第53讲圆锥曲线的综合应用-最值、范围问题（达标检测）（教师版）.docx
圆锥曲线的综合应用最值.范围问题达标检测A组一应知应会1. （2020庐阳区校级模拟）已知P为抛物线）2=4x上一点，Q为圆（-6）+y2=l上一点，则IPQ的最小值为（）A.21-1B.2-C.25-1D.21-45【分析】设点P的坐标为（工序，w）,圆（*-6）2+y2=的圆心坐标4（6»0）,求出IRM的最小值，4即可得到IPa的最小值.【解答】解：设点P的坐标为（2M,阳），圆（x-6）2+>*2=l的圆心坐标A（6,0）,4¾2=（Aw2-6）2+m2=-L（m2-16）2+2020,416¾25,:。是圆（-6）2+y2=l上任意一点，小。|的最小值为2巫-1,故选：C.2. （2020东湖区校级模拟）已知双曲线C上/=1的禽心率为返，过点尸（2,0）的直线/与双曲线m-2C交于不同的两点A、B,且NAO8为钝角（其中。为坐标原点），则直线/斜率的取值范围是（）A.（零,0）U（0,与B.（-*，0）U（0,净C.（-8,平）U（g3）d（-8,一坐）U造，Q）2. 2DD【分析】利用双曲线的离心率求出相，得到双曲线方程，设出直线方程，设出48坐标，利用韦达定理结合向量的数量积转化求解k的范围即可.【解答】解：由题意双曲线C：）2=1的离心率为区，得"5,解得m=2,m2Vin22双曲线C-y2=l,设直线/：X=（y+2,与双曲线C联立得：（r2-2）2+4代+2=0,设点A（x,y）,B（小”），则2yyi=-，xx2=t1yy2+2t(y1+y2)+4=t.又因为/AQB为钝角，所以yy2+xtr2<0,t-2t2-22即二2t一日0得出»2>0,所以直线/的斜率F=W<,t2-2t22即直线/斜率的取值范围是故选：A.3. （2020梅河口市校级模拟）已知抛物线V=M的焦点为F,过尸的直线与抛物线交于A,B两点,A位于第一象限，则HfI+38fl的最小值是（）A.23B.23+lC.23÷2D.23+422【分析】设直线AB的方程为kmy+l,A（2_,y）,B（七一，"），联立直线与抛物线的方程消元，442然后利用韦达定理可得丫2J鸟，然后根据抛物线的定义可得IAFl+3|叫=B+与+4,再利用基本丫141不等式即可求出结果.【解答】解.：抛物线的焦点尸（1,0）,设直线48的方程为：x=my+,x=11y+1联立方程组I,消去X得：X2（4m2+2）x+l=0,y2=4x22设A（,Vi）»B（，Y2）,4422则有界"=1'即了2?二,16y1222由抛物线的定义可得IAfl=3-+|8月=及一+1=、+1，44y122所以IAfl+38户1=1；+12+4>4+27§，当且仅当y2=历时等号成立，所以IAFI+38的最小值是24,故选：D.224. （2020红岗区校级模拟）己知双曲线45-Xl（a>0,b>0）的左、右焦点分别为尸1、Fz,过点Fi且垂直于X轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，若aAB尸2的周长为24,则当air取得最大值时,该双曲线的焦点到渐近线的距离为()A.1B.2C.2D.22【分析】可设尸1<-c,0),求得A8,运用勾股定理，可得尺的周长，结合a,b,C的关系，可得加=(6-),则从=J(6-a),设f(x)=，(6-),x>0,求得导数和单调性，可得最大值,即可得到所求距离.【解答】解：可设Q(-c,0),由X=-C代入双曲线的方程可得y=由题意可得2b则IM二胃一IA网=M2=JAF1I2+IF,2I结合c2=2+2,上式化简可得a3+ab2=36a-6序,可得b2=a(6-o),则atr=a2(6-a),设/(x)=x2(6-x)>x>0,导数为/(x)=12-3x2,当x>4时，/()<0,/()递减；当OVXV4时，/(x)>0,/(x)递增.可得/(x)在x=4处取得最大值.即有=4,tr=4×(6-4)=8,Jb=2J2f而焦点到渐近线的距离为d=Jbc_=b=2&,故选：D.5. (2020滨州三模)已知抛物线C：V=4与圆Aa-I)2+y2=9相交于4,8两点，点M为劣弧篇上不同A,8的一个动点，平行于X轴的直线MN交抛物线于点M则AMNE的周长的取值范围为()A.(3,5)B.(5,7)C.(6,8)D.(6,8【分析】过“作准线的垂线,垂足为H，根据抛物线的定义,可得EN=N故aMNE的周长=M+NM+fE=M"+3,只需求得的取值范围即可.【解答】解：如图，可得圆心E(1,0)也是抛物线的焦点，过M作准线的垂线，垂足为“，根据抛物线的定义，可得EN=NH故AMNE的周长I=NH+NM+ME=MH+3,由y"x可得4（2,2点）,（x-l）2+y2=9，点A到准线的距离为2+1=3,M”的取值范围为（3,5），AMNE的周长M/7+3的取值范围为（6,8）26. （2020和平区校级一模）己知双曲线C：工-b2y2=l（b>0）的右焦点到其中一条新近线的距离等于3X抛物线E：y2=2px（p>0）的焦点与双曲线。的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线/1：4x-3）,+6=0和/2：X=-1的距离之和的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得4进而得到。由抛物线的焦点坐标，可得p=2,进而得到抛物线的方程.连接MF,过点M作AMJJi于点A,作M8J_准线X=-I于点C.由抛物线的定义，得到d+d2=MA+MFf再由平面几何知识可得当M、A、E三点共线时，MA+MF有最小值，因此算出F到直线人的距离，即可得到所求距离的最小值.【解答】解：双曲线C-b2y2=l（Q0）的渐近线方程为y=±弟右焦点（3b2÷4. 0)4b2到其一条渐近线的距离等于工, 2Tb2+4可得/士=-=J.-Ak22解得b=2,即有，岳=L由题意可得5=1，解得p=2,即有抛物线的方程为.=4x,如图，过点M作MAjJl于点4,作M8_L准线/2：X=-1于点C,连接MR根据抛物线的定义得MA+MC=M4+MR设M到力的距离为di,M到直线/2的距离为山，：.d+d2=MA+MC=MA+MFf根据平面几何知识，可得当M、A、尸三点共线时，M4+M尸有最小值.VF（1,0）到直线“：4-3y+6=0的距离为此"S=216,MA+M、的最小值是2,由此可得所求距离和的最小值为2.故选：B.7. （2020春丰台区期末）已知点P是椭圆C：=1上一点，M, N分别是圆（X- 6） 2+y2=l和圆（x+6）2+y2=4上的点，那么IPM+1PM的最小值为（）A. 15B. 16C. 17D. 18【解答】解：如图，椭圆C：=的 =10, b=8,【分析】由题意画出图形，数形结合以及椭圆的定义转化求解即可.所以c=6,X圆(-6)2+=1和圆(x+6)2+y2=4的圆心为椭圆的两个焦点，则当M,N为如图所示位置时，PM+IPM的最小值为2(2+1)=17.故选：C.2C8. (2020南岗区校级四模)已知椭圆T：¥+y2=i(a>l)的焦点尸(-2,0),过点M(0,1)引两条a互相垂直的两直线/1、/2,若P为椭圆上任一点，记点P到/1、/2的距离分别为力、也,则42+龙2的最大值为()A.2B.也C.互D.空424【分析】由已知求解可得椭圆方程，设P(M,州)，由/山2,得d12+(2=pml2=02+(y0-)2j再由P在椭圆上，转化为关于川的二次函数求解.【解答】解：由题意知：/=1+4=5,2二椭圆T:Fy=5设尸(刈，V),v±2,且M(0,1),di2+d22=PHI?=、/+。1)?,2z-j-+y02=l,d12+d22=5-5y02+(y0-l)2=-4y02-2y0+6-IWWW1,当VC=-L时，"/+m?的最大值为空，yO44故选：D.9. (2020春黄山期末)已知平面内与两定点距离的比为常数攵(k>0,且Al)的点的轨迹是圆，这个圆22称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆片÷l(a>b>O),A,B为长轴端点，C,D为短轴端点，动点May满足.MA=2,ZMB面积的最大值为8,ZXMCO面积的最小值为1,则椭圆的离心率为()MB乙A.返B.返C.返D.返3322【分析】由题意可得点M的轨迹方程，由AMAB面积的最大值为8,用CO面积的最小值为1可得,的值，进而求出椭圆的离心率.【解答】解：由椭圆的方程可得A(-,0),B(,0),C(0,力)，D<0,-b),设M(x,y),则点M满足幽L=2,所以可行"+y2=2,整理可得W+)?_Ue=。,IMBl(x-a)2+y23圆心坐标为(至“0),半径r=,3314y2a-a=8因为AMAB面积的最大值为8, 4CQ面积的最小值为I,解得：7=6,所叫y2b(ya-a)=l3 2所以椭圆的离心率e=£ a故选：D.2210. (2020襄州区校级四模)已知尸I、尸2分别是椭圆七十勺l(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上一y点(异于左、右顶点)，若存在以亚C为半径的圆内切于?产尸2,则椭圆的离心率的取值范围是()2CB除Dc S,冬D(0, O【分析】利用已知条件列出三角形的面积，推出不等式，然后推出椭圆的离心率的范围.【解答】解：Fi、放分别是椭圆彳，-l(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上点(异于左、右顶a，b/点)，若存在以零C为半径的圆内切于aPF2,可得：-×(2a+2c)×2yc=y×2cyp|*(a+c)c=V2cIypV2bc,*(a+c)V2b>,(«+c)22>2,则OWJ-24c-3洛I(a+c)(a-3c)20,/.3c,0<e<-故选：D.2211. （2020运城模拟）如图，已知尸1、尸2分别是椭圆C：二上=1的左、右焦点，过Fl的直线/1与过6432尸2的直线/2交于点M线段FlN的中点为M,线段广IN的垂直平分线MP与/2的交点尸（第一象限）在)D. (O, 1)【分析】结合图形说明IQM=IM设点P（X0,加）（xo>O,）X）>0）.由两点间的距离公式，以及焦半径公式转化求解L的表达式，然后求解取值范围.Iof2I【解答】解：如图所示，点A在y轴右边，因为PM为FIN的垂直平分线，所以IaM=IMM.由中位线定理可得IoMIvlF2NI设点P（X0,IyO）（o>O,5>0）.
