《概率论与数理统计》教案第7课随机变量及其分布函数.docx
课题随机变量及其分布函数课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解随机变量的概念(2)能够将随机事件的研究转化为对随机变量的研究(3)理解分布函数的概念和性质(4)会计算与随机变量相联系的事件的概率素质目标：(1)帮助学生树立正确看待随机现象的世界观，掌握统计估计的思想与方法(2)训练学生的抽象雌逻辑三三和发散思维的能力教学重难点教学重点：随机变量的概念，分布函数的概念和性质教学难点：会计算与随机变量相联系的事件的概率.教学方法讲练结合法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，搜集并了解随机变量及其分布函数的相关知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到互动导入【教师】提出问题：什么是随机变量？【学生】思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解随机变量及其分布函数的相关知识一、随机变量在许多随机试验中，试验的结果可以直接用一个数值来表示，不同的结果对应着不同的数值.例如，投掷一颗骰子，观察出现的点数，可能的结果分别是1,2,3,4,5,6这六个数值.如果用一个变量T表示出现的点数，那么试验的所有可能结果都可以用T的取值来表示，如"出现2点”可以表示成7=21,"出现6点”可以表示成(7=6).这个变量T随着试验的不同结果而取不同的数值.而在有些随机现象中，随机事件与实数之间虽然没有上述那种数字联系，但常常可以人为引进变量给它建立起一个对应关系.例如，抛掷一枚硬币，它的可能结果为"出现正面"或"出现反面”.我们引进变量W,用W="表示"出现正面"，用(w二°表示"出现反面".【教师】提出随机变量的定义一般地，有下面的定义.定义1设随机试验E的样本空间为Q,如果对于每一个eQ,都有唯一的实数劭与之对应,则称X=X(G)为随机变量.随机变量通常用大写字母XfY1Z或希腊字母4J等表示；而其所对应的/J写字母X,y,Z等则表示为随机变量所取的值.由定义1可知，前面所说的T和W都是随机变量.下面再举几个随机变量的例子.(详见教材)引入随机变量以后，就可以用随机变量来表示随机试验中的各种事件.例如在上面的(1)中，事件"四次均未出现正面”可以用x二°>来表示，事件"正面至少出现两次"可以用x2来表示，事件"正面最多出现三次"可以用X”3来表示.可见，随机变量是一个比随机事件更宽泛的概念.随机变量依其取值的特点通常分为离散型和非离散型两类：如果随机变量X具有有限个值或无限多个可数值,则称X为离散型随机变量，如"嵯I炊品的个数""悔IJ的呼叫个数"等；另一类是非离散型随机变量，它包含的范围很广，情况比较复杂，我们只关注其中最重要也是实际中常遇到的连续型随机变量，如"电灯泡的寿命"，实际生活中常遇到的"测量误差”等.研究随机变量，不仅要知道它能够取得哪些值，更重要的是要知道它的取值规律，即取到相应值的概率.随机变量的取值及其取值规律之间的对应关系称为随机变量的概率分布.概率论的历史表明，引入随机变量的概念以后,概率论的研究中心就从随机事件转移到随机变量上来,概率论的发展也从古典概率时期跨越到分析概率时期.二、随机变量的分布函数随机变量是定义在样本空间上的单值实函数，它的取值是有确定的概率的，这是它与普通函数的本质差异.下面引进分布函数的概念，它是普通的一元函数，通过它可以利用数学分析的方法来研究随机变量.定义2设X是一个随机变量，X为任意实数，函数F(x)=PXx(一8<<4<30)(2-1)称为随机变量X的分布函数.显然，随机变量X的分布函数户(X)是定义在(+8，-8)上的一元函数.如果将X看成是数轴上随机点的坐标，则分布函数尸(X)在X处的函数值等于事件"随机点X落在区间(Yo'x上”的概率.由定义可知，对于任意实数"'"S<力，由于<X领=x切一X?0,所以随机点落在区间(“'切的概率为Pa<X»=P(X四一P(X?a)=F(b)-F(a)(22)可见,若已知随机变量X的分布函数,就可以求出X落在任一区间3'加上的概率，这表明分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性.分布函数尸(处具有下列性质.(1)单调性“幻为X的单调不减函数，即当占时，有F(X1),F(X2)(2-3)事实上，若XVx2,则厂(“2)-尸()=P(XVX京尾)。，所以b(N)”厂区)(2)有界性对任意实数X,有°别尸(X)1,且F(o)=Iim尸(X)=0F(+)=IimF(x)=1.t->-cox×i9f或者FS)=P(X,YO)=O%+)=PX,+=1(2-4)由F(x)=PX,x以及概率的性质知,°蒯产O)1.而从几何图形上看，当"一-8时，“随机点XriF(-oo)=IimF(x)=01落在区间(YO'AJ上"这一事件趋近于不可能事件，因此XT*;当X+8时，"随机点(YO3尸(+8)=IimF(X)=IX落在区间(7°川上"这一事件趋近于必然事件，因此X"(3)右连续性对任意实数X,有“x+°)=尸3(证明从略).需要指出的是，如果一个函数满足上述三条性质，则该函数一定可以作为某一随机变量X的分布函数.因此，通常将满足上述三条性质的函数都称为分布函数.也就是说，上述三条性质是鉴别一个函数是否为某一随机变量X的分布函数的充分必要条件.(例题详见教材)【学生】聆听、思考、理解、记忆拓展训练【教师】给出题目，组织学生以小组为单位进行解题1 .一批产品的次品率是5%,从中随机取一个进行检查，正品记为O,次品记为1,抽取结果可以用一个随机变量X来表示，求X的分布列.2 .袋中有7个黑球、3个白球，从中每次随机抽取1球，不放回，直到取得黑球为止,记X为取到白球的数目，求随机变量X的分布列.【学生】聆听、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，讲解解题步骤【学生】对比答案和解题步骤，提高自身解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点随机变量随机变量的分布函数【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业(1)蒜擞材中的习题2-1;(2)登录APP腺他学习平台查看相海口识雌。【学生】完成课后任务教学反思
