第十八章简单的复合函数的导数.docx
第十八章简单的复合函数的导数考纲解读考点简单的复合函数的导数内容解读1 .求简单复合函数的导数2 .简单复合函数导数的应用要求B五年高考统计20132014201520162017常考题型预测热度解答题分析解读虽然简单的复合函数的导数近五年江苏高考没有涉及.但作为附加题的一个考点,本章仍是高考命题的一个素材,要关注其与二项式定理相结合的试题.命题探究声解答过程)1)证明:f'(x)=11Xem-1>+2x.Sm0.则当xe(oo,0)时IeMMsoJ()<0;当xJO,+8)时q-Uf(x)>O.皆m<0,则当xe(-.0)rt.c"t-1>0.f'(xWh当xe<0,+oo)B",-l<0.f'(x)M).听以J(X)在(-。0)单调递减.在(0,+单调递增.2)由知为任意的m.Wx滋IJOI单调递减.在IiMI单调递增.故ftx)ttx=)处取名最小值.所以对于任意xt2e.l),f(x>f(X2)le的充要条件是,(1)-/(0)<e-l,(0)e-l,emme-l,.e'm+mel.j设函数g<0=e,-e+1JJg,()=e,l.当0时gK)<o档t>ortW(t)>故g(t)在(FO)单调递漏在(0.+工)单说递增又gaxgMK.故当阿-Lijatg(I)SO.当111日-1.1|时.8(111)80(-1«)50.即(!)式成立：当m>l时,由g的单调性相(m)>0,即e,-m>e-1;当m<1B,g(-m)>O.EPe"*m>el.综上.m的取值范用是IlII.五年高考考点简单的复合函数的导数1.(2014广东.105分)曲线y=e-5'+2在点(0.3)处的切线方程为.答案5x+y-3=O2.(2014江西,135分)若曲线yr"上点P处的切线平行于直线2x+y+l=0,则点P的坐标是.答案Gln2,2)3.(2014课标II,21,12分)已知函数f(x)=ex-ex-2x.(1)讨论f(x)的单调性：设g(x)=f(2x)4bf(x),当x>0时,g(x)>O,求b的最大值：(3)已知1.4142<2<1,4I43.估计In2的近似值(精确到().001).解析(1)f'(x)=e'+e'2N0.等号仅当x=0时成立.所以f(x)在(y>Hc)上单调递增.(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e'2*-4b(eM-e'x)+(8b-4)x,g'(x)=2(c2'+cxx-2b(cx+cx)+(4b-2)=2(ex+ex-2)(ex+ex-2b+2).当b2时,g'(x)NO.等号仅当x=0时成立.所以g(x)在(功,+8)上单调递增.而g(0)=0,所以对任意xX),g(x)X)(ii)当b>2时,若X满足2<eM+e'<2b-2,BP(Xx<ln(bl+b2-2b)时,g'(x)<O.而g(0)=0,因此当(Kxln(b-1+b2-2b)B4,g(x)<0.综上.b的最大值为2.(3)(2)l,g(ln2)=-22b+2(2b-l)ln2.当b=2B4,g(ln2)=-42+6ln2>0,In汶祟X)6928;当b=+l时,ln(bJ+府五E)=In¢,g(ln2)=-22+(32+2)ln2<0,In2<<0.6934.Zo所以In2的近似值为0.693.4.(2014江西,18.12分)已知函数f(x)=(x2+bx+b)112x(beR).当b=4时,求f(x)的极值：(2)若f(x)在区间(Ow)上单调递增,求b的取值范围.解析当b=4时T(X)三需2V14X由f(x)=O得x=-2或X=0.当xw(-,2)时,f'(x)<0,Rx)单调递减：当x(-2,0)fl.f'(x)X),RX)单调递增;当xe(3)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.故f(x)在x=-2处取极小值f(-2)=0.在x=0处取极大值f(0)=4.f(x)-邓：需*因为当XW(OW)时.岛<0,依题意.当X4吗)时有5x+(3b2)0,从而裂3b2)40.教师用书专用(5)5.(2013山东理,21,13分)设函数f(x)喻+c(e=2.71828是自然对数的底数,ccR).(1)求f(x)的单调区间、最大值：(2)讨论关于X的方程Ilnx=f(x)根的个数.解析f'(x)=(l-2x)e"由f()=0.解得=.当Xw时,f'(x)X),f()单调递增：当XW时，f'(x)<O,f(x)单调递减.所以,函数f(X)的单调递增区间是(").单调递减区间是&+8),最大值为f),+c.令g(x)=lnx-f(x)=lnx-xe2x-c,x(0,+>).当xe(l,-tw)B,lnx>O,则g(x)=lnx-xe-c,所以g'(x)=e2(+2xl).因为2x-l>O,->0,X所以g'(x)>O.因此g(x)在(Ly)上单调递增.当x(O,l)时,Inx<0,则g(x)=-lnx-xc'2x-c,所以g'(x)=e-2(4+2xl).因为c2m(1.c2),c2x>1>x>O.所以-之<-1.X又2x-l<l,所以-f+2x-l<0,即g,(x)<O.因此g(x)在(0,1)上单调递减.综上.当xw(0,+g)时.g(x)g(l)=-e-2-c.当g(l)=-e-2-c>0.即c<e?时.g(x)没有零点.故关于X的方程Ilnx=f(x)根的个数为0:当g(l)=e2-c=0,即c=-e2时,g()只有一个零点，故关于X的方程Ilnx=f(x)根的个数为1:当g(D=e2-c<0.即ex?时.当xw(l,+oo)时,由知g(x)=lnx-xe2s-clnX-Qe-1+c)>lnx-1-c.要使g(x)>O,只需使InX-I-Cx),即x(e,+c.+oo);当xw(O,l)Bt由知g(x)=-lnx-xe2x-c-lnx-Qe1+c)>-lnx-1-c,要使g(x)>O,只需Jnx-l-c>O,fiPxe(0,e,c),所以c>-e-2时,g(x)有两个骞点.故关于X的方程IlnXI=f(x)根的个数为2.缘上所述.当c<-e2时,关于X的方程IInXI=f(x)根的个数为0;当C=-C-2时,关于X的方程IInx=f(x)根的个数为I:当c>-e2时,关于X的方程Ilnx=f(x)根的个数为2.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点简单的复合函数的导数1.(2017江苏如家中学质检)已知常数aX),函数f(x)=ln(l+ax).讨论f(x)在区间(0,+>)上的单调性.解析g=W"ax)系"(x)=*(A-若凿#.(S(X+2)%.当l-aO.三Pal时,f3。恒成立则函数在(O,ZC)上单调递增.当0<a<l时®U(X)=O得X小呼可易知函数f(x)在(0,过等)上单调递减,在(珥回,+s)上单调递增.2.(2016江苏如东中学阶段测试.21)已知函数f(x)=a2+21n(a-xXawR).设曲线y=f(x)在点(U(D)处的切线为I,若1与直线x-2y+2=O垂直,求a的值.解析由f(x)=a2+21n(a-x)得f'(x)=2ax-.所以f'(l)=2a*.由题设可得2a-W=-2,从而a士,解得a=±2,检蛇可得a=±I符合题意.所以a=±2.3.(苏教选22.34变式汜知函数f(x)=ln(ax+l)WxO.其中aX).若f(x)在x=l处取得极值,求a的值：(2)若f(x)的最小值为I.求a的取值范围.解析(l)f'()=-½ (l+x)z(x+l)(l+x)2*因为f(x)在X=I处取得极值,故f'(l)=0解得a=L羟检蚯符合题意.(2)f(x)=2,因为x0,aX),故ax+1X),l+x>0.当a>2时,在区间。+oo)上,f'(x)O,f(x)单调递增,f(x)的最小值为f(O)=L当0<a<2时,由f(x)>0.解得x>后；f(x)的单调减区间为(。月.单调增区间为(杼+ )于是,f(x)在X=僧Ih取得最小值.(用<f(0)=,.不符合题章.综上可知,若f(x)的最小值为I,则a的取值范圉是2,P).B组20162018年模拟提升题组(满分:30分时间:15分钟)解答题(共30分)1.(2018江苏常熟高三期中)(1)若不等式仪+1即仪+【)"对任意xw0,+s)恒成立,求实数a的取值范围：设nwN;试比较汾*与ln(n+l)的大小,并证明你的结论.解析(1)易知In(X+1)-署0对任意xeO,+)恒成立.令g(x)=ln(x+l)弟,则Kx喘忘当al时.g'(x)=W器O恒成立.即g(x)在0,+g)上单调递增.：.g(x)g(O)=O恒成立.即ln(x+1卜合2。恒成立.符合题意.当a>l时,令g'(x>=O.得x=a-l>O.,.g(x)在(O.a-1)上单调递减.在(a1,也)上单调递增.g(a-l)<g(O)=(),即存在xX)使得g(x)<O,不符合题意.综上所述,a的取值范围是(-s,l(2)解法一:在(1)中取a=L得ln(x+l)>(xe(O,+),令x=«neN)上式即为In(勺不即ln(n+l)-lnn>,ln2-Inl>j,In3-In2>,ln(n+l)-lnn.；1,上述各式相加可得+<ln(n+lXtgN*).解法二:注意到夫In2挣In3,故猜想丹+<ln(n+1)(neN)下面用数学归纳法证明该猜想成立.证明:当n=l时,*ln2,成立；假设当n=k时结论成立,即丹+1<ln(k+l),在中取a=1,得ln(x+l)>j(G(O,-Hc),令X备KN)有袅M密),那么,当n=k+l时，泊+d+尸n(k+l)+点<ln(k+l)+ln(詈)=ln(k+2).即当n=k+l时.结论也成立.由？)可知.(+.j<n(n+1).2.(2017江苏南京二模)设函数KX)=Xei*+bx,曲线y=f(x)在点(2.f(2)处的切线方程为y=(e-l)x+4.求a,b的值：(2)求f(x)的单调区间.解析因为f(x)=xea"+bx,所以f,(x)=(l-x)eax+b.解得a=2,b=e.由(1)知RX)=XC'“ex.由f'(x)=e2x(l-x+evl)Re2"X)知.(x)与l-x+e响号.令g(x)=l-x+e-,.JHJg'(x)=-l+c,.所以,当XG(-8j)时察(x)<Og(x)在区间(7,1)上单调递减;当*(1,+00)时6状)>0记汽)在区间(1,+8)上单调递增.
