第8讲二次函数与幂函数（教师版）.docx
第8讲二次函数与幕函数思维导图题型1：幕函数的图象与性质题型2:二次函数的解析式考向1：二次函数图象的识二次函数与鬲函数富(考向2:二次函数的单调性问题题型3:二次函数的图象与性质M-、考向3:二次函数的最值问题考向4:二次函数中的恒成立问题嘉函数定义不清晰致误常见误区/"(忽视对二次函数的二次项系数的讨论致误知识梳理1 .幕函数(1)定义：形如y=(ER)的函数称为累函数，其中底数X是自变量，。为常数.常见的五类哥函数为y=ty=x1,y=x3,y=J,y=x.(2)五种幕函数的图象性质基函数在(0,+8)上都有定义；当>0时，暴函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;当<0时，黑函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.2 .二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：tr)=0r2+bx+c(zO)顶点式：J(x)=a(xm)2+n(a0).零点式：fl,x)=a(x-x)(xX2)(«0).(2)二次函数的图象和性质解析式J(x)=v2÷>x÷c(a>O)yU)=+bx+c(<O)图象711定义域(-8,+)(8,+)值域ac-Ir,、÷°J(4acb2I°°,4单调性在(-8,一用上单调递减；在(一枭+8)上单调递增在J，-S在T+8上单调递增；)上单调递减对称性函数的图象关于X=一袅对称核心素养分析本讲主要考查累函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，重点提升逻辑推理、直观想象素养.题型归纳题型1鬲函数的图象与性质【例I-1(2020春本溪月考)己知幕函数/(X)=(rn-)2xml-4m+2(fnR),在(0,yo)上单调递增.设=Iog54,Z?=log13,c=0.542,则/(a),f(b),f(c)的大小关系是()5A.f(b)<f(a)<(c)B.f(c)<f(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b)D.f(a)<f(b)<f(c)【分析】先利用幕函数的性质求出机的值，再利用寨函数的单调性即可解题.【解答】解：.事函数/(X)=(m-在(O,M)上单调递增，解得加=0,m-4w+2=O.f(x)=X2，故选：A.【例1-2】(2020春沈河区校级月考)设白=弓)打=(芋,c=(子，则-b,C的大小顺序是()A. c<a<bB. c<b<aC. a<c<bD. b<c<a【分析】先判断b>l,再化。、。，利用客函数的性质判断。、。的大小.31a-【解答】解：a=(J=()4<1,41/=(一)4>112-8-=(一)4=(一)4<11QO1且°<5<<1'函数了=/在OgO)上是单调增函数,«191所以(2尸<(2)4，2716所以c<；综上知I,c<a<b.故选：.【跟踪训练I-1】(2019秋杨浦区校级期末)辕函数/(X)=(a-)x,n2-2m3(a,mN)为偶函数，且在(0,÷>)上是减函数，则+M=.【分析】先利用塞函数的定义和单调性求出。的值和?的范围，再结合偶函数确定?的值，即可求出结果.【解答】解：.哥函数f)=3-iFm-3(,znwN),在(0,+oo)上是减函数，ci1=1Pl.m-2m3<O,.=2,1<<3>又."7N,/./n=O»1*2,又幕函数/(x)为偶函数，."z=l,.4+6=3，故答案为：3.【跟踪训练1-2】已知幕函数%)=(层+2-2)一3"(£2)的图象关于旷轴对称，且在(0,+8)上是减函数,则的值为()A.-3B.1C.2D.1或2【分析】本题考查基函数的性质，根据幕函数的性质即可求解.【解析】赛函数外)=(/+2/72)fl2f在(0,+8)上是减函数，2÷2i-2=1,1-3h<0,又=1时，火X)=X-2的图象关于),轴对称，故=.故选B.【名师指导】幕函数的性质与图象构征的关系(1)篆函数的形式是)，=U(ER),其中只有一个参数,因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)判断基函数y=U(R)的奇偶性时，当。是分数时，一般将其先化为根式，再判断.(3)若寐函数y=d在(0,+8)上单调递增，则>0,若在(0,+s)上单调递减，则<0.题型2二次函数的解析式【例2-1(2019秋道里区校级月考)已知二次函数/(幻=/+法+3("0)图象过点A(-3,0),对称轴为(1)求y=(x)的解析式;(2)若函数y=g()满足g(2x+l)=(x),求函数y=g(x)的解析式.【分析】(1)根据条件即可得出9a-3b+3=0h,从而可解出a=-yb=-=1552a这样即可得出12fM=-2+-+3i1O(2)可根据题意得出g(2x+l)=f+(x+3,从而可设2r+l=z,解出g(2x+l)=-g2+3即可得出gQ)=_5/2+/+2,/换上X即可得出y=g()的解析式.(9-3b+3=0【解答】解：(1)根据题意得,解得525/122'y(x)=X+x+3;(2)由题意得，(2x÷1)=-1+÷3,设2x+l=f,则=寸，'.gQ)=-(r-l)2+-(r-l)+3=-r2+/+,20520104/、12311.Ig(X)=XHXd20104【例2-2】(一题多解)己知二次函数Ar)满足12)=1,八-1)=-1,且大幻的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.【解】法一：(利用一般式)设J(x)=r+bx+c(a0).由题意得,4+2b+c=-1,。一C= - 1,4ac-bz4=8,4a解得彳a=-4fb=4,c=7.所以所求二次函数的解析式为Kr)=-42+4x+7.法二：(利用顶点式)设ftx)a(-m)2÷”(0).因为犬2)=4一1),所以抛物线的对称轴为=2+B所以=；.又根据题意函数有最大值8,所以/1=8,因为/2)=1,所以+8=1,2n 127+ 8=-4.v2+4x+7.法三：(利用零点式)由已知兀0+1=0的两根为Xl=2,及=1，故可设Kr)+1=(-2)(x+1),即加)=0x2-or-2-L.,.l.,4(-2-1)-(r又函数有最大值8,即元=8.解得a=-4或4=0(舍去)，所以所求函数的解析式为兀V)=-4a2+4-+7.【跟踪训练2-1】(2019秋贺州期中)已知一个二次函数f(x),/(0)=4,f(2)=0,f(4)=0.求这个函数的解析式.【分析】先设出函数的表达式，再将函数值代入得到方程组，求出即可.【解答】解：设f(x)=+fcv+c,Ic=42:.-4a+2b+c=0,解得：b=-3t16+4力+c=Oc=4/(x)=x2-3+4.【跟踪训I练2-2】(2019秋沈阳期中)已知一次函数"3)=4x+3,且/在R上递增，二次函数g(x)的图象的顶点是(1,-2)且过(0,-1).(1)分别求函数/(X)与函数g(x)的解析式；(2)求函数/(g(x)与g(f(x)的解析式.【分析】(1)直接利用待定系数法的应用求出函数的关系式.(2)直接利用(1)的结论，求出结果.【解答】解：(1)因为f(x)在R上递增，iSf(x)=kx+b6>0),W1Jf(f(x)=f(kx+b)k2x+kb+b=4x+3,贝U/=*kb+b=3,.k-=2f=-2.,x则L,或Lr(舍去)，b=P=-3/./(x)=2x+l；.二次函数g(x)的顶点是(1,-2),.设g(x)=(x-l)2-2,g(x)过点(0,-1),代入解得=l,g(x)=/-2x-,(2)由(1)得f(g(幻)=2-4x-L(/(x)=4x2-2.【名师指导】求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下:，三个点的坐标H宜选用一薮)(巳知K(对称轴宜选用顶点式)最大(小)值/(与X轴两交点的坐标H宜选用零点式)【例3-1已知必c>0,则二次函数yU)=+bx+c的图象可能是()题型3二次函数的图象与性质ABC【解析】A项，因为<0,-4<°，所以X0又因为bc>O,所以c>O,而/(0)=c<0,故A错.B项，因为<0,所以历>0.又因为"c>0,所以c<0,而y(O)=c>O,故B错.C项，因为>0,<0,所以6>0.又因为abc>O,所以c>0,而/(O)=CV0,故C错.hD项，因为介0,一五>0，所以"O,因为"bc>O,所以CV0,而/(O)=CV0,故选D.【例3-2】(2020海南模拟)已知函数/(X)=Y蛆+5在(2,+)上单调递增，则机的取值范围为()A.4,+oo)B.2,+)C.(-co,4D.(to,2【分析】先求出函数f(x)的对称釉，再结合f(x)在区间(2,+00)上单调递增,所以对称轴在区间(2,”0)左侧，列出不等式，解出机的取值范围.【解答】解：函数/(X)=X2-如+5的对称轴为x=%,2函数/(x)在区间(2,M)上单调递增，2,解得眼,4,2故选：C【例3-3】(2019秋庐江县期末)函数y=-2x+3在闭区间0,M上有最大值3,最小值为2,用的取值范围是()A.(-co,2B.0,2C.1,2D.1,+oo)【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数/(x)的图象，如图所示，当x=l时，y最小，最小值是2,当=2时，y=3,欲使函数/(X)=X2-2x+3在闭区间0,诩上的上有最大值3,最小值2,则实数M的取值范围要大于等于1而小于等于2即可.【解答】解：作出函数f(x)的图象，如图所示，当x=l时，y最小，最小值是2,当x=2时，y=3,函数/(x)=V-2x+3在闭区间0,M上上有最大值3,最小值2,则实数机的取值范围是1,2.故选：C【例3-4(2020江苏一模)已知函数/(x)=(6-2)f+(L8)x(?WR)是奇函数，若对于任意的xwA,关于X的不等式/(Y+1)</(a)恒成立，则实数。的取值范围是.【分析】由已知结合奇函数的定义可求加，然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系及二次函数的性质可求.【解答】解：由奇函数的性质可得，f
