55、周考题答案2024.2.16.docx
高三年级A部数学周考题答案(2024.2.16)1.D2.B3.B4.C5.C6.D.7.B.8.D9. BCD 10. BDILAD 12.142f+115.(13分)(1)1*7t所以 ''() = + ox-(2 + l)=-(2 + l)x + 2 (Or-I)(X - 2)因为曲线y=(x)在(Lf(I)处切线与X轴平行，所以解得=1,又/(l)=g-3=-w0,所以=l.(2)的定义域为(0,+e),/(耳=回二比二义，X当=0时，令Q")>0,得0<xv2,令r(x)<O,得x>2,/(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减./(x)在x=2处取得极大值，满足题意；当v时，令X%)>0,得0<x<2,令r(x)<O,得x>2,/(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减./(x)在x=2处取得极大值，满足题意；当。0时，(i)当=g时，J=2j'(式)0所以/(x)在(0,+8)上单调递增，/)无极值，不满足题意；(ii)当时，-<2,2a令r(x)<O,得LVXC2,令yr)>O,得O<x<L或>2(1、 '/V)在(°，/上单调递增，在上单调递减，在(2,+8)上单调递增.t。7f(x)在x=2处取得极小值，不满足题意；(iii)当OeaCL时，->2,2a令r(6<0,得2<x<L,令/«冷>0,得0<<2或x>Laa/(x)在(O,2)上单调递增，在(2,J上单调递减，在(y)上单调递增./(x)在x=2处取得极大值，满足题意；综上所述，。的取值范围为(-8,；(1) X 可取 0, 1, 2.且:P(X=O)Ce 二 5函一6P(X=I)=安1528P(X=2)CC； _ 3ClC* 28 n /16.(15分)XO12P5U1528328所以X的分布列为:则:EXIX282834小问2详解】设事件D="丁取到红球“，事件E二"甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.当甲、乙、丙三人取得1个白球，则丁取到红球的概率为3C4CGC7当甲、乙、丙三人取得2个白球，则丁取到红球的概率为3C；C；C；X3CeC7当甲、乙、丙三人取得3个白球，则丁取到红球的概率为C；CC2-_-X.Cce7'当甲、乙、丙三人取得3个红球，则丁取到红球的概率为CCC5-_=-×.CCC7、3CCC43C：Ce3CICC2/ P(DE)则所求概率为：P(Elo) 二 I而44.×+11-r-×-+-7M-×-7*773C；C©53C；C；C；43C；C；G33C；C；G2一而.434X+433X+42_+“2_I-17Cl7厂|Cl1厂1r17. (15分)TT（1）因为在梯形ABCO中，AB/CD,AB=2AD=2CD=4,/BAD=一,2为48的中点，所以,3CD/PB,CD=PB,所以ZXADP是正三角形，四边形OpBC为菱形，可得ACl8C,ACLDP,而平面£>'AC_L平面84C,平面力ACC平面BAC=AC,£>OU平面OAC，DO±AC,.DOJ_平面BAC,所以Q4,0P,0。'两两互相垂直,如图，以点。为坐标原点，OA,0P,0。'分别为X,Z轴建立空间直角坐标系,则a(J,O,o),c(-3,O,o),(-3,2,),£>(0,0,1),P(O,1,O),ADAB=(-2>,2,),BD=(3,-2,l),CD=(3,0,l),设平面ABD的一个法向量为相=（X,y,zJ,则in AD1 = O m AB = O即.-3x ÷ z = O-23xl +2yl =O令 XI= 1,则 y = Z =,m = 1,6,6),设平面C8D的一个法向量为=（X2，Z2），则nBD, = O,即 n-CD, = Ocos (tn, n mn 1×1 + ×O÷,V3 x(-5/7p>1 + 3 + 3×1 + 37所以二面角A-8。' 一。的余弦值为-立.7（2）线段PD'上存在点。，使得CQ与平面88所成角的正弦值为亚8设PQ=4P3(0;ll),因为。户=(6,l,),PD=(0,-1,1),所以C=CP+P=CP+PD=(3,1-,),设CQ与平面BCD所成角为仇则 sin = CoS(CQ, )-$/3 (1 - A)«)2222-2 + 48即3/1?7兄+2=0，0b解得丸二,，3所以线段PQ'上存在点。，且丝使得CQ与平面8C。'所成角的正弦值为亚.PD3818. （17分）解：（1）因为过焦点的直线交抛物线于A,B两点,且A8=8,设A（x,j）,B（X2,）?）,由抛物线的性质可得X2+X2+P=AB=8,又由抛物线方程可知p=2,所以X+X2=6,所以线段AB中点的横坐标，即至Uy轴的距离为巴产=3（2）由点C与原点。关于点P对称可知P是线段OC的中点,所以点。与点C到直线/的距离相等，所以四边形OABC的面积等于2Sacb,设直线方程为X=用y+l,v=y+1则，消去X可得y2-4ny-4=0,y2=4x设A（A3,>3）,B（X4,）4）,由韦达定理可得*+）4=4?，y3y¼=-4,所以2saob=2×ofIy3-y4*=41，当m=0时，四边形OABC的面积取最小值4.（3）设。点坐标为（R24）,M点坐标为（XM,>m）,N点坐标为（XM）w）.则直线DM的方程为y2a=k（%/）,与抛物线y2=4x联立，消去X得y2_£y但一4a2=。，kk所以由韦达定理可得2a+yltth生,k解得丫吊出直线DN的方程为y-2a=（x/）,与抛物线y2=4x联立，消去X得yr+4ky-8成-4a2=0,由韦达定理可得2a+yN=-4k,解得>w=-4A-24,显然直线MN斜率不为零，当直线MN斜率存在时，直线MN的方程为y*=L=4（,x?=_4（；XM）-XLMy评（yN+yM）（yN-yH）4x+(-2a) (-4k-2a)4-2a-4k-2a k-4k-2a代入IMN得,_k-4k-2a+2ak?+a%_k(-a2-4)一/a+l-ak-kl-ak-k所以直线mn过定点（4+«2,-2d）,即T点坐标为（4+J,-2«）,2a4+a2所以直线Or斜率为k0 =L当且仅当匹=,即=2时，等号成立, 2aa,即a=-2时，等号成立,当V0时，OV-Wr工当且仅当乌=T-2a当。=0时，Aror=O,当直线MN的斜率不存在时，设M点坐标为（r2,2r）,N点的坐标为（z2,-2Q,则DM=2-4(？-2)=0,解得2=4+q2,所以直线MN的方程为：x=4+/过点（4+/，2a）,综上所述，直线OT的斜率的取值范围为L-1.19. （17分）(1)由4=maxq+M+2-min4+M"+20'4=max2,q一min2,4=1,若。3>2,则%-2=1,即=3,此时/=max3M4-min3,4=2,当包>3,则q-3=2,即为=5；当包<3,则3-4=2,即/=1；若<2,IjiiJ2-a3=1,即。3=1，此时出=rnaxl,4一minl,q=2,当4>1，则/一1=2,即=3；当为vl，则1-。4=2,即%=T(舍)；综上，内的所有可能值为1,3,5.(2)由(1)知：可0,则minq+,z+2O,数列%中的项存在最大值，故存在°N"使qtqlo,(«=1,2,3,),由a,II)=maxano+1,-min+1,max/,al2%,所以min4”,纵1+2=°，故存在%£%+1,%+2使%=O,所以O为数列4中的项；(3)不存在，理由如下：由%>0(=1,2,3,),则%WaH+15=2,3,)，设5=|%>4+1，心1,若S=0,则4W%,ai<ai+l(i=2,3,),对任意M>0,取勺=一+2(表示不超过4的最大整数)，%当>4时，an=(an-an_x)+(.-an_2)+.+(a3-a2)+a2=%+%+4+a2(n-)a1>M；若S=0,则S为有限集，设m=maxMU>%+,"l,+1<+1(/=1,2,3,),rMn1对任意M>0,取巧=+加+1(印表示不超过X的最大整数)，"/H+1当>丐时,afl=(an-anJ+(ai-al2)+.+(am+2-az,l+1)+am+x=4-2+a11-3+勺，+卅+1N(-mWg>M；综上，不存在正实数M,使得对任意的正整数，都有M【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定工"+|5=2,3,),并构造集合S="l>"l,讨论S=0、S0研究存在性.
