4抽象函数不等式-教师用卷.docx

抽象函数不等式一、解答题(本大题共9小题，共108.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1 .(本小题12分)已知函数/Q)满足：对定义域内任意与x2,都有Cq-上)(/(右)"全)<0成立.(1)若f(x)的定义域为0,+8),且有/32-1)>/(2。+2)成立，求Q的取值范围；(2)若/(工)的定义域为R,求关于X的不等式f(m+2my)<f(x+2)的解集.【答案】解：由题意得f(%)在定义域内单调递减，(1)/(%)的定义域为0,+8),且有人-1)>f(2a+2)成立，2-1O(a-lal则2+20,解之得Ia-l,故1V3,2-1<2+2-1<<3所以Q的取值范围是1<3：(2)不等式/(n+2my)<f(x+2)的解集，等价于m/+2mx-X-2>O的解集，即(+2)(租-1)>0的解集，当Tn=O时，不等式解集为万"V-2；当m>O时，不等式的解集为H%<-2或%>1；当mVO时，即求不等式(+2)(%-A)Vo的解集，当2=2即租=一3时，不等式的解集为。；(ii)当.>一2即Tn<一时，不等式的解集为一2V%V"；(m)当A<一2即TVTnVo时，不等式的解集为卜|'VX<-2).【解析】由题意得/(%)在定义域内单调递减，a?1O(1)可得2+2O，解不等式组即可得答案；2-1<2+2(2)由题即求不等式巾/+2巾%->-2>0的解集，分类讨论，即可得答案；本题考查利用函数的单调性解不等式、分类讨论解含参一元二次不等式，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2 .(本小题12分)已知函数f(%)对任意实数X、y恒有+y)=f()+/(y),当>o时，/()<0,且/(1)=-2.(1)判断乃的奇偶性；(2)判断函数单调性，求f(%)在区间-3,3上的最大值；(3)若f(x)<n2-2am+2对所有的-1,1,a一1,1恒成立，求实数n的取值范围.【答案】解：(1)取=y=0,则f(0+0)=2/(0),/(0)=0,取y=r,WJ(x-X)=/(x)+/()=/(0)=0,/(-x)=-/(%)对任意R恒成立，fw为奇函数；(2)任取与，X2(-8,+8)且%1<X2,则%2-Xi>0,/(X2)+/(-Xi)=f(.×2-XI)<0，f(×2)<-f(F<又f(%)为奇函数，f。1)>/(小).故f(x)为H上的减函数.x-3,3,/(x)/(-3),Vf(3)=3/(1)=-2×3=-6,(-3)=-/(3)=6,故/。)在-3,3上的最大值为6；(3)."(x)在-1,1上是减函数，.(x)-l)=-/(1)=2,/(x)<m2-2am+2,对所有X1,1»Q1,1恒成立.m22am+2>2,1,1恒成立；即z1122am>0,1,1恒成立，令刎则蜡。,即/U/解得：m>2或m<-2.实数m的取值范围为(一8,-2)U(2,+8).【解析】本题考查抽象函数的奇偶性，单调性及其应用，考查函数恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.(1)取=y=O可求得/(0),取y=-%可得f(%)与/(一乃的关系，由奇偶性的定义即可判断；(2)任取%1，X2(-8,+8)且%1<X2,由已知可得Q)+/(-Xl)=f(×2-XI)V0,从而可比较f(x)与f(%2)的大小关系，得到汽修)>“不)即可，再利用单调性求最值；(3)由条件可知112_2am>0对Q一1,1恒成立，列出不等式组解出Zn的范围.3.(本小题12分)已知函数/(%)的定义域为R,若对于任意的实数居y,都有f()+f(y)=+y),且XVo时，有/'()V0.(1)判断并证明函数f(x)的单调性：(2)设f(l)=l,若/(%)2G2-2。根+1对所有6-1,1,-2,2恒成立，求实数m的取值范围.【答案】解：(l)(x)在R上为单调递增函数，证明如下：先证明/(%)是定义在R上的奇函数，令x=y=O,则f(0)=/(0)+/(0),/(0)=0,令y=T,则f(=+/(-X)=/(0)=0,所以f(-x)=-f(x),f(M是定义在R上的奇函数，任取%1,%2WR，且血<×2t则f(%1)f(必)=/(/)+/(-2)=f(与一2)，当TVO时，有f(%)V0,所以f(%l-X2)<0»即打)Vfa2)，故f(x)在R上为单调递增函数；(2)由(1)知/(%)在f-l,IJ上单调递增,所以f(%)在f-,17上的最大值为f(i)=1,所以要使f(%)<2m2-2am+1对所有X-1,1,a一2,2恒成立，只要2巾22am÷1>1,P2n22am>。恒成立，令g()=2m22am=-2am+2n2tfilf(2)>p11f4zn+2m2>0"lg(2)>0'U|l-4m+2m2>0,解得m>2或m<-2,故实数m的取值范围是(8,2)U(2,+).【解析】本题考查抽象函数的单调性，考查利用函数的单调性求函数的最值，考查不等式恒成立问题，属于较难题.(1)由赋值法求出f(0),利用函数的奇偶性、单调性定义证明函数的奇偶性、单调性；(2)利用函数的单调性得出函数/(%)在Z-l,上的最大值，由不等式恒成立得出Tn的取值范围，关键是利用一次函数的性质.4.(本小题12分)定义在(0,+8)上的函数/Q),对任意的，都有f(mn)=(m)+f(n)成立，且当>1时，/(x)>0.(1)求f(l)的值；(2)证明：f(%)在(0,+8)上为增函数；(3)当f(2)=3时，解不等式f()>l-f(%-3)【答案】(1)解：令n=n=l,W'J(1)=(l)+(l),(l)=0;(2)证明：设O<x1<x2»则藁>1,：,f管)>°，/(x)-/(x2)=/(x)-/(xS)=/(Xi)-fM-Y)="<0,即/(曲)<"3)，.f(%)在(0,+8)上为增函数；(3)解：."(4)=f(2)+/(2)=1,.f(%)+f(x-3)>f(4),/(x2-3%)>f(4),f(%)在(0,+8)上为增函数，X>0%3>0,X2-3x>4解得X>4,所以不等式的解集为"氏>4).【解析】本题考查抽象函数的单调性及应用，属于中档题.(1)直接令m=n=l,即可求出f(l)的值；(2)利用已知，结合函数单调性的定义进行证明即可；(3)根据/(4)=/(2)+/(2)=1,可得f(%)+f(x-3)>/(4),然后利用函数的单调性进行求解即可.5 .(本小题12分)己知定义在区间(0,+8)上的函数/(%)满足f(?)=f(%)一/(%2),且当OVXVl时，f(y)>0.2(1)求/(I)的值；(2)判断f(%)的单调性并予以证明：(3)若f(3)=-l,求不等式f(2%-l)>-2的解集.【答案】解：(1)令与=0>。，代人得f(l)=/(右)一/(右)=0，故/1=0.(2)任取%1,%2W(0,+),且VX2、则OV。V1，2由于当OVXVl时，fx>0,所以/舄)=/(/)-/(小)>0，即/G)-)>0，Sj(x1)>(x2).所以函数/(%)在区间(0,+8)上是单调递减函数.令与=9,X2=3,由f舄)=f(右)一/(M)得/(1=/(9)-/(3),而f(3)=-l,所以f(9)=-2.由函数f(%)在区间(0,+8)上是单调递减函数，且/(2%-1)>f(9),得OV2%-1<9,二，<%V5,因此不等式的解集为5).【解析】本题主要考查抽象函数求函数值和单调性的问题.根据函数单调性解不等式是考查的重点.(1)令与=X2>。代入可得f(1)=0；(2)设0<必<如则OVVl，/舄)>。，代入即可得证.先根据/=-1,结合域)=/(9)一/(3),可得-9)=-2,进而由函数的单调性解不等式.6 .(本小题12分)定义域为R的函数f(x)满足，对任意的m,nR有f(m+n)=f(n)f(九)，且当>0时，有OVf(X)V1，/(4)=求/(0)；(2)证明：f(x)在R上是减函数；(3)若%>O时，不等式/(x)(ax)>f(%2)恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明：令Tn=O,71=2,可得f(0+2)=/(0)/(2),当%>0时，OVfa)VL则2)0,所以f(O)=L(2)证明：设>0,则一<0,则有/(0)=/(%-%)=/(%)/(一%),即7=f(r),又当%>0时，有OVf(X)V1,所以xR,有f(x)>O恒成立，任取实数与,工2R，且与<×2,则有必一修>0，从而可得0<f(x2-X1)<1,又f(必)=f×l+(必一/)=f(,×l)f(x2-X1)</(Xi)，所以f(%)在R上是减函数.(3)解：令？n=九=2,可得/(2+2)=/(2)/(2)=>/(2)=/(x)f(OX)>。2)可化为/Q)f(取)>f(2)f(x2),所以f(%+ax')>f(2+x2),所以X+ax<2+X2,当>0时，有v2H-i恒成立，X令g()=F=%+：，%>。，易知g(%)在(0,0)上递减，在(I,+8)递增，从而可得g()min=2"所以QV2I-L【解析】本题考查抽象函数，函数的单调性与单调区间，不等式恒成立问题，考查逻辑推理能力，属于较难题.(1)对于f(m+n)=f(m)f(n),令m=0,n=2,结合OVfa)<1,即可得到/(O)的值；(2)先证明R,有f(%)>O恒成立，再任取实数%1,%26R，且XlVX2，利用/(%2)=f(%2-1)+%1=/(X2-X1)(X1)</(Xi),即可判断其单调性；令m=n=2f可得f(2+2)=/(2)/(2)=(2)=将题中不等式恒成立问题转化为无>O时，有v2-1恒成立，求得g(%)=2=%+白的最小值，即可得到的取值范围.7 (本小题12分)已知定义域为/=(-,O)U(O,+8)的函数f()满足对任意与，X2/都有/(与小)=x1(x2)+%2(%1)(1)求证：f(%)是奇函数；(2)设g(%)=竽，且当>1时，g(x)<0,求不等式g(x-2)>g(x)的解集.【答案】(1)证明：令石=打=1，得f(i)=o,令%1=X2=-1,得f(-l)=-(1)=0,令=XyX2=-1,得/(T)=-Z(X)+(-i)=一/， /(%)是奇函数.(2)解："(N1M)=X1(X2)+%2，(必)，.f(，X2)_)./(工2) I,XlX2M×2g(1%2)=。(/)+9(%2)，设与>%2>0，则自>1， 噌V