相似三角形的性质与应用讲义(比较完整).docx

相似三角形的性质和应用教学目标1、经历相似三角形性质”相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和"相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.重点、难点1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比拟复杂，是本节教学的难点.考点及考试要求1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方教学内容：知识框架1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.题型分类考点一：计算线段的长或线段之间的比例1:如图，在力夕C中，ZACB=90°,81/8于。，AC=6fDB=5,求4?的长.分析：由/0=6,OB=5,选用AC?=AOA8来解决，考虑Z8SZS3C.解：在48和BC中，.,Z½=Z½,/.ADC=Z,ACB=90o,.½CD½BC.ACAD2AAD.=.AC=AD'A.ABAC设4Ax,那么SB=+5,又月06,.62=x(x+5).X2+5%-36=O解得：x=4舍去负值:.AD=4.针对练习：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,4Pab5求IiF:=:CDB底边上的高AD=IOCm,腰AC上的高BE=12cm.CBD3例2:如图，AABC中，AB=AC,BDIAC于D.求证：BC2=2c4aC.BD思考：欲证BC2=2CDAC,只需证线二釜.但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的2CDBC相似三角形，该怎么办？证法一构造2CD：如图，在AC截取DE=DC,/BDlACTD,BD是线段CE的垂直平分线，ABC=BE,AZC=ZBEC,又.AB=AC,AZC=ZABC.BCEs/xACB.BCAC.BCAC,CEBCi2CDBC.BC2=2CDAC.针对练习：证法二构造2AC：证法三构造;BC：知识概括、方法总结与易错点分析1、相似三角形对应边成比例；2、从结论出发找到边所在的三角形，再利用条件证明三角形相似。考点二：证明线段平行典型例题.如图，A。为AABC的角平分线，BE垂直于4。的延长线于£,C户_1.AO于产，BF,EC的延长线交于点P,求证：CFHAP证明.CF_1.AO,BE工AD,/.ZBEA=ZCFA=9(ffCFHBE.又丁ZBAE=ZCAFf:.A3EsAB.BEAEAF*CFAF,CF即=BEAE针对练习：如图，梯形ABC。中，AB/CD,M为AB的中点，分别连结AC,BD,MD,MC,且AC与Mo交于E,DB与MC交于F,求证：EFHCD知识概括、方法总结与易错点分析相似三角形的判断、性质和平行线的判定。考点三：求相似三角形的周长典型例题例：两相似三角形的对应边的比为4：5,周长和为360cm,这两个三角形的周长分别是多少？解：因为相似三角形的周长比等于对应比，所以相似三角形的对应边是4比5,那么周长比也是4比5设小三角形周长为A,大三角形周长为BA:B=4:5A=360÷4+5×4=160cmB=360÷4+5×5=200cm所以这两个三角形的周长分别是160cm和200cm针对练习:如图，D、E分别是AC,AB上的点,ZADE-=ZB,AG_1.BC于点G,AF_1.DE于点F.假设AD=3,AB=S,求：而；，AW邑与AABC的周长之比;知识概括、方法总结与易错点分析相似三角形的周长比等于相似比考点四：计算多边形的面积典型例题1如图，：在A8CAC4。中，DA/BCfCD交AB于E,且AE:E3=1:2,EF"3C交AC于7，SMDE=1。求Sasce和SMEF解答：.ZM"3C,.ADEBCf又/AE:BE=I:2,'*SMoE=» .EF/BCt.AEFABC .AE:EB=:2f又.AOEsBCE,AD:BC=I:2,BC=IAD .AD/EFf.MDE与AAEF等高针对练习.如图,，在梯形ABCD中，对角线4C、8。相交于点。，假设ACOO的面积为力,AAOB的面积为从，其中4>o,b>0.求：梯形A8C。的面积S典型例题2.等腰直角三角形的面积为36cn,它的内接矩形的一边在斜边上，且矩形的两边之比为5：2,求矩形的面积解：如图，ABC,ZA=90o,AB=ACf内接矩形DE尸G由等腰直角三角形和矩形的性质，得BE=DE=GF=FC.EF:DE=5:2,设AB为X,那么5凶睦=3工2=36由勾股定理得8C2=2Q207矩形OE/G面积=-X=17-(cm2)339漏解：如下图的情况时，DE.EF=5.2,同理可得S矩形CG=IoCm2针对练习1:如下图直角AABC中，两直角边长分别为3和4,它的内接正方形有两种情况：一边在斜边上；一边在直角边上。试比拟这两种情况中正方形的大小。针对练习2:A。是AABC的高，E是BC的中点，E/_1.3C交AC于尸，假设30=15,DC=27tAC=45,求AF知识概括、方法总结与易错点分析在相似形中，面积比等于相似比的平方；同底（或等底）三角形面积之比等于对应高的比；同高（或等高）三角形面积之比等于对应底的比。考点五：相似三角形的实际应用例1：某市经济开发区建有BC,力三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且A3=CD=900米，AO=BC=I700米，AE=I500米.自来水公司已经修好一条自来水主管道AN,BC两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC=500米.假设修建自来水主管道到各工厂的自来水管道的费用由各厂负担，每米造价800元.（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；（2）求出各厂所修建自来水管道的最低造价各是多少元？分析：要使修建自来水管道的造价最低，那么每个厂铺设的管道应最短，根据垂线段最短，可知三个厂家应分别沿垂直于AN的方向铺设.要计算各厂所修建自来水管道的最低造价，可以分别求出铺设管道的长度.解：（1）如图1,过BC,。分别作AN的垂线段BH,CF,DG,交AN于”，F,GBH,CF,DG即为所求的造价最低的管道路线.CFCE（2）由BESAiCEE,得J=所以ABAECF=3AE500x9001500=3001米）.由BHESMFE,得"二任，所以BH=不"=侬当=720（米），BHBECE500由Z4BESZXQGA,得必所以QG=90°XI）。=1020（米）.DGAD1500所以BC,。三厂所建自来水管道的最低造价分别是720x800=576000（元），300×8=2400（元），1020×800=8160（元）.例2：如图2,在水平的桌面上两个“E”，当点耳，Pv。在一直线上时，在点。处用号“E”测得的视力与用号“E”测得的视力相同.（1）图中仇，bvIv6满足怎样的关系式？（2）假设4=3.2cm,=2cm,号“E”的测试距离=8m,要使测得的视力相同，那么号“E”的测试距离4应为多少？分析：此题是图形可得6。题.桌面键是从实际问题中构建数学模型.从人三角形的特征列出比例式可解决问解：因为叫所以AoS所以型l=42,即h二EP2D2D2Ob2I2(2)因为-1.=-1.,且4=3.2Cm,b2=2cm,1=8m,b2I2QOR所以己吆=2(注：可不进行单位换算)，2=5m.2Z2即号“E”的测试距离是6=5m.课后作业1 .iSABCDEF,ABC的面积为81cm2,DEF的面积为36cm且AB=12cm,那么2 .等腰三角形ABC和DEF相似，其相似比为3：4,那么它们底边上对应高线的比为()A、3：4B、4：3£、1：2D、2：13如图，这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射到桌面后.在地面上形成(圆形)的示意图C桌面直径为1.2米，桌面离地面1米.假设灯泡离地面3米，那么地面上阴影局部的面积为，A.、0.36乃米2B、0.81乃米C、2万米2D、3.24乃米24.如图,分别取等边三角形工BC各边的中点。、E、F,得假设aABC的边长为.。石产与AABC相似吗？如果相似，相似比是多少？分别求出.这两个三角形的面积.这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？5.如图,在AABC中,BA=BC=20Cni“AC=3.0cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cjn的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为X.(1)当X为何值时，P.QBC?(2)当也丝=1,求也”的SSABC3SABC值;6.½ABC中，AE：EB=I：2,EFBC,ADBC交CE的延长线于D,求SAAra=：S的值.7«如图，4ABC是一块.锐角三角形余料，边BC=J20mm,高AD=80mm,要把它加.工成矩形零件,使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC±,(1)假设这个矩形是正方形，那“么边长是多少？(2)假设这个矩形的长是宽的2倍，那么边长是多少？ODMC答案：1、8cm2、A3、B4、(1)相似2a24a2(3)面积之比的平方等于1630相似比5>(1x=-s77、(Ir)48rmm(2)宽是空mm,长出mm.77