安徽电气职院流体力学泵与风机讲义02流体静力学.docx

第二章流体静力学流体静力学(fluidstatics)着重研究流体在外力作用下静止平衡的规律及其在工程实际中的应用。这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时，称流体处于静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静止状态。从工程应用的角度来看，在大多数情况下，忽略地球自转和公转的影响，而把地球作为惯性参照系是足够精确的。当流体相对于惯性坐标系(如地球)没有运动时，我们便说流体处于静止状态或平衡状态。当流体相对于非惯性坐标系没有运动时，我们便说流体处于相对静止状态或相对平衡状态。无论是静止的流体还是相对静止的流体，流体之间没有相对运动，因而粘性作用表现不出来，故切应力为零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体(realfluid)还是理想流体(idealfluid)都是适用的。2.1流体静压强及其特性一、流体静压强概念1、在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的法向作用力(normalforce)称为流体的压强(PreSSUre)。2、当流体处于静止状态时，流体的压强称为流体静压强(StatiCPreSSUre),用符号P表示，单位为Pa0二、流体静压强有两个基本特性(1)流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。实验证明：反证法证明：假设在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相(“垂直，而与作用面的切线方向成角，如图21所示。_<x,那么静压强p可以分解成两个分力即切向压强p他/(tangentialpressure)和法向压强pn(normalpressure)。由于切用2-1向压强是一个剪切力(Shearforce),由第一章可知，流体具有流动性，受任何微小剪切力作用都将连续变形，也就是说流体要流动，这与我们假设是静止流体相矛盾。流体要保持静止状态，不能有剪切力存在，唯一的作用便是沿作用面内法线方向的压强作用。(2)静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的方向无关，即任一点上各方向的流体静压强都相同。实验证明:计算证明i为了证明这一特性，我们在静止流体中围绕任/"'"意一点A取一微元四面体的流体微团ABCD,设直A/IfJX角坐标原点与A重合。微元四面体正交的三个边长/4夕二A5-“分别为dx,dy和dz,如图22所示。因为微元四C面体处于静止状态，所以作用在其上的力是平衡的。现在来分析作用于微元四面体ABCD上各力的平衡关系。由于静止流体中没有切应力，所以作用在微元四面体四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压强。因为所取微元四面体的各三角形面积都是无限小的，所以可以认为在无限小表面上的压强是均匀分布的。设作用在ACD、ABC、ABD和BCD四个面上的流体静压强分别为区、py、PZ和p”，Pn与x、y、Z轴的夹角分别为a、B、Y,则作用在各面上流体的总压力分别为：i*出加匕=A京血匕=Pl-cxdy九一p£4(d4为!%：力的面积)除压强外，还有作用在微元四面体流体微团上的质量力，该质量力分布在流体微团全部体积中。设流体微团的平均密度为P,而微元四面体的体积为dV=dxdydz6,则微元四面体流体微团的质量为dm=Pdxdydz/6。假定作用在流体上的单位质量力为f,它在各坐标轴上的分量分别为&、fy、fz,则作用在微元四面体上的总质量力为W=6它柞三个坐标轴上第分量为：卬；=pdxdydzf.%="足血;由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在任意轴上投影的总和等于零。对于直角坐标系，则次0、XF.-0,SF11-O7在X轴方向上力的平衡方程为PjtFcosoWjl=0把尸,，儿和I匕的各式代人得PVJdjdr户,dAco&a普。IHdy»0itU因为dXwCOfiaEyydz则上式变成P*yd>dr-Aydyde+fidxdydxf9l-0A-A.士。dr=0由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得同理可得所以因为n的方向完全可以任意选择，从而证明了在静止流体中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。但是，静止流体中深度不同的点处流体的静压强是不一样的，而流体又是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连续函数，即：2.2流体平衡微分方程式等压面一、流体平衡微分方程式图2-3曲兀平行六体工方向的受力分析在静止流体中任取一边长为dx、dy、dz的微元平行六面体的流体微团，如图23所示。现在来分析作用在这流体微团上的外力的平衡条件。1、流体平衡微分方程式推导由上节所述流体静压强的特性知，作用在微元平行六面体的表面力只有静压强。设微元平行六面体中心点处的静压强为P,则作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒(GI.Taylor)级数展开，例如：在垂直于X轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为:5+虚即Y蕾器+,÷-略去二阶以上无穷小量后，分别等于-费署1.r抑p+i普H由于六面体是微元的，所以可以把各微元面上中心点处的压强视为平均压强。因此，垂直于X轴的左，右两微元面上的总压力分别为：f?-4"望&-dyk朴/»+春阴Er'(1对学1.Z"J同理，可得到垂直于Y轴的下，上两微元面上的总压力分别为d>,j&&和j»+弓黑<bjd%d垂直于z轴的后、前两微元面上的总压力分别为-P7要dzIArdy和|力+dadyl.4CNJI42ZI作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。若流体微团的平均密度为P,则质量力沿三个坐标轴的分量为>drdW*,1.rdWr,AXRd他，处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是，作用在其上的外力在三个坐标轴上的分力之和都等于零。例如，对于X轴，则为IA-¥掣，IdWr-I：P-T4加+/.dlrd>d<B0整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量PXdydZ则得£一K.0Pax同理得：(23)/«一写成矢量形式这就是流体平衡微分方程式，是在1755年由欧拉（Euler）首先推导出来的，所以又称欧拉平衡微分方程式。2、方程式的物理意义:在静止流体中，某点单位质量流体的质量力与静压强平衡。3、方程的适用范围:在推导这个方程中，除了假设是静止流体以外，其他参数（质量力，密度）未作任何假设，所以该方程的适用范围是：静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。4、实际意义:它是流体静力学最基本的方程组，流体静力学的其他计算公式都是从此方程组推导出来的。5、压强差公式把式（23）依次乘以dx,dy,dz,然后相加，得P（.tdr-/Q+mI：5独I岁N因为p=p（x,y,z）,所以上式右端是压强函数的全微分式，即：dp氏"一/d>十吃d”所以：压强差公式为（24）二、流体平衡条件对于不可压缩均质流体，密度P=常数，根据恒等式_立."_XR.乏E.立2ar»va>,*ejr<wZy'rarQelf由式（23）得Zr»/：»/ray-g-az-或，az-5）由理论力学可知，式（25）是&、&、fz,具有力的势函数一11（X,y,z）的充分必要条件。力的势函数对各坐标的偏导数等于单位质量力在对应坐标轴上的分量，即：写成矢量形式：T,/=-grader由式（24）得,3-rdtxIAcyrckI三<tr一丝dy+dx1三-d11（2-6a）PJIx”a«，有势函数存在的力称为有势的力，由此得到一个重要的结论：只有在有势的质量力的作用下，不可压缩均质流体才能处于平衡状态，这就是流体处于平衡的条件。三、等压面1、定义:在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面。2、等压面方程:以工,y,4=常数对不同的等压面，其常数值是不同的，而且流体中任意一点只能有一个等压面通过。在等压面上，dp=O由式（2-6a）可得dn=0即/=常数，也就是说，在不可压缩静止流体中，等压面也是有势的质量力的等势面。液体与气体的分界面，即液体的自由液面就是等压面，其上各点的压强等于在分界面上各点气体的压强。互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。3、等压面一重要性质:就是等压面与质量力互相垂直。因为在等压面上各处的压强都一样，即dp=O,由式（24）可得等压面微分方程：/nTd>+<d=G（27）式（27）左端又表示作用在等压面上A点的单位质量力f与通过A点的等压面上的微元线段d,（其分量为dx、dy、dz）两个矢量的数量积，如图24所示，即fds=.dX÷fdy+sd=0两个矢量的数量积等于零，必须f和d,互相垂直，其夹角等于900也就是说,通过静止流体中的任一点的等压面都垂直于该点处的质量力。例如，当质量力只有重力时，等压面处处与重力方向正交，是一个与地球同心的近似球面。但是，通常我们所研究的仅是这个球面上非常小的一部分，所以可以看成是水平面。4、等压面的条件：2.3在重力作用下的流体静力学基本方程式引言实验;结论:1、流体静力学基本方程推导：m2-5推导育体静力学基本方程用图在自然界和实际工程中，经常遇到并要研究的流体是不可压缩的重力液体，也就是作用在液体上的质量力只有重力的液体。根据这一限定条件，可在一盛有静止液体的容器上取直角坐标系(只画出OYZ平面，Z轴垂直向上)，如图25所示。这时，作用在液体上的质量力只有重力G=mg,其单位质量力在各坐标轴上的分力为Zl-o*代人式(24)压强差公式，得dp-pgdz写成：(2-8)Pg对于均质不可压缩流体，密度P为常数。积分上式%+UC(2-9)式中c为积分常数，由边界条件确定。这就是重力作用下的液体平衡方程，通常称为流体静力学基本方程。若在静止液体中任取两点1和2,点1和点2压强各为pl,利p2,位置坐标各为z1,和Z2,则可把式(29)写成另一表达式，即:2、该方程的适用范围是:重力作用下的平衡状态均质不可压缩流体。3、流体静力学基本方程的物理意义和几何意义物理意义Olz的物理意义表示为单位重量流体对某基准面的位势能(elevationenergy)。从物理学可知，把质量为m的物体从基准面提升z高度后，该物体就具有位能mgz,则单位重量物体所具有的位能为z(mgz/mg=z)o。2p/Pg表示单位重量流体的压强势能(Pressureenergy),说明：如图26所示，容器离基准面z处开一个小孔，接一个顶端封闭的玻璃管(称为测压管)，并把其内空气抽出，形成完全真空(P=0),在开孔处流体静压强p的作用下，流体进人测压管，上升的高度h=pPg称为单位重量流体的压强势能。位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能。所以式(29)表示在重力SZ-6加口压管值在上升高度作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。这就是静止液体中的能量守恒定律(energyconservationlaw)。几何意义OIZ的几何意义表示为单位重量流体的位置高度或位置水头(elevationhead)。单位重量流体所具有的能量也可以用液柱高度来表示，并称为水头。式(29)中Z具有长度单位，如图25所示，Z是流体质点离基准面的高度.O2p/Pg也是长度单位，