直线的方程经典题型总结加练习题-含答案.docx
(1)直线的倾斜角定义：X轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与X轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为O度。因此，倾斜角的取值范围是0°<180o(2)直线的斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即A=tana。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当a(,90)时，fc0.当aw(9°,侬°)时,k<0.当a=90。时，欠不存在。k=(x1x2)过两点的直线的斜率公式：/马所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率概念考查1、经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线G与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直线心互相垂直，求实数a的值。2、直线y=x+b与y=bx+在同一坐标系下可能的图是(A.abc>OB.ac>0C.ab<OD.。,瓦C同号5、假设点A(2,-3),B(-3,-2),直线/过点P(1,1),且与线段AB相交，那么/的斜率女的取值范围是O33133A.Z±或A-4B.Z±或k-1.C.-4k-D.-k444444(3)两点间距离公式：设'("2，丁2)是平面直角坐标系中的两个点，那么IABl=J(X2-5)2+(%-%>(4)点到直线距离公式：点PaQo)到直线4：-+y+c=o的距离IAAO+By0+C互+/概念考查(1) 求两平行线4：3x+4y=10和4：3x+4y=15的距离。(2) 求过点M(-2,1)且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线方程。(3) 直线/经过点P(2,-5),且与点A(3,-2)和点B(-1,6)的距离之比为1:2,求直线/的方程(4) 直线乙过点A0,1),4过点(5,0),如果且4与12的距离为5,求4、4的方程(5)点P(2,-1)a、求过P点且与原点距离为2的直线/的方程b、求过P点且与原点距离最大的直线/的方程，最大距离是多少(5)、求关于点对称的对称问题的方法。(1)求点关于点的对称点。(距离相等，三点同线)(2)求直线关于点的对称直线(平行，点到线距离相等)(3)求点关于直线的对称点。(在垂直线上，距离相等)(4)求直线关于直线的对称亶线。(平行,距离相等,相交过交点，点对称)概念考查直线/：y=3x+3,求：(1) 点P(4,5)关于/的对称点坐标；(2) 直线y=-2关于/的对称直线的方程；(3) 直线/关于点A(3,2)的对称直线的方程。(4) 直线上动点与点距离的最大最小值a.在直线/上求一点P使PA+PB取得最小值时，假设点A、B位于直线/的同侧，那么作点A(或点B)关于/的对称点A(或点5'),连接A8(或A3')交/于点P,那么点P即为所求。假设点A、B位于直线/的异侧，直接连接AB交/于P点，那么点P即为所求。可简记“同侧对称异侧连”即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可。b.在直线/上求一点P使IlPA卜PBl取得最大值时，方法与a恰好相反，即异侧对称同侧连”,概念考查(1) 两点A(3,-3),B(5,1),直线/:y=x,在直线/上求一点P,使PA+PB最小。(2) 求一点P,使IIPAHPBU最大直线的方程经典例题经典例题透析E联型一：求规定形式的直线方稳邯1.(1)求经过点A(2,5),斜率是4直线的点斜式方程；|(2)求倾斜角是60°,在y轴上的截距是5；直线的斜截式方程；(3)求过A(-2,2),B(2,2)两点直线的两点式方程；(4)求过A(-3,O),B(0,2)两点直线的截距式方程.思路点拨：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，要根据条件写出直线方程.解：(1)由于直线经过点A(2,5),斜率是4,由直线的点斜式可得-5=40-2)；(2)；上=由60。=g,y=6+5.丁(-2)_X-(-2)2-(-2)-2-(-2)；(4)÷三1-32总结升华：写规定形式的方程，要注意方程的形式.举一反三：【变式1】(I)写出倾斜角是150°,在y轴上的截距是一2直线的斜截式方程：(2)求过A(2-3),B(5-6)两点直线的两点式方程；(3)求过A(l,O),B(0,-4)两点直线的截距式方程.【答案】v=tan1500=y=-x-2(1) 3z3；-(W_x_(_2)-6-(-3)-5-(-2).(3)÷21.=i1-4类型二：直线与坐标轴形成三角形问IS/2.过点P(2,1)作直线/与X轴、y轴正半轴交于A、B两点，求aAOB面积的最小值及此时直线的方程.思路点拨：因直线/已经过定点P(2,1),只缺斜率，可先设出直线的点斜式方程，且易知k<0,再用k表示A、B点坐标，结合函数及不等式知识求解.解析：解法一：设直线/的方程为:yl=k(x2),令y=0,得:X=k；令x=0,得y=l2k,Y?与X轴、y轴的交点均在正半轴上，k>0l-2k>0故k<0,AOB的面积$6罕2)=W+但口G卜%22当且仅当-4k=k,即k=2时，S取最小值4,2故所求方程为y-l=-2(x-2),即:x+2y-4=0.总结升华：解法一与解法二选取了直线方程的不同形式，解法三考虑到图形的直观性，利用了形数结合的思想,表达了解题的“灵活性”.直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解.而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.类型三：斜率问题遍©3.求过点4(-42),且与X轴的交点到点尸(1.O)的距离为5的直线方程.而思路点拨：要对直线是否存在斜率的不同情况加以分类解析，结合题目中的相关条件设出对应的直线方程，然后求解.解析：(D当直线斜率存在时，因为直线与X轴相交，所以上工0,设直线的斜率为上，直线过点4(T2),代入点斜式方程，得y-2=W+4),221Q(Y.0)I-411=5三所以直线与X轴的交点为*那么有*,解得5,故所求直线方程为x+5y-6=0；(2)当直线斜率不存在时，经过点A且垂直于X轴的直线与X轴的交点(-4,0)到尸(1.O)的距离也恰好为5,所以直线X=M也满足条件.综上所述，所求直线方程为1+5-6二°或工=-4总结升华：解答此类问题时，容易无视直线斜率不存在时的情况，同学们在实际解答时要全面考虑.斜率不存在的直线(即垂直于X轴的直线)不能用点斜式、斜截式方程求解，点斜式、斜截式方程的使用条件是直线斜率必须存在.因此，用点斜式、斜截式方程求解直线方程时要考虑斜率不存在的情况，以免丢解.类型四：截距问题1.iC1.求过点尸（I，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程.1.-思路点拨;要对直线截距的不同情况加以分类解析，结合题目中的相关条件设出对应的直线方程，然后求解.直线在两轴上截距相等，直接考虑截距式方程,也可以用由图形性质，得到k=T时截距相等，从而选用点斜式.解题时特别要注意截距都是O的情况，这时选用函数>=ix.解析：彳+y_1+3_（D当截距不为零时，设所求直线方程为1a,将点尸0,3）代入得Za,解得。=4,故所求直线方程为X+>-4=0；当截距为。时，直线方程为"-y=°综上所述，所求直线方程为X+>-4=°或右一y=0总结升华：注意截距与距离的区别，截距可正、可负、可为零，不可与距离混为一谈.截距式方程的使用条件是直线在彳轴、尸轴上的截距都存在且不为零，垂直于坐标轴和过原点的直线不能用该方程求解，因此用截距式方程要考虑截距为零的情况.解答此类问题时，容易遗漏所求直线在在X轴、尸轴上的截距为O的情况，在实际解答时要全面考虑.
