第25讲简单的三角恒等变换（讲）（教师版）.docx
第25讲简单的三角恒等变换思维导图题型1:三角函数式的化简考向1：给角求值简单的三角恒等变换题型2：三角函数式的求值Q考向2:给值求值考向3:给值求角题型3:三角恒等变换与三角困数的综合应用知识梳理题型归纳题型1三角函数式的化简CtCt【例11】(2020春临渭区期末)已知(0,),化简:(1+sina+cosa)(cos-sin-)2+2cosor【分析】由条件利用二倍角公式、以及三角函数在各个象限内的符号，化简要求的式子，可得结果.,1xza.a.a。21。、(1+sn÷cosa>(cossin)(1+2sn-cos+2cosl)(cossin)【解答】解：(0,-),.22_=222222+2cosL,八J2+2(2cosy-l)Ca.aa、<a.ax_a2cos(sin+cos)(cossin)2coscosa_22222_2_coa2cos-12cos-22故答案为：cosa.【跟踪训练1-1】(2019秋淮安期末)设工效於则1+Sin2x+1-Sin2x=()42A.2sinXB.2cosxC.-2sinxD.-2cosx【分析】由Jl+Sin2x+71-sin2x=J(SinX+8SX)?+/(sinx-cosx)2,然后结合己知角的范围进行化简即可.【解答】解：J42则l+sin2x÷JI-Sin2x=J(Sinx+cosx)2+J(Sinx-cosx)2，=sinx+cosx+sinx-cosx=2sinx.故选：A.【跟踪训练12】(2019秋徐州期末)若。为第四象限角，则JE逅-JE国可以化简为()V1+sinaVl-Sina222A.B.C.D.2tanaSinaCoSaIana【分析】由a为第四象限角，结合已知条件利用同角三角函数基本关系式求解.【解答】解：。为第四象限角，Il -sina Jl + sina _ I(I-Sina)2(1 + sina)2 _ 1 - sinaVI + sin a YI-Sina y I - sin2 aV 1 - sin2 acos a故选：O【名师指导】I + sin a _ _2sin<cos a cos a1.三角函数式的化简要遵循"3看''原则-看角一通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的 拆分,从而正确使用公式二看函_ 数名称看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式, 常见的有“切化弦”三看结 构特征:分析结构特征，找到变形的方向，常见的彳i“遇i到分式要通分”“整式因式分解” “二次式配 !方”等2.三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降球或升球.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次.题型2三角函数式的求值【例2-1（2020春青羊区校级期中）A. B. 122cos480-23sin360cos360 _cos 270-sin 27°C. -1D.【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解.【解答】解:2cos 48。- 2 6 Sin 36。8S 36。cos 27o-sin 27°2cos(900 - 42。)一万Sin 7202(y cos 27° -与 sin 27°)Sin 72。- ； cos 72°) - 3 sin 7202cos72o2sin42。-Ain72。=2sin(72。-30。)-逐Sin72。2cos(27o+45o)应COS72。-8s720=立2cos72o2故选：D.【例22】（2020辽宁模拟）若Sina=j.,则2c°s+3sin-2=.Jcosa3sh02【分析】由已知可得3sina=l-cos,代入所求利用三角函数恒等变换的应用即可化简求解.【解答】解：应竺二4，1-cosa3.3sina=I-COSa，2cosa + 3sina-2 2(2COSa+ 1 -CoSa - 2),"-=-Z .-> asin 21 - cos a故答案为：-2.【例2-3】（2020春天心区校级月考）若为锐角，且（4cos50。-tan40。）tana = 1,则a =（）A. 60oB. 50oC. 40oD. 30o【分析】先利用三角函数公式化简4cos50。1皿40。=如，则tana =正，从而求II； Q的值. 3【解答】解：4cos500-tan400 =4sin40o-tan40o4sin40cos400-sin400 2sin80° sin(300 + 10。) 2 cos 10。一;COSlo。一争n 10。cos 40ocos 40ocos 40°3/32csl0°-sinl0° zcos(30÷10°) R=3= 3 ，cos40ocos40o13. tan a =-= 33又为锐角,. = 30°,故选：D.CCql 00【跟踪训练2-1】(2020春雨花区校级月考)-4sl0o = ()sin 10°A. 1B. 2C. 3D. 2【分析】由已知结合二倍角公式及和差角公式对已知进行化简即可求值.【解答】解：原式=cosl00-2sin200SinlOocos 100 - 2sin(30o-10°)SinlOoGsin 10。；6SinlOo故选：C.【跟踪训练2-2】（2020春开江县校级月考）化简：CS25。-S加25。的结果为sin40osin50°【分析】利用诱导公式及二倍角公式直接化简得解.斛答解.c°sl5°一s'"?5°_CoS10°_CoSl0。_sin80°sin4O°sin50°-Sin40°c。S40。-Lin80。-Lin80。22故答案为：2.【跟踪训练2-3】（2020春驻马店期末）化简求值:/I、sin70+sin80cosl50（1）；cos70-sin80sinl50(II)4cos700÷tan200.【分析】(I)利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解;(Il)利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解.【解答】解：(I)3sin70+sin8ocos15°sin(150-80)+sin80cos!50sin150cos80.tan45o-tan30o3c/T=tan(45-30)=i-三=2-3cos70-sin80sinl50cos(i5o-8o)-sin8osin15ocos150cos8o1+tan45otan30oJJI+×-l-33_o3(I)4cos700cos200+sin2002sin40o+sin20o2cos500+sin(500-300)亏sm50°+cos50°sin(50o+60o)v11,4cos70o+tan200=-a . a cos+ sin 22 二a . a cossin 22cos20ocos20ocos20ocos20ocos20°【跟踪训练24】(2020金凤区校级模拟)若sin(4+a)=,是第三象限角，则a.aadcos+sin-.【分析】根据题意可得Sina=-士，cosa=-,再化简一Z1二上里4,代值计算即可.55。cosaa.a/.a.cos+sin(cos+sin).【解答】解:22=22J+sns-sin(cos-sin)(cos÷sin)cosa2222223,.sin(乃+cr)=-sin=-,3.Slna=一一5.为第三象限角，4 l+sina1.,.cosa=，/.=5 cosa2故答案为：2【跟踪训练2-5】(2019秋辽源期末)已知Sina是方程5-7x-6=0的根，则sin(-)sin(-cr)tan2(2-d)22=cos(-)cos(y+)cos(-a)【分析】解一元二次方程求得Sina的值，在老鹰利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简所给的一角函数式，可得结果.【解答】解：,sincr是方程5x2-7x-6=0的根，.sinQ=-不,33sin(-")sin(-)tan2(2-a),2.'22cosa(-cosa)tana11=1=-一=-cos(-)cos(÷a)cosg-)sin(sin"荻。)CoSa±l-sin2a故答案为：士*.4【跟踪训I练2-6】（2020春辽宁期中）已知一工vxv,sinx+cosx=-.25（1）求SinX-8sx的值；（2）求地型且2的值.1-tanX【分析】（I）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得SinX-CoSX=-J（SinX-CoS魂的值.（2）由题意利用三角函数的恒等变换及化简所给的式子，结合（1）的结论，可得结果.【解答】解：（1） ,己知一工<x<0 , .cosx>sinx,2SinX+cosx =一，平方可得 1 + 2SinCOSX=一，-居二.2sincos%=-25sinX-cosX=-J(SinX-CoSX)2=-«71-2sinxcosx=_24Isin2x+2sin2x_2sinxcosx+2sin2x_2sinxcosx(cosx+sinx)_25>5_241-tanx1-tanxcosx-sinxL1755【跟踪训练2-7】（2020石家庄模拟）若CoSa（I+6IanI0。）=1,则的一个可能值为（）A.70oB.50oC.40oD.10°【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简LI知等式可得COSa=8s40o,比较各个选项即可得解.【解答】解：,.cos(l+73tanI0o)=1,.cosa =l + 3tanl()°COSI0。cosl0o+3sinl()°cosl0o2sin40osin80。2sin40o=s40o，的个可能值为40°.故选：C.【跟踪训练2-8(2020春浦东新区校级期中)已知角,夕W(OW)，3sin/=sin(2+0,4tan=I-tan2,则+/?=.【分析】从4ta吟=l-tan费.中解出tana,利用配角法化简3sin=sin(2a+/),即将其中的2a+£
