矩阵秩的相关结论证明及举例.docx
华北水利水电大学矩阵秩的相关结论证明及举例课程名称：线性代数专业班级：能源与动力工程热动101班成员组成：王威威联系方式：2014年12月30H一：摘要矩阵的秩是数学中一个极其重要并广泛应用的概念，是线性代数的一个重要研究对象，因此，矩阵的秩的结论作为线性代数的一个重要结论已经渗透到各章节之中，他把线性代数的内容紧紧联系在一起，矩阵的秩作为矩阵的一个重要本质属性那么贯穿矩阵理论的始终，所以对矩阵秩的研究不仅能帮助我们更好地学习矩阵，而且也是我们学习好线性代数各章节的有力保证。关键词：矩阵秩结论证明英文题目AbstractlMatrixrankisanextremelyimportantandwidelyusedinthemathematicalconcept,isanimportantresearchobjectoflinearalgebra,asaresult,theconclusionoftherankofmatrixasanimportantconclusionoflinearaIgebrahaspenetratedintochapter,associatethecontentofthepositivelinearalgebraandmatrixofrankasanimportantessentialattributeofthematrix,however,throughoutthecourseofthetheoryofmatrixsothatthestudyofmatrixrankcannotonlyhelpusbetterlearningmatrixandchapterwelearngoodlinearalgebraKeyWordszmatrixrankconclusionproof二：正文1：定义定义1.Il在矩阵A=(%1.中任意取k行k列(lk<min(m5n),位于这k行k列交点上的k*2个元素，按照他们在矩阵A中的相应位置所组成k阶行列式称为矩阵A的一个k阶子式。定义1.12假设mn矩阵A中至少存在一个r阶子式不为0,而所有r+1阶子式(如果有的话)全为0,那么称r为矩阵A的秩,记为Rank（八）,或简记为R（八）。此外，我们规定，零矩阵的秩为02：矩阵秩的相关结论证明及举例2.1矩阵几个重要结论的证明：结论1对于任意矩阵A,有(4)=乂4)。其中A是矩阵A的转置矩阵.证因为M=IA,那么A与同的不等于零的子式的最高阶数相等，即心)二44)结论2对于任意矩阵A,有A)=),其中k是非零常数.证因为KA与A的不等于零的子式的最高阶数相等，那么一(公)二(4).结论3对于任意矩阵A,r()r（八）,其中A*是矩阵A的伴随矩阵.证当r（八）=n,即A可逆时，由于卜二同"故4*也是可逆的，即r(A>n,当r（八）=n-l时，有IAl=0,于是从而r(A")l,又因为r（八）=n-l,所以至少有一个代数余子式&0,从而又由(a*)n1,于是(a*)=1,当0r（八）一1时，A*=0,即,当r（八）=r(A*)=，1,当r（八）=/i-l此时代)=0.那么0,当(4)<-1即r().结论4r(AB)nin(r()r)证设AmX/4“J（八）=(8)=s,因为r（八）=r,所以存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=(O)'于是r(AB)=rPAB')=PAQQ'rffB,作、rAB)=rlr0)=r其中用=0=陶所以1.l00J：:显然最右边一个矩阵的秩不超过它的非零行数r,也不超过<4)=s,所以r(AB)mn(r（八）,r()>结论5设A,B,C分别为机乂,又,乂4矩阵，那么F中mC-AABOYO-ABC.证因为，所以I。/人BBC)bo)结论6设A,B均为n*m阶矩阵，那么r(A+B)至r（八）+r(B).证明：设A=(al,a2,an),B=(bl,b2,bn)那么A+B=(al+bl,a2+b2,an+bn)于是r(al+bl,a2+b2,an+bn)=r(al,a2,an)=r(bl,b2,bn)故r(AB)r（八）+r(B).结论7设A,B均为n阶方阵，那么r(ABE)r(4-E)+,(B-E)证明例设A是n阶可逆矩阵，且勺=试用a,B,C表示X。CX解已。CXbr2-CA-'×hri、ABOX-CA-lBhr2-brl×A'lB、-AOoX-CA1B那么r"B=r()+r(x-C4,B)=rt÷r(x-C4,)=11CX结论8r(A,B)r（八）+r(B)证明：设A1.A2,A3Ar为A的列向量的极大线性无关组,B1,B2,B3BS为B的列向量的极大线性无关组,那么(A,B)的列向量均可由A1,A2,A3.Ar,Bl,B2,B3Bs线性表示.r(A,B)rAl,A2,A3.Ar,Bl,B2,B3Bs,而Al,A2,A3.Ar,Bl,B2,B3.Bs中线性无关的向量一定不超过r+s个，所以r(A,B)r（八）+r(B)结论9设A,B都是n阶非零矩阵，且AB=O,那么A和B的秩都小于n因为AB=O,所以r（八）+r(B)Wn,因为A0,B0,所以r（八）1,r(B)1,所以1r（八）n,1r(B)n结论10对于任意方阵A,必存在正整数m,使得r(A*(m+l)=r(A*m)证明：由结论4知r（八）r(A*2)r(A*3)r(A*k)而(rA)是有限数，上面不等式不可能无限不等下去,那么一定存在正整数m,使得r(A*(m+l)=r(A*m)结论11:设D=北,那么r(D)Mr（八）+r(B)ABO1Or=r,OEn|_3En_得r(AB)+nr（八）+r(B),即r(AB)r（八）+r(B)-n.三：结束语本文列举了一些矩阵秩的相关重要结论、证明和举例。在此过程中，加深了我们对矩阵的秩的认识，并对其有了一些较为清晰的理解，我们相信这对我们以后的学习会有很大的帮助。同时我们也清楚，我们脚下的路还很漫长，不能满足于一些根本理论的研究，要深入挖掘，以探求更深层次的知识。参考文献1李炯生，查建国，王新茂编写的线性代数。中国科学技术大学出版社M同济大学线性代数（第三版）（第四版）J百度百科，图书馆查找
