点线面位置关系知识点梳理及经典例题带解析.docx

【知识梳理】（1J四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言：A,8,且4,8=a0公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。三个推论：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面经过两条相交直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有口只有一个平面它给出了确定一个平面的依据。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。符号语言：P,且Pn夕=,P.公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：alll,旦blllnclb.（2）空间中直线与直线之间的位置关系1 .概念异面直线及夹角：把不在任何一-个平面内的两条直线叫做异面直线。两条异面宜线。口，经过空间任意一点。作直线"4力'匕，我们把，与6'所成的角（或直角）叫异面直线。力所成的夹角。（易知：夹角范围o<e）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）升而吉江相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线2 .位置关系：平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内QUa）有无数个公共点行夫汨,直线与平面相交U-a=A）有且只有一个公共点直线在平面外4直线与平面平行（/«）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种:两个平面平行QaH位没有公共点两个平面相交（6=/）有一条公共直线直线、平面平行的判定及其性质（1）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行a<za,bU,且。Z?=CIHa在平面内“找出”一条直线与直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行au,bu°,ab=Pyallayblla=Ma判定的关键：在一个平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行alla,ac,a=b>ab平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行allya=ay=b=>a/b直线、平面平国售直的判定及其性质(一)根本概念1.直线与平面垂直：如果直线/与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面垂直，记作直线/叫做平面的垂线，平面叫做直线/的垂面。直线与平面的公共点尸叫做垂足。2 .直线与平面所成的角：角的取值范围：OVeV90。3 .二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法：二面角的取值范围：0<6><180o；两个平面垂直：直二面角。(二)四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。机、n三a,mn=P,且。±tn,a-Ln=>aLa在平面内“找出”两条相交直线与直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。au/?,a_La=£_La(满足条件与垂直的平面£有无数个)判定的关键：在一个平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面垂直的性质同垂直与一个平面的两条直线平行。aIa、bLana"b平面与平面垂直的性质两个平面垂直，那么一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。a±,aB=l,au。_L/n。_La解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线【经典例题】典型例题一例1简述以下问题的结论，并画图说明：(1)直线4U平面。，直线人=A,那么Z?和。的位置关系如何?(2)直线u,直线Z,那么直线匕和。的位置关系如何？分析：(1)由图(1)可知：力Ua或b11=A;(2)由图(2)可知：b/a或bua.说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法.典型例题二例2P是平行四边形ABCQ所在平面外一点，。是P4的中点，求证：PC平面8OQ.分析：要证明平面外的条直线和该平面平行，只要在该平面内找到条直线和直线平行就可以了.内，且。证明：如下图，连结AC,交BD于点。，四边形ABCD是平行四边形AO=CO,连结。，那么。在平面BOQ是AAPC的中位线，：PCH0Q.VPC在平面3。外，说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与直线平行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过直线作一平面与平面相交，如果能证明直线和交线平行，那么就能够马上得到结论.这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，假设线线平行，那么线面平行.典型例题三例3经过两条异面直线b之外的一点P,可以作几个平面都与，匕平行？并证明你的结论.分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论.解：(1)当尸点所在位置使得P(或b,P)本身确定的平面平行于b或时，过尸点再作不出与b都平行的平面；(2)当尸点所在位置。，尸(或Z?,P)本身确定的平面与匕(或。)不平行时，可过点尸作b,b.由于。，6异面，那么"，Z/不重合且相交于P.由于"11Z=P,"，"确定的平面,那么由线面平行判定定理知：alia,blla.可作一个平面都与人平行.故应作“0个或1个”平面.说明：此题解答容易无视对P点的不同位置的讨论，漏掉第(1)种情况而得出可作一个平面的错误结论.可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论.典型例题四例4平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，：直线aMb,。平面,baa.证明：如下图，过。及平面仪内一点A作平面尸.求证：blla.,.,alla,.*.allc.又：CIHb,.*.bllc.b<za,blla.CUa,说明：根据判定定理，只要在a内找一条直线cb,根据条件。,为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过。作平面夕与相交，我们常把平面夕称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化.和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如,就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的.典型例题五例5四面体SABC的所有棱长均为。.求：(1)异面直线SC、AB的公垂线段E尸及E尸的长；(2)异面直线E尸和SA所成的角.分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线SC、AB的公垂线段，进而求出其距离;面直线所成的角可采取平移构造法求解.解：(1)如图，分别取SC、AB的中点E、Ff连结SF、CF.由，得ASA5gAC4B.：.SF=CF,E是SC的中点，：.EF.LSC.同理可证EFjLAbE厂是SC、AB的公垂线段.本例中对于异在RIASEF中,SF=-a,SE=La.22：EF=ySF2-SE2(2)取AC的中点G,连结EG,那么EGSA.E尸和GE所成的锐角或直角就是异面直线E厂和SA所成的角.115连结户G,在bG中，EG=-a,GF=-a,EF=Ja由余弦定理，得CosZ.GEF=122212EG2+E/2g/2_WQ+工。一。2EGEF24旦22NGEF=45°.故异面直线EF和SA所成的角为45°.说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来,求值.然后再典型例题六例6如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内.：直线。,BWa,Bwb,blla.求证：bua.分析：由于过点8与平行的直线是惟一存在的，因此，此题就是要证明，在平面外，不存在过8与。平行的直线，这是否认性命题，所以使用反证法.证明：如下图，设bza,过直线和点B作平面夕，且/Cla=E.VaHa,bHa.这样过B点就有两条直线b和b同时平行于直线a,与平行公理矛盾.必在内.说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据.(2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下表达方式.如上图，过直线及点3作平面夕，设BCa=b.YaHa,：,bHa.这样，b与人都是过B点平行于。的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条，J./?与5重合.,：bua,bu.典型例题七例7以下命题正确的个数是().(1)假设直线/上有无数个点不在平面。内，那么/a；(2)假设直线/平行于平面。内的无数条直线，那么"/。；(3)假设直线/与平面平行，那么/与平面内的任一直线平行；(4)假设直线/在平面夕卜，那么".A.O个B.1个C.2个D.3个分析：此题考查的是空间直线与平面的位置关系.对三种位置关系定义的准确理解是解此题的关键.要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类.解：(1)直线/上有无数个点不在平面。内，并没有说明是所在点都不在平面。内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交.解题时要注意“无数”并非“所有(2)直线/虽与。内无数条直线平行，但/有可能在平面内，所以直线/不一定平行.(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到.当a时，假设mu且相/,那么在平面。内，除了与团平行的直线以外的每一条直线与/都是异面直线.(4)直线/在平面。外，应包括两种情况：/。和/与相交,所以/与不一定平行.应选A.说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面.如直线/、机都平行于,那么/与加的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线/6、IHa,那么根与。的位置关系可能是平行，可能是加在a内.典型例题八例8如图，求证：两条平行线中的一条和平面相交，那么另一条也与该平面相交.：直线。b,4VP面=P求证：直线b与平面相交.分析：利用。转化为平面问题来解决，由人可确定一辅助平面这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用.解：,：CiHb,，4和8可确定平面夕.;"11二尸，平面和平面夕相交于过点P的直