2023-2024学年人教A版选择性必修第三册 7-2离散型随机变量及其分布列 学案.docx

7.2离散型随机变量及其分布列习素养目标定方向超学习目标1 .通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.2 .理解离散型随机变量的分布列，会求某些简单的离散型随机变量的分布列.陶核心素养1 .通过离散型随机变量及其分布列的概念与性质的学习，培养数学抽象素养.2 .借助分布列的求法，培养数学运算素养.必普知识探新知巨识点1离散型随机变量(1)随机变量：对于随机试验样本空间_JL中的每一个样本点3,都有唯一的实数*(3)与之对应,我们称X为随机变量.(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以:一一列举一的随机变量,我们称之为离散型随机变量.(3)离散型随机变量的特征：可用数值表示；试验之前可以判断其出现的所有值；在试验之前不能确定取何值；试验结果能一一列出.(4)表示：随机变量用大写英文字母表示，如力，KZ；随机变量的取值用小写英文字母表ZJF,如X,y,z»(5)本质：通过引入一个取值依赖于样本点的变量用来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化.练一练：下列变量，其中不是离散型随机变量的是(C)A.某机场候机室中一天的旅客数量为XB.某寻呼台一天内收到的寻呼次数为1C.某水电站观察到一天中长江的水位为才【).某立交桥一天内经过的车辆数为Zr解析ABD中的随机变量才可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量；C中的才可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故它不是离散型随机变量.知识点2离散型随机变量的分布列(D定义：设离散型随机变量才的可能取值为小，加，X"，我们称>取每一个值占的概率Pcr=M)=/=1,2,，/?为C的概率分布列，简称分布列，(2)表示：表格XXX2X"PPRPn(3)性质：0/20,/=1,2,，n；PI-p>=_练一练：随机变量/的分布列如表所示：X1234P0.1m0.32%则P(辰2)=(C)A.0.1B.0.2D. 0.4C.0.3解析由分布列的性质可得，0.1+/0.3+2/=1,可得加=0.2,所以尸O2)=P(X=I)+尸(才=2)=0.1+0.2=0.3.只点3两点分布对于只有两个可能结果的随机试验，用力表示“成功”，表示“失败"，定义X='1,力发生；_-T丁4”如果Pa)=夕，则P(N)=I-夕，那么才的分布列为0,A不发生.才01P1一我们称才服从两点分布或01分布.想一想：若随机变量力的分布列为P_323那么才服从两点分布吗？提示：不服从两点分布，1的取值只能是0,1.练一练：设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量f去描述1次试验的成功次数，则尸（=0）等于（C）D- 3A. 0B.c3解析设失败率为夕，则成功率为2小f的分布列为01PP2p即“f=0”表示试验失败，“f=1”表示试验成功，由夕+2P=L得夕=j,所以P（f=0）故选C.*5®关键能力攻重戏生，题型探究题型一随机变量的概念典例1（1）（多选）抛掷一枚均匀硬币一次，不能作为随机变量的是（ACD）.抛掷硬币的次数B.出现正面的次数C.出现正面或反面的次数D.出现正面和反面的次数之和（2）（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（AB）A.从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号数B. 一个袋中装有9个正品和1个次品，从中任取3个，其中所含正品的个数C.某林场树木最高达30m,则此林场中树木的高度D.某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差分析判断一个变量是否为离散型随机变量，关键是看它的取值能否一一列出，若能,则是离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量.解析(D抛掷一枚硬币一次,可能出现的结果是正面向上或反面向上，以某一个为标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量4,f的取值是0,1,故B项为随机变量；而A项中抛掷次数就是1,不是随机变量；C项中标准不明；D项中，出现正面和反面的次数之和为抛掷硬币的次数，也不是随机变量.(2)A项，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；B项，从10个产品中取3个产品，所得的结果有以下几种：3个正品，2个正品和1个次品，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；C项，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量；D项，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.规律方法判断一个随机变量才是否为离散型随机变量的具体方法(1)明确随机试验的所有可能结果.(2)将随机试验的试验结果数量化.(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.对点训练袋中有2个黑球、6个红球,从中任取2个,可以作为随机变量的是(B).取到的球的个数B.取到红球的个数C.至少取到1个红球D.至少取到1个红球的概率解析A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求.题型二分布列及其性质的应用典例2设随机变量力的分布列为尸Cr=/)=(>=1,2,3,4),求：aPCr=I或乃=2)；G尾).17分析先由分布列的性质求a,再根据X=I或X=2,2</2的含义，利用分布列求概率.41234解析Y1A=i+-÷1=l,a=10,Iaaaa则P(X=1或J=2)=PCr=I)+A=2)=J_2_=_3_=w+w=To-(2)由a=10,可得-1)+P(4=2)+P(*=3)_J_2_3_3=w+Io+w规律方法离散型随机变量分布列的性质的应用求参数的取值或范围.(2)求随机变量在某个范围内取值的概率.(3)验证分布列是否正确.I©对点训练(1)设f是一个随机变量，其分布列如下表所示:A. 1B. 1-101P12-2q2Q则=(D)jQ(2)设随机变量才的分布列为P(X=/)=而(i=l,2,3,4),若P(IW/a)=?则实数a的取值范围为(3,4.分析(1)由分布列的性质列出关于Q的等式或不等式求解；(2)分别求出Per=1),P(X=2),Pcr=3),尸(才=4)的值，然后根据P(IW/a)=(求a的取值范围.解析(1)由离散型随机变量分布列的性质得1+(1 - 2q)+d=l,0l-2l, 1,解得<7=1 y1213(2)因为PCV=)=(>=l,2,3,4),所以PCr=D=h，P(X=2)=/=£,P(J=3)=,IUIUIUDIU493PCr=4)=-又P(l*a)=T,故3<aW4.IO55题型三离散型随机变量的分布列典例3一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球，以1表示取出球的最大号码.(D求才的分布列；(2)求才的取值不小于4的概率.解析(D随机变量X的可能取值为3,4,5,6,瑶3/CT=3)=U=右，尸Cr=4)=V=M，C<iZUv6ZUr2Qp21ZV=5)=*而尸(1=6)=a=亍所以随机变量力的分布列为X3456P1203203To1233119(2)4的取值不小于4的概率为尸(才24)=尸Cr=4)+?(1=5)+尸(X=6)=+-=-.乙UJLV乙乙U规律方法求离散型随机变量的分布列应注意的问题(1)正确求出分布列的前提是必须先准确写出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出每一个可能取值的概率.至于某一范围内取值的概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和.(2)在求解过程中注重知识间的融合，常常会用到排列组合、古典概型及互斥事件、对立事件的概率等知识.对点训练甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球.(I)求“两球颜色相同”的概率；(2)设表示所取白球的个数，求的概率分布列.121解析(1)从甲中取出黑球的概率为？取出白球的概率为&从乙中取出黑球的概率为5,取出白球的概率为故“两球颜色相同”的概率AJXJ+'xj=)乙J乙J乙乙由题意可得，的所有可能取值为0,1,2,A<=0)=×<=D=×÷×3/bJNJ<=2)=×=7*故f的分布列为:4/J/J012P161213题型四求离散型随机变量=F(三)的分布列映例4已知离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(D2X+1的分布列；(2)1的分布列.分析先由分布列的性质求出力的值，然后求出乃取每一个值时对应的21+L|/-1的值，再分别把21+1,111取相同的值时所对应的概率相加，列出分布列.解析由分布列的性质知0.2+0.1+0.1+0.3+/=1,解得加=0.3.由题意列表如下.X0123421+113579IXTl10123P0.20.10.10.30.3(D易得21+1勺分布列为2/+113579P0.20.10.10.30.3（2）易得Ix11的分布列为x-w0123P0.10.30.30.3规律方法已知离散型随机变量f的分布列，求离散型随机变量=/（）的分布列的关键是弄清楚S取每一个值时对应的的值,再把取相同的值时所对应的事件的概率相加,列出概率分布列即可.10对点训练已知随机变量的分布列为-2-10123P111111124312612分别求出随机变量11=-+p2=12的分布列.533解析由1=-4+3，对于4=-2,-1,0,1,2,3,得1=5，5，-7»-9乙乙乙乙乙乙%相应的概率值为7»1.IZ4oIZOIZ故内的分布列为1152322_12_32_52P11214131126112由/=-2f,对于f=-2,-1,0,1,2,3,得2=8,3,0,1,0,3.所以网2=8)=3)=+=,P(2=0)=+=2>P(2=T)=适.故外的分布列为2830-1