概率论与数理统计试卷.docx
概率论与数理统计试卷（预选）（4学分）-（10分）.盒中有6只灯泡，其中2只次品、4只正品，现从中有放回地抽取两次（每次取出1只），求下列事件的概率：（1） A=两次抽到的都是次品;（2） B=一次抽到正品，另一次抽到次品。解：（1）p（八）=15分6×69（2）P（B）=-=-5分''6x69二QO分）.现有两种报警系统A与B,每种系统单独使用时,系统A有效的概率为0.92,系统B有效的概率为0.93。在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85。试求:（1）在B失灵的条件下，A有效的概率;（2）这两个系统至少有一个有效的概率。解：P（八）=0.92,P=0.93,P(BIw)=O.85(DMA回=)_P（八）-P(AB)_P（八）-M8)+MX8)1-P1-尸=0.82865分10分NA)"+响曲区)0.920.93+(l0.92)x0.851-0.93I-P(2) p(aub)=p(ab)=p（八）-p(ab)=1-P（八）+P（八）P(fi|A)=1-0.92+(1-0.92)×0.85=0.148三QO分）.设连型随机变量J的分布函数为F(x)=4a+&2,>0,O,xO,(1)求常数A、B；(2)求4的概率密度/(%);(3)求尸(K"2).(q解：(1)因网+oo)=IimA-vBe=A=I2分x÷x>/(Iim/(%)=IimA+Be=A÷=F()=Ox+0.r)/B=-I4分(3) /U)=-r(x)=j2,x>。，7分dxo,x0,(4) P(IVgV2)=F(2)-F(l)=”-e210分四(10分).设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1,0,2,0.3,从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，求这件产品为正品的概率。若取出的产品为正品，它是甲厂生产的概率是多少？解：设A=甲厂产品,B=乙厂产品,C=丙厂产品1分则任取一箱，抽中三厂的产品概率分别为尸（八）=0.5,P(B)=0.3,尸(C)=0.23分设H=正品,则百=次品三厂产品的次品率依次为P(MA)=0.1P(耶)=0.2MMC)=O.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，这件产品为正品的概率：p（三）=-p（三）=1-P（八）p(ha)-P(B)P(MB)-P(C)P(司C)=0.83若取出的产品为正品，它是甲厂生产的概率:P(H")=0.5410分五(10分).设随机变量X和Y的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求:(1)随机变量X和Y的联合分布函数;(2)随机变量U=X+Y的方差。解：(1)三角形区域的面积:S=O.5随机变量X和Y的联合分布的密度函数:/Uy)=2,0<%<y<1,0,其它当xO,或y0时,尸(Ky)=O当0<yvxl时，Fay)=O当0<xyl时，F(x,y)=(x+y-l)2当0<xvl,yl时，F(x,y)=2X当l<x,0<yl时，F(x,j)=当l<x,IVy时,Fay)=I(2)D(U)=DX+DY+2cov(X,y)6分叱=T(2"2声÷vv=×(l-+7分DX=EX2(EXy=9：18Dr=Ey2-(Fy)2=-113183636cox,y)=e(xy)-exey=-×-'''1236368分10分六（8分）.设V服从5（%P）二项分布,V6'>0,证明:证明：因为Hg=P,。="力3分nJknn由契不雪夫不等式，v>o,0>2"7)06分I)n所以，Iimj基-P>，=08分“T8In七（12分）.设有N个盒子n球,现将n个球随机地放入N个盒子里，设每个球等可能放入任一个盒子中，以X表示空盒子的个数，求EX,DXo解：令Xj=,1,若第i个盒子无球口之一-，N0,否则P(Xb)=1-贯,P(X=O)=l-f1-1i=1,2,N2分EXi=Cn,DXi=1-Ji=1,2,一-,N3分N(1AEX=>EXj=Mlr,InJDX(N=DXi<I=NNN/=+¼)i=i=j=P(XjXj=I)=P(Xj=1.Xj=I)=(I-三)，i,j=1,2,-,N,且iw7分p(xzX7=)=l-fl-l,i,j=1,2,-一,N,且iw8分IN)E(XjXJ)=P(XjXj=I)=(I端9分Cov(xiXj)=(-fl-"I5i,j=1,2,-,N,且iw10分N),N)(用H用MwI2分八（8分）.设3%,是相互独立的随机变量，且都服从标准正态分布，求常数c,使/（*£）服从t分布。届+M解：因笈普1.N（O）2分y2+4÷-Z2(3)又。）与+身+g相互独立则答/标E=奈焉知所以，C=W九（12分）.设总体4的密度函数为f(x)=(7+l*,Ovxvl,久会白为其子样，求参数B的矩估计与极大似然估计。解：E"J>1）T耨T、鼎3分B的矩估计：3=16分1-彳极大似然函数：1.怎4,4)=立(2+1岳J+y立”8分/=1/=IIn痣,基,4)="ln0+l)+lnO9分/=1分必务Y)=黄+N,1。分4÷ln=0,B=Y-112分夕+jln/=I十（10分）.北京市某小学四年级学生进行体检。随机抽取16名女生测得身高的样本均值8=132.4,样本标准差0=6.98;在天津市某小学随机测得15名四年级女生身高的样本均值7=133.4,样本标准差邑=7.48。假定这些女生身高均服从正态分布，试问:(1)两地女生身高的分散程度有无显著差异？(=0.01)(2)两地女生身高有无显著差异？(=0.01)一242解：(1)H0:-¾-=!,“j312分O"2ClF=S：/5；网15,14)3分因=IS=087<4oo5(15,14)=4.07,则接受H04分7.48答：两地女生身高的分散程度无显著差异。5分(2)H0:w1-U2=O,/l:M1w2O1分T=(-2)2分S尸一)1nIn2因ITl=0.385l<r0005(29)=2.76,勺=16,%=15,SIv=!-(H1-I)S12+(H2-I)Sj)=7.233分则接受。答：两地女生身高无显著差异。常用的形容词与副词affectionateaggressivealertarduousartisticauthoritativecogentcompassionatecompIicatedcorruptdemandingdesirableeccentriceviIexoticfaIIaciousfeasiblefictiousfruitfulglamoroushumaneimpressiveinbornindecentindispensableinexhaustibleinfectiousinferiorinfirminfluentiaIingraininhumaneinsaIubriousinstructiveinteIIectuaI有感情的上进心的敏锐的，警惕的费劲的艺术性的权威性的使人信服的富于同情心的复杂的腐蚀要求高的古怪的古怪的邪恶的异国的荒谬的可行的虚假的有成效的富有魅力的人道的给人印象深刻的天生的不妥的，不检点的不可或缺的取之不尽的传染性的低人一等的弱的有影响力的根深蒂固的不人道的有害无益的有教育意义的智力的interiminterpersonalintimateinwardirreparableirresistibleirritatingmaturemisleadingloyalmisrepresentedmoney-orientedobscurepermissiveperniciouspoisonouspotentiaIpragmaticpreferentialprevaiIing中间的，过渡的人际关系的密切的内在的不可挽回的不可抵挡的恼人的成熟的误导的忠诚的误传的向钱看的晦涩的宽容的，许可的有害无益的有毒的潜在的务实的优惠的常用的形容词与副词affectionateaggressivealertarduousartisticauthoritativecogentcompassionatecompIicatedcorruptdemandingdesirableeccentriceviIexoticfaIIaciousfeasiblefictiousfruitfulglamoroushumaneimpressiveinbornindecentindispensableinexhaustibleinfectiousinferiorinfirminfluentiaIingraininhumaneinsaIubriousinstructiveinteIIectuaI有感情的上进心的敏锐的，警惕的费劲的艺术性的权威性的使人信服的富于同情心的复杂的腐蚀要求高的古怪的古怪的邪恶的异国的荒谬的可行的虚假的有成效的富有魅力的人道的给人印象深刻的天生的不妥的，不检点的不可或缺的取之不尽的传染性的低人一等的弱的有影响力的根深蒂固的不人道的有害无益的有教育意义的智力的interiminterpersonalintimateinwardirreparableirresistibleirritatingmaturemisleadingloyalmisrepresentedmoney-orientedobscurepermissiveperniciouspoisonouspotentiaIpragmaticpreferentialprevaiIing中间的，过渡的人际关系的密切的内在的不可挽回的不可抵挡的恼人的成熟的误导的忠诚的误传的向钱看的晦涩的宽容的，许可的有害无益的有毒的潜在的务实的优惠的常用的形容词与副词affectionateaggressivealertarduousartisticauthoritativecogentcompassionatecompIicatedcorruptdemanding有感情的上进心的敏锐的，警惕的费劲的艺术性的权威性的使人信服的富于同情心的复杂的腐蚀要求高的desirableeccentriceviIexoticfaIIacio
