概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题及答案.docx
第三章多维随机变量及其分布一、填空题1、随机点(x,y)落在矩形域再Vl%2,必yy2的概率为p,(2,为)一尸(尤2，M)+产区，y1)一尸(斗为)2、(X,Y)的分布函数为尸(x,y),那么尸(一go.y)=0.3、(X,y)的分布函数为尸(x,y),那么尸(x+0,y)=F(x,y)4、(X,Y)的分布函数为7(x,y),那么尸(x,+8)=FX(X)f(, y)= <k(- X- y)05、设随机变量(x,y)的概率密度为0<x<2,2<y<41其它，那么2=§6、随机变量(x,y)的分布如下，写出其边缘分布.XO123Pj7、设f(x,y)是XJ的联合分布密度，(x)是X的边3361OO_88182缘分布密度，那么+0c(X)=J-8X3OO888_.C13318、二维正态随机变量8888(x.)tX和y相互独立的充要条件是参数P=q.9、如果随机变量(x,y)的联合概率分布为64那么,应满足的条件是+B=而；假设X与F相互独立，那么。=痴='io、设x,y相互独立，XN(,i),yN(.i),那么(x,y)的联合概率密度/(x,)=-L,z=x+y的概率密度fz(Z)=-j=e.12、设Grl)的联合分布函数为Mx,y)，A+(l+y)2-访广环产。心。那么A=_l_o0二、证明和计算题1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2,从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球上标的数字为X,第二次取的球上标的数字丫，求(x,y)的联合分布律.12102213£33三个信箱投入2律.Y的解：PX=9=-02、三封信随机地投入编号为1,2,3的中，设X为投入1号信箱的信数，Y为号信箱的信数，求(x,y)的联合分布解：X的可能取值为0,123可能取值为0,123276 一273 一27C27A273 一27±1 2 Q1x+2y>13、设函数F(x,y)=4J;问F(x,y)是不是某二维随机变Ox+2yl量的联合分布函数？并说明理由。解：F(x,y)不可能是某二维随机变量的联合分布函数因P0<2,0<l=F(2,1)-F(0,1)-F(2,0)+F(0,0)=1-1-1+0=-KO故F(x,y)不可能是某二维随机变量的联合分布函数。4、设g(x)0,且g(x)公=1,有2g(4+y2/,0x,y<÷/(羽y)=j/ry+y、0,其它产产7)'o证明：/(x,y)可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。证明：易验证F(X,y)0,又J/(x,y)dxdy=£=平"=g""=1符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。5、在0,上均匀地任取两数X与Y,求尸cos(X+Y)<0的值。与，0%,y乃解：f(y)=r2,Pcos(X+K)<00,其它P-<X+Y<-)=-224ke-(3x+4y)X>0,y>06、设随机变量(X,y)的密度函数为/(x,y)=10其它(1)确定常数4求(x,y)的分布函数(3)求P<x,o<y2)解：J。”肛叱31”=(2)F(x,y)=JoJ(J2e-vydudv=J(I-3t)(1-OF)(3)P0<Xl,0<y2=F(l,2)÷F(0,0)-F(1,O)-F(0,2)7、设随机变量(x,y)的概率密度为/、X2+>30xl,0y2,z.、*,y)=0其它求PX+Y1解：PX+yl=/(x,y)公力=J：公，+£)办x+ylOlX38、设随机变量(X,y)在矩形区域O=(x,y)<x<力,cVy<d内服从均勺分布，(1)求联合概率密度及边缘概率密度.(2)问随机变量x,y是否独立？解：(1)根据题意可设(x,y)的概率密度为M=(b-a)(d-C)a<x<b,c<y<d其它l(b-a)d-c)f(国y)=八即(X)二竹-4O其它即 y(y) = (c<y<d其它(2)因为f(x,y)=fx(x)'f(y)f故X与丫是相互独立的.1-3-3y+3"r-yx0v09、随机变量(X,Y)的分布函数为F(X,y)=!二一求:0,其它1边缘密度；2脸证X,Y是否独立。解：1F(x,y)x=In3×(3-x-3-xv)2F(x,y)xy=In?33-x7,%>O,y>O.,ln23x3-A-yJy=ln3x3-rx>0W)=J。，o其它(2)因为/(,y)=f()y(y),故X与丫是相互独立的.io、一电子器件包含两局部，分别以x,y记这两局部的寿命（以小时记），设（x,y）的分布函数为 F(x9 y)= 1-e-°0,r-e-0,v+eWN)xO,yOO其它（1）问X和y是否相互独立？（2）并求PX>120,Y>120）解： G(X) = HX,+8) = «产 X >0O XVO易证EY(X)K(y)="x,y),故X,Y相互独立.(2)由X,Y相互独立Xy11、设随机变量g,)的分布函数为F(x,y)=A(B+arctg-)(C+arctg-)求：(1)系数A,B及C的值，(2)g,)的联合概率密度(x,y)0解：(1)F(+oo,+8)=A(B+弓)(C+)=1由此解得A=,B=C=,22(2)(x,y)=F;三(4+x)(9+y)12、设(X,丫)相互独立且分别具有以下表格所定的分布律X-2-1O2Y213Pk_1_11Pk_1J_43123244试写出(x,y)的联合分布律.解：PkPk求z=x+y的分布律.解：pX=k = Pk左=0,2,2=乂+丫的分布律为尸2=，=&%_«i=0,1,2,Z的全部取值为2,3,414、X,Y相互独立，其分布密度函数各自为求Z=X+Y的密度函数.解：Z=X+y的密度函数为fzZ=yfx(xfZ-x)dxiJ00由于x(x)在XO时有非零值，Fy(Z-X)在Z-xO即xZ时有非零值,故(x)人(Z-X)在O<x<Z时有非零值当Z0时，/(Z)=OZZ故fz(Z)=,e3-e6)Z>0OZ0
