第03章 函数.docx

+ ar + sin%+；）为偶函数，则 =【分析】利用偶函数的性质得到了从而求得 = 2,再检验即可得解.【解析】因为 y = (x) = (x-l)2+ar + sin(N + ) = (x-l)2+or+cosx 为偶函数，定义域第三章函数第二节函数的基本性质1.（2023全国甲卷理科13,文科14）若y=（1）2则=(+l)-1j=2,故=2,此时/(x)=(x-lf+2x+cos%=x2+l+cosx,所以/(T)=(T)*+l+cos(-x)=x2+l+cosx=/(x),又定义域为R,故/(可为偶函数，所以=2.故答案为2.2. (2023全国乙卷理科4,文科5)已知/(x)=+-j是偶函数，则=()A.-2B.-lC.lD.2【分析】根据偶函数的定义运算求解.【解析】因为/(x)=T-为偶函数，e1JVeK(-xq-xxexe-l则T)=T_(x)e=_LJ=o,jv7JI)er-lQax-ertv-l又因为X不恒为0,可得ex-"二,即ex=e"3,则x=(-l)x,即l=-l,解得=2.故选D.3. （2023新高考I卷11）已知函数/（戈）的定义域为R,f（）=y2/（X）+X2f（y）,则A./(O)=OB.(l)=0CJ(X)是偶函数D.=0为/(x)的极小值点【解析】选项A,令x=y=0,则/(0)=0,故A正确；选项B,令x=y=l,则/(1)=/(1)+/(1),所以/(1)=0,故B正确；选项C,令x=y=-l,则=+因为/0)=0所以/(_)=()令y=T,则/(T)=*(x)+x2(-l)=(x),所以/(x)是偶函数，故C正确；99f(y)f()f(y)选项D,对式子两边同时除以Xy0,得到一2丁=91O-,xyxy0,x=0故可以设小)=1hHX”当x>0时，/(x)=x2lnx,(x)=2xlnx+x2=x(21nx+l),X令r(x)>0,解得>e±令r(x)<0,解得OeVe春(-故/(x)在0,”单调递减，在e2,+单调递增.7/Jl(l又一(X)是偶函数，所以/(x)在W,0单调递增，在-8,一4单调递减./(x)的图像如图所示，所以X=O为/(x)的极大值点，故D错误.故选ABC.7r-I4. (2023新高考11卷4)若f(x)=(x+)ln为偶函数，则。=()2x+1A. -IB. OC. - D. I22%-_1【解析】/(x)=(x+«)ln-j-,x则/(一力=(-1+。)In=(-x+In"4人"14人""1因为/（x）为偶函数，所以Fa）=f（r）,rt/12x1,x,2x+1zx,2x-即(x+In=(-X+a)In=(x-a)In2,x÷12x12,x+1所以有x+=x-,得4=0.故选B.5. （2023北京卷4）下列函数中，在区间（0,+）上单调递增的是（）AJ（X）=-InXB./（）=-CJ（X）=_-DJ（X）=»"【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即可.【解析】对于A,因为y=lnx在（0,+co）上单调递增，V=T在（0,+8）上单调递减,所以f（x）=TnX在（0,+8）上单调递减，故A错误；对于B,因为y=2'在（0,+8）上单调递增，y=L在（0,+8）上单调递减，X所以f（）=，在（0,+8）上单调递减，故B错误；对于C,因为y=L在（0,+8）上单调递减，y=在（0,+8）上单调递减，X所以力=-，在（0,+8）上单调递增，故C正确；对于D,因为.U=3M=3T=6,/=3T=3°=1J（2）=3RT=3,显然/（x）=3T在（0,+8）上不单调，D错误.故选C.x+2,x<-6. （2023北京卷15）设>0,¾t/（x）="Ja2-x2-aka,给出下列四个结论:-yfx-,x>af（x）在区间（-l,+oo）上单调递减;当“l时，f(x)存在最大值；设Maja)(%,),V(,(x2)(x2>a)t则IMM>1；设P(WJa)(3vf),Q(4j(xJ)(x4一。)，若归。|存在最小值，则。的取值范围是；其中所有正确结论的序号是.【分析】先分析/(力图像，再逐一分析各结论；对于，取=g,结合图像即可判断；对于，分段讨论/(x)的取值范围，从而得以判断；对于，结合图像可知IMM的范围；对于，取。=，结合图像可知此时IPQl存在最小值，从而得以判断.【解析】依题意，>0,当x<-时，/(x)=x+2,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当rzx时，/()=2-2,易知其图像是，圆心为(0,0),半径为。的圆在工轴上方的图像(即半圆)；当x>时，/()=-7-l,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；显然，当xc(-1,+8),即-g,+oo)时，/(x)在卜g,)上单调递增，故错误;对于，当l时，当xv-时，f(x)=x+2<-a+2<；当rzx时，/(x)=J22显然取得最大值。；当x>“时，/(力=>x_1<ya-12,综上:“X）取得最大值。，故正确;对于，结合图像，易知在X=4,工2且接近于X=。处,M(XlJ(X)(Xla),v(x2,(x2)(x2>以)的距离最小,当 X=。时，y = (xl) = O ,当 且接近于 X =。处，y2 =(x2)<-T-1 ,此时，IMM > y-%>6+1 > 1，故正确；因为尸（毛，/（毛）（毛 一。），。（七 J （X4）（ZN-。），结合图像可知,要使IpQl取得最小值，则点尸在可（力= x+2x<a上，点。在小）同时IPQl的最小值为点O到/（x） = x÷2;x<4的距离减去半圆的半径。，此时，因为/（力=），=工+2（工1）的斜率为1,则ZQp=-1,故直线QP的方程为y=r,联立,解得,则PTl,yx+21y=l显然P（T,1）在f（x）=x+2（x<-1）上，满足IPQl取得最小值，即。二也满足IPQl存在最小值，故。的取值范围不仅仅是（,g,故错误.故答案为：®.【评注】本题解决的关键是分析得/（力的图像，特别是当x时，f（）=ya2-x的图像为半圆，解决命题时，可取特殊值进行排除即可.第三节塞函数1.（2023天津卷3）若=1.01°5=1.01°6,c=06°5,则,A,c的大小关系为（）A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c【分析】根据对应球、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由y=L01'在R上单调递增,则=1.01°5<b=1.01°6,由y=XO5在0,-o）上单调递增，则=1.01。$>c=O.605.所以Z?>>C.故选D.第四节指数与指数函数1. （2023天津卷3）若=1.01°5,b=1.01°6,c=0.6°5,则,b,c的大小关系为（）A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c【分析】根据对应球、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由y=1.0F在R上单调递增，则=1.01°5Vb=LOI°6,由y=x5在O,-）上单调递增，则=i.01°s>°=0.6°5.所以6>>c.故选D.2. (2023全国甲卷文科11)已知函数/()=e-("f.记=A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【解析】令g()=-a-1)?,则g)开口向下，对称轴为X=1,因为一；,而（G+>5y4?=9+6V76=6-7>0,42因为当由二次函数性质知而（G+）2-4?=8÷4-16=43-8=4（3-2）<0,也：<I-/27 以 6上， 即 综以 <又y=e为增函数，故a<c<b,b>c>a.故选A.3. (2023新高考I卷4)设函数/(力=2#引在区间(0,1)单调递减，则。的取值范围是()A.(o,-2B.-2,0)C.(0,2D.2,-kx)【解析】令=x(-a),要使得/(力=2#引在区间(0,1)单调递减，需要满足I=MX-)在区间(°)单调递减，所以1,所以Q的取值范围是2,同.故选D.4. (2023北京卷11)已知函数/(x)=4"+IogzX,Mfl=.【分析】根据给定条件，把X=L代入，利用指数、对数运算计算作答.2【解析】¾t(x)=4x+log2x,所以/(；)=43+log2；=2l=l.故答案为I.第五节对数与对数函数1. (2023北京卷U)已知函数/(x)=4'+匾工，则吗)【分析】根据给定条件，把X=L代入，利用指数、对数运算计算作答.2【解析】函数/(x)=4'+log2X,所以f(g)故答案为1.2. (2023新高考I卷10)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级4=2OXlg上,其中常数R)(PO>0)是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不PO同声源的声压级:声源与声源的距离/m声压级dB燃油汽车1060-90混合动力汽车1050-60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车IOm处测得实际声压分别为,p2,P3t则()A.p1p1B2>l°P3C.P3=l0°P0D.P1100P2(解析选项A,L1_乙=20Xlga_20XIg上=20xIg-Ig-=20×lg-0,POPOIPOPO)Pl所以pP2,所以A正确;选项B,L2-L3=20×lg-10,所以lg2g,所以匹M,故B错误;“332p3选项c,L3=20xlg21=40,所以lg%=2,所以9=100,故C正确;PoPOPo选项D,L-L,=20xlg且90-50=40,所以lg八2,所以且100,故D正确.PiP2Pz故选ACD.第六节函数的图像及应用1. （2023全国甲卷理科10,文科12）已知/（%）为函数y=cos（2x+制向左平移2个单位所得函数，则y=（x）与y=交点个数为（）A.lB.2C.3D.4【解析】因为函数y=cos（2x+£）向左平移看个单位可得/（X）=-Sin2尤而）'=；不一；过（°一£）与（1'°）两点，分别作出“）与y=g-g的图像如图所示,4._37t_3t_7Ttrt3t3Tt7t./×.11,.,.»-考虑2x=-,2x=-,2x=-,即X=-