第十讲_弧、弦、圆心角、圆周角.docx
第十讲弧、弦、圆心角、圆周角知识点一弧、弦、圆心角的关系【定义】、如图所示，NAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做.【探究】如图所示的。中,分别作相等的圆心角/AOB和NA'OB'将圆心角/AOB绕圆心0旋转到A'OBf的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？相等的弦：；相等的弧：【探究】在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？如图L在。和。0'中，分别作相等的圆心角NAOB和NA'0,B'得到如图2,滚动一个圆，使。与0'重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与(VA'重合.你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？因此，我们可以得到下面的定理：【归纳】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦几何语言,在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的也相等.几何语言,-i在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等，所对的也相等.几何语言,【辨析】定理”在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？你能举出反例吗？【拓展】如图，在。O中，ABx CD是两条弦.(1) 如果AB=CD,那么(2) 如果弧AB=弧CD,那么(3) 如果NAOB=NeOD,那么(4) 如果 AB=CD, OE±AB, OFJ_CD, OE 与 OF 相等吗？(5)如果OE=OF,那么AB与CD的大小有什么关系？ AI关系？为什么？ /AOB与NCoD呢？归纳:在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、 余各组量也。3与CD的大小有什么_H条弦还中有一组量相等，它们所对应的其【应用】例、如图，在。O中，AB=ACZACB=60°,求证NAOB=NBoC=NAOC方法小结：圆中证明圆心角相等，可通过证明.例、如图，AB是。0的直径，BC=CD=DE,ZC0D=35°,求NAoE的度数。延长BA交圆于相等，因此,方法小结：同圆中，弧相等的关系可转化为例、己知：如图，48、C、D在。上，AB=CD.求证：ZAOC=ZDOB.方法小结：同圆中，由弦相等可得f弧之间可进行加或【自我检测】1 .如果两个圆心角相等，那么（）A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对2 .在同圆中，圆心角A0B=2C0D,则两条弧AB与CD的关系是（）两条弦AB和CD的关系是（）A.AB=2CDB.AB>2CDC.AB<2CDD.不能确定3、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的4、如图，AB和DE是。的直径，弦ACDE,若弦BE=3,则弦CE=.5、如图所示，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD、BC于E、F,Go求证：EF=EG思路导航：证弧EF和弧GE相等，可通过证明两条弧所对的.可作辅助线6、已知：如图，P是NAO8的角平分线OC上的一点，OP与。A相交于E,F点，与。8相交于G,H点,试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论.思路导航；由角平线线可联想,因此可添加辅且线由同圆中相等，可得出弦EF和GH相等。知识点二、圆周角定理【探究】：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C,他们的视角（NAOB和NACB）有什么关系=（J【探究】：如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们的视角/ADB和NAEB相ACkZ同吗？ZACB,ZADB和NAEB的共同特征是，顶点在的角叫做圆周角。【辨析】zJ识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？）【探究】如图，AB为。0的直径，ZBOC.ZBAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，求出图（1）、（2）、（3）中NBAC的度数.通过计算发现：ZBAC=_ZBOC.试证明这个结论【探究】如图，BC所对的圆心角有多少个？BC所对的圆周角有多少个？在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心。有几夕位置糠你能证明刚才的结论吗？圆周角定理I在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，,并且两边©©z（1）（2）（3）0,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.辨析：在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所时的弧相等吗？【小结】：圆周角定理的前提条件是：【应用】例1、图中分别相等的圆周角有例2、如图，点A、B、C在。0上,C的度数是，否A07BC,Z0AC=20a,则NAoB方法小结：求圆中的圆周角可利用所对实现转化。例3、如图，OAxOB、OC都是圆0的半径，ZA0B=2ZB0C.求证：NACB=2/BAC方法小结：已知两个圆心角的关系，可通过所对的与的关系联系已知与未知.例4、如图，AB是。的直径，BD是。0的弦，延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系？为什么？方法小结：直径所对的圆周角是，垂直可结合等腰三角形.的性质。例5、如图，AB为圆0的直径，CD为圆0的弦，NACD=42度，则NBAD=_方法小结：圆中出现直径，求圆周角时，可构造直径所对解题。【自我检测】1、如图，ZABD的三个顶点在。0上，AB是直径，点C在。上，且NABD=52°,则NBCD=_2、如图，在。中，弧AB=弧AC,NAoB=50°,则/ADC的度数=3、4、如图，BD是。O的直径，NCBD=30°如图4, A、B是。0的直径，C、D、,则NA的度数为E都是圆上的点，则N1+N且对角线AClBDfOElBC于点E,2=_【经典例题】例、如图，四边形ABCD的四个顶点在圆。上,1求证：OE=AD2思路导航：由倍分关系，联系，由OE和BC的位置关系，由垂径定可知点E是BC的,又由圆的性质知点。为直径的中点，故可作辅助线本题知识点：_知根点三、圆内接四边形的性质【定义】如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。例如，图1中，四边形ABCD是。的内接四边形；。是四边形ABCD的外接圆。圆内接四边形有以下性质：性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。应用例1、如图，四边形ABCD内接于。0,ZBOD=100o,则NBCD=度例2、如图A,B,C是。O上的三个点，若NAOC=Io0",则NABC等于例3、如图，ZXABC内接于OO,NoBC=40°,则NA的度数为方法小结：圆中求角的问题可利用圆内接四边形一的性质解题，未出现基本图形时，可构造圆内接边形解题。例4、如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，NABC=50°,则NDAB等于（）例5、如图，已知AB=AC=AD,ZBAC=44a,则NBDC的度数为（）方法小结：弧中点的条件可转化为,见直径应想到,例5中出现到定点A的距离相等的线段，可构造辅助圆。经典例题如图，AABC内接于。0,且AB>ACNBAC的外角平分线交。于E,EFJ_AB,垂足为F.(1)求证：EB=EC;（2）分别求式子丝也和AB ACBFAF的值(3)若 EF=Ae=3, AB=5,求AAEF 的面积妙题巧解如图，在四边形ABCD中，NABC=NADC=90°，NDAB=60°，BD=6cm,求对角线AC的长.【自我检测】1、如图12,四边形ABCD内接于圆，NDCE=70°,则NBoD=2、如图，A、B、C在OO上，NoAB=22.5°,则NACB=3、如图，。是Aabc的外接圆，已知nb=62°,则NCAC)=4、已知A,B,C是。O上不同的三个点，NAOB=60",则NACB=第1题第2即第3题第5题6、如图，等腰AABC中，AC=BC,。为AABC的外接圆，D为弧BC上一点，CE_LAD于E,求证：AE=BD+DE.7、如图,OC经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上一点，NBMO=I20°.(1)求证：AB为C直径.(2)求C)C的半径及圆心C的坐标.
