占=2,3,明此方程组简记为AX=。其次步：设0,记j2=,（i=3u）.将上式中第，个方程减去第2个方程乘以心。=2,3,），完成其次次消元。第-1步：设4-1次消元完成后得原方程组的同解方程组为+2x2+kxk+an×n=仇感工+成无+a2n×n=b2)或工+燃工=必atX+*4=b简记为A（八）X="A)。设磺)0,记4=4，/？(i=Z+l,/1)。将上方程组中第，个方程减去第Z个方程乘以4(i=A+l,)，完成第A次消元，得同解方程组4?2+吧+akxk+',J,+a?n×n=甲建工+WX+l+÷唠工=嫡,或工+43k+4，%=姆-+皓:X=淄D擒XkJ+喈5=仁)其中尾"D=媒)_(端)力产D=理)TSA)Gj=A+1,。按上述作法，完成T次消元后，原方程组化成同解的上三角方程组a”X+at2X2+3>q“X“一”Y工/,(2)丫,_(2)v一。2212+。2313+.+“2”2喟七+WH=娟点x=b?一般简记为AWX=6")回代过程按向量的逆序逐步回代得方程组的解Xk=Sf)-丑4?巧)/暇(A="l,"-2,1).=+l3 .列主元GaUSS消去法对于线性方程组Ar=从可设一知2a),b;r.,b)A,h=-n勺2。"列主元Gauss消去法的详细过程如下：第一步：首先在上增广矩阵中的第1列中选取肯定值最大的元，比如为/，则N/二哨|明。将第1列与第i列互换。为便利起见,记行互换后的增广矩阵为A,力,然后进行第一次消元，得矩阵。4.4b“11w12ulnUz,(2)z7(2)r(2)a,b=a22a2n”2z,(2)“(2)l,(2)an2annbn其次步：在矩阵b田21的其次列中选主元，比如喈，使I第=舞耳W将矩阵A,b的第2行与第4行互换，再进行其次次消元，得矩阵A,。第上步：在矩阵A,*的第上列中选主元，如43使同)|=%潸限|。将4（八）,/>（八）的第k行与第4行互换，进行第k次消元。如此经过-1步，增广矩阵被化成上三角形，最终由回代过程求解。4 .矩阵的杜利特尔(Doolittle)分解设A=1.U,其中1.为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵。1此分解过程即被称为矩阵的杜利特尔（DOoEUe）分解，也被称为1.U分解。5 .干脆三角分解法假如线性方程组Ar=力的系数矩阵已进行三角分解，A=1.U,则解AX=力等价于求解两个三角形方程组U=AUX=y,即由1.y=1410100QO-01y>2.=b'h2A_可求出然=V4k1-v;1.目(D(=2,n)再由Ux=wIIu20u22WI3/3wli2n=必一必000Unn_3_y.解得unn（女二）"（M一mVumc伏=一1,1）M+16 .三对角方程组的追逐法设'bxCl'a2b2c2A=.=1.U其中4,%”为待定系数，依据矩阵乘法规则，可得A=w>ri=ci'ci=IMiT(i=2,3,Mbi=riJi+ui假如%0（i=l,2,可得%=A<li=aiuj（j=23M=-（-1OOOwG，21OOU2A=1.V=Ob1OOOO/1O方程组可化为求解方程组U=d和UX=y。解1.y=d得< .(&=2,3,MI=4-mt再解UX=y,得方程组的解"=yJunz,Ion< (=h-1,m-2,1)k=(yk-cJk上述方法即被称为求解三对角方程组的追逐法。7,改进的平方根法对称正定矩阵4肯定有形如A=1.Dzr的分解，其中1.为单位下三角阵，。为对角阵，矩阵A作1.OAr分解后，解方程组Ar=)可分两步进行：先解方程组U=方，再由01工=丁求工。详细计算公式为y=Kk-X=%-/m伏=),)；=1n=ynldnn< yk-EUkjXj=X，-=T，7)求解线性方程组的这一方法称为改进的平方根法，也叫1.o法。8.向量范数若IHl是向量空间r上的实值函数，且满意条件(1)非负性：对任何向量XWR，国0,且国=O当且仅当X=0；(2)齐次性：对任何实数和向量xRn,x=x；(3)三角不等式:对任何向量x,ywK",x+M国+帆则称Ii为向量空间rh上的范数，IiN为向量X的范数。理论上存在多种多样的向量范数，最常用有如下三种：(1)2范数国2=JX；+*+片1一范数H1=k,=l(3) 8-范数x=maxxj111,001*11"u9 .矩阵范数若IHl是以阶方阵为变量的实值函数，且满意条件：rMR°，且闷=°，当且仅当a=。：20对随意实数,都有IlaAlI=IaIlM|；3°对随意两个阶方阵Al都有A+BA+B；4°abab(相容性条件)。则称同为矩阵4的范数。设阶方阵A=Sg),常用的矩阵范数有：1一范数A1=rmx,jZ=I(2) OO-范数K=三x¾7=(3) 2范数IIAIl2=，<皿(47A),其中；ImaX(ArA)表示A的最大特征值。10 .病态方程组假如矩阵A或常数项的微小改变，引起方程组AX=)解的巨大改变，则称此方程组为"病态"方程组(IlIConCliIionedSystemofEquations),矩阵A称为"病态”矩阵(相对于方程组而言)，否则称方程组为“良态”(Wen-behaved)方程组，A为“良态”矩阵。11 .条件数设A为非奇异矩阵，称数同MTll为矩阵A的条件数(COndiIiOnNUmber),记为cond（八）=AA,常用的条件数有CMd（八）8=MIeJA-1.其中4，儿分别为矩阵的的最大特征值和最小特征值，故Cod（八）2又称为谱条件数。特殊地，假如A为实对称矩阵，4(i=l,2,)为A的特征值，且,则cond（八）2=jI对方程组心=)，当em（八）>>l时，方程组是病态的，否则，方程组是良态的。12 .雅可比(JaCObi)迭代法若方程组11x1+12x2+.C1.Xtt=ba2lxl+a22x2+.ahlxn=b2内+42工2+"/”=2的系数矩阵A非奇异，且设%Hoa=I,2,)。可建立迭代公式(+l)1z(k)(k)(),Xl=(a2x2a3x3anxn+4)ax2=-(-a2lxl-a2ix3a2flx,l+b2)(Jt+1)1z(i)(*)(),r=一-anxan2x2an,-ixn-l+2)选取初始向量X后，反复迭代可得向量序列卜.，满意工"X)=8fA)+g(Z=O,1,2,)此计算过程所给出的迭代法称为JaCObi迭代法,，6为迭代矩阵，可把系数矩阵A分裂成A=D-1.-U其中D=市。g(q,2，。)，有X(AM=D-I(1.+u)x（八）+。-%,即B=D-l(1.+U)=D1(D-A)=Z-D,A,g=D'b13 .Guass-Seidel迭代法若选取初始向量X，用迭代公式i°)=(4°。.,4°)7(初始向量)，铲铲一次明力”=1j=i+(z=l,11=O,l0产生近似解序列x（八）,这种迭代方法称为Gauss-Seidel迭代法。14.松弛法(ReIaXatiOnMethod)若记按Gauss-Seidel迭代公式得到的第k+1次迭代结果为£"=_1.Sj_NaH>)(i=1.2,川an=j=i+这里，W""只作为一个中间值。引入实参数。，将第2次迭代结果引幻与W""的加权平均值作为XfT,即靖川=(I-)xky+超T)=靖)+(x-x)记x=(AX,AX2，A")'=Wr'"一x®，Ax,=戈尸)一X尸得到公式3AD=X+如即x=x+xl=0-MXF)+(，一勺疗川-Xaijx)(i=1,2,)aii=1=r+l按上式计算方程组的近似解序列的方法称为松弛法(RelaXaIiOnMethod)。由于三角分解过程非常规律，也可按紧凑格式干脆得到(171°1°其中折线右上部的元素（竖线左侧）为上三角阵的元素，最终一列为y的元素，故一4_ox4=5=2，x36-x422,=3-工4=1，为=52x3=1例3.5用平方根法（CholeSky分解）解方程组3、0X2丁分析由于系数矩阵对称正定，故肯定有分解形式A=1.1.,其中1.为下三角阵,然后由矩阵乘法即可求出1.的元素。3012由矩阵乘法得21,22kt3l，22,32337=3,I22=y23,I32=-V6，33=V33233八解得M=爰，力11=飞'%=耳。再由,22IV力U3,/