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课题可分离变量的微分方程课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解可分离变量微分方程的概念，掌握可分离变星微分方程的求解方法(2)熟练掌握可分离变量微分方程的求解方法素质目标：(1)通过学生掌握可分离变量微分方程计算能力的提升，培养其逻辑思维能力(2)培养学生主动交流的合作精神，培养学生善于探索的思维品质教学重睚点教学重点：求解可分离变量微分方程的方法教学难点：可分离变量微分方程的判别教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课要讲的知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到问题导入【教师】提出问题：18世纪末，英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus,17661834),在研究了百余年的人口统计资料发现，在人口自然增长过程中，相对净增长率(出生率与死亡率之差)是常数，即单位时间内人口的增长量与人口成正比.在此假设下，MaIthUS人口模型为dx-=kxyX(O)=%dt.求人口随时间变化的关系.【学生】聆听、思考、讨论、回答【教师】公布正确答案，并引入可分离变量微分方程的概念传授新知【教师】引入新的知识点，讲解可分离变量的微分方程的相关知识一、可分离变量微分方程的概念【教师】通过例题，提出可分离变量的微分方程的定义，并强调其特点我们在解决实际问题时所建立的微分方程，有的不能像上一节遇到的微分方程那样，采用两边同时积分的方法求解，先看下面的例子.例1一曲线过点(1,0),且曲线上任意点M(X,V)处的切线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程.解设曲线方程为y=/(x),则曲线在点M(X,y)处的切线斜率为山.根据题意有dx曳=，CLry初始条件为He=O.这个方程不能用两边同时积分的方法求解，因为微分方程的右端含有未知函数y,积分-心解不出来.但如果将方程作如下变形写成这时方程的左端只含有未知函数y与dy,右端只含有自变量X与dx,即变量y与dy已经分离在方程的两端，此时两边可以同时积分J)由，=J<U,得即+=2C(U为任意常数).将>,L=0代入通解中，得C=g.于是所求曲线方程为%2+y2=1.通过例1我们看到，在解微分方程中，若两个变量同时出现在方程的某一端，就不能直接用两边积分的方法求解，如果能将两个变量分离,使方程的一端只含变量y及dy,另一端只含X及dx,那么就可以用两边同时积分的方法求出通解.这种求解方法称为分离变量法.变量能分离的微分方程称为可分离变量的微分方程.它的一般形式可表示为2=")g(y)dx求解步骤如下：(1)分离变量-=(x)dr;g(y)(2)两边积分券=J()d;(3)求出积分，得通解G(y)=F(x)+C.其中G(y),Rx)分别是一，f(x)的原函数，U为任意常数.g(y)二、可分离变量微分方程求解举例【教师】通过例题，总结求解可分离变量微分方程的方法例2求微分方程=Ixy满足初始条件儿=0=1的特解.解分离变量，得1jcdy=2xdx,y两边积分，得lny=+C1,即j=±e2+c'=±ec'e2,令±e°=C,得通解为j=Ce2.将v-o=1代入通解中，得C=1，于是所求特解为y=e2.注意：在解微分方程时，为方便起见，遇到如JLdy,JLdX等形式的积分，自然对数符号后可以不加绝对值，通解形式不变.例3解微分方程x(y2-l)ck+Xx2-Ddy=O.解分离变量，两边同乘以2,得2)'12*j2H22，y-1X-1两边积分,得Jy2_d(/1)=Jyj*1)，即ln(y2-l)=-ln(x2-l)+lnCf化简，得通解(X2-1)(/-1)=C(C为任意常数).例4【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值(GDP)为80423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%,问2012年我国的GDP是多少？解令Z=O表示1999年，设第f年我国的GDP为P(r).由题意知，从1999年起，P()的增长率为8%P(E),得微分方程空出=0.08P(z),P(O)=80423.dr分离变量，得两边积分，得InP(r)=0.08/+lnC,化简，得通解P(r)=Ceooez.将P(O)=80423代入通解中，得C=80423,所以从1999年起第1年我国的GDP为P(O=80423e08z.将，=2012-1999=13代入上式，得2012年我国的GDP预测值是P(13)=80423e008x,3227534.120(亿元).例5【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量会不断减少，这种现象称为衰变.实验证明：放射性元素在任何时刻f的衰变率与该时刻的质量成正比.若最初有50克的某放射性材料，2小时后减少10%.(1)试确定该材料的衰变规律；(2)预测经过多少年质量变成一半？解(1)设该材料在时刻的质量为m=m(z),则衰变率为,由题意知drdn.=-n.其中Qo为比例系数，取负号是由于质量减少，衰变率如0.dr初始条件n(0)=50,n(2)=5O×(l-IO%)=45.分离变量，得dm,1=kt,171两边积分，得Inm=-kt+InC,化简，得通解m=Ceh.将巩0)=50代入通解中，得C=SO,因此m=50ek,.将w(2)=45代入上式，得e-2A=0.9,所以左=-In0.9=0.053.502故该放射性材料的衰变规律为加=50e°g'.(2)质量变成一半时/77=25,将其代入上式，得25=50e053f,即©网，=,则2ln2/F、t=13(年).0.053于是可以预测大约经过13年，该材料质量变成一半.【学生】聆听、思考、理解、记忆强化练习【教师】组织学生以小组为单位，完成以下习题求解以下微分方程的通解(1)-=er-vdx(2)cosxsin-sinXCoSydy=0【学生】分组、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，并讲解解题思路【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点可分离变量微分方程的概念可分离变量微分方程的求解方法【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成能力训练6.2的习题【学生】完成课后任务教学反思
