第2节导数与函数的单调性公开课教案教学设计课件资料.docx

第2节导数与函数的单调性考试要求L结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系2能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.I知识诊断基础夯实知识梳理1 .函数的单调性与导数的关系条件XX结论XXy=火0在区间5，b）上可导Ia)>o危）在m，小上单调递增<o7U）在3,b）上单调递减=o7U）在（小公上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域;第2步，求出导函数出0的零点;第3步，用/（幻的零点将./U）的定义域划分为若干个区间，列表给出了（X）在各区间上的正负，由此得出函数y=（x）在定义域内的单调性.常用结论1.若函数JX）在区间Q份上递增,JO,所以x）0在Q与上成立”是'7U）在3,与上单调递增”的充分不必要条件.2 .对于可导函数7U）,'了（xo）=o”是“函数7U）在X=XO处有极值”的必要不充分条件.诊断自测1 .思考辨析（在括号内打“J”或“X”）（1）函数7U）在m，）内单调递增，那么一定有）o.（）如果7U）在某个区间内恒有X）=0,则./U）在此区间内没有单调性.（）（3）若函数yu）在定义域上都有F（X）o,则yu）在定义域上一定单调递增.（）（4）函数=xsinX在R上是增函数.（）答案(1)×(2)(3)×(4)解析(1次r)在3,。)内单调递增，则有Fa)20.(3)反例，火X)=一：虽然Fa)=5>o,但y(x)=一%在其定义域(一8,o)u(o,+8)上不具有单调性.2 .(多选)已知定义在R上的函数於)，其导函数了。)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()N爪b)>Jc>>岫B加)>刎咨)C.flO>fi)>J(GD.J(c)>j(d)>je)答案CD解析由题意得，当X(-8,C)时，/()>0,所以函数7U)在(一8,C)上是增函数，因为。v8Vc,所以火c)>y(力>火).当x(c,e)时,/(x)<0,所以函数火X)在(C,6)上是减函数，因为CVdVe,所以4c)>y(J)>y(e).3 .(2021九江二模)函数yU)=lnxX2的单调递增区间为,答案(0,孚解析由题意可得函数的定义域为(0,+8),=7U)=In -2,1 22X由/(x)>0可得1一2?>0,y2解得OVXVy故函数的单调增区间为(o,孝.4 .若函数次冷=加+31一X恰好有三个单调区间，则实数。的取值范围是答案(一3,0)U(0,+)Ca0f解析f(x)=3ar2+6-1,由题意得4解得。>3且。WO.5 .(易错题)若函数TU)=&3f+ox+4的单调递减区间为1,4,则实数。的值为.答案一4解析f(x)=x2-3x+a1且/U)的单调递减区间为-1,4,)=f-3x+0的解集为一1,4,/.-1,4是方程/(x)=0的两根，则=(-l)X4=-4.6 .(易错题)若y=x+三5>0)在2,+8)上单调递增，则a的取值范围是.答案(0,22解析法一由y=1-$20,得xW-a或x202.y=x+(的单调递增区间为(一8,a,a,+o°).函数在2,+8)上单调递增，2,+),+),.4W2.又>0,0<a2.22法二y'=l依题意知1一菱20在x2,+8)上恒成立，即"Wf恒成立，Vx2,÷),.f24,A624,又>0,0<tz2.考点突破题型剖析|考点一不含参函数的单调性1 .下列函数中，在(0,+8)内为增函数的是()A(x)=sin2xBt(x)=xexCnr)=X3XDt(x)=-x+lnx答案B解析由于x>0,对于A,/(x)=2cos2x,/O=-IV0,不符合题意;对于B,/)=Q+l)d>0,符合题意；对于C,/(x)=3x2-l,V0,不符合题意；对于D,/(x)=-1+；,/(2)=一义<0,不符合题意.2 .(2022武汉模拟)函数"x)=2x2-Inx的单调递减区间是()Ae0B.&+o°c.fo,IDb8,一加W答案C，+o°142-1V2+2解析Y函数外)=2x2lnx,(x)=4-=-由/)V0,解得OVXV函数的单调递减区间是(0,23 .已知定义在区间(一,兀)上的函数/(x)=xsinx+cosx,则«r)的递增区间是答案(一北，甘)和(,2)解析/(x)sinx÷xcos-sinX=XCoSx.令F(X)=XCoSX>0,则其在区间(一,兀)上的解集为感悟提升确定函数单调区间的步骤:确定函数小E)的定义域；(2)求了;(3)解不等式)>o,解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式/(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.i考点二含参函数的单调性例1已知函数U)=&x2-(+l)x+lnx,。>0,试讨论函数y=U)的单调性.解函数段)的定义域为(0,+),/(x)=x(+l)+:ar2(a+l)x+1(ar-1)(X1)xx,当O<tz<l时，x(0,1)和g,+8)时，f(x)>0iXE(L3时'Ia) 函数段)在(0,1)和g+8)上单调递增，在(1,0上单调递减；当a=时，5=1,f(x)20在(0,+8)上恒成立， 函数段)在(0,+8)上单调递增；当a>时，0<:<l,.e(,和(1,+8)时，/()>0;XHI)时，<o, 函数7U)在(o,9和(1,+8)上单调递增，在七，1)上单调递减.综上，当0<a<l时，函数/U)在(0,1)和(,+8)上单调递增，在(1,0上单调递减;当=l时，函数Ar)在(0,+8)上单调递增;当时，函数於)在(0,3和(1,+8)上单调递增，在七，1)上单调递减.感悟提升L(I)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式/的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如於)=x3,/(x)=3f20(f(x)=0在x=0时取到)，7U)在R上是增函数.训练1讨论函数7U)=：x+lnx的单调性.解/U)的定义域为(0,+),=-+;X20x÷ 15厂设y=f-奴+1,其图象过定点(0,1),开口向上，对称轴为X=*当30,即W0时，/(x)0,U)在(0,+8)上单调递减;当?>(),即a>0时,令x20x+l=0,J=a2-4t”)当人0,即0V2时，/(x)0,危)在(0,+8)上是减函数.故4W2时，/)在(0,+8)上是减函数.(ii)当/>0,即。>2时，令Fa)=0,得a-a2-4X=或X=当/丘，三)u(T三,+oo0f,<0;当XeT三，哼可时，/(x)>0.所以“¥)在(0,“(吗匕，+8)上单调递减，在H三，虫哗可上单调递增.Il考点三根据函数的单调性求参数例2已知g(x)=2x+Inx若函数g(x)在区间1,2内单调递增，求实数。的取值范围；(2)若g(x)在区间1,2上存在单调递增区间，求实数。的取值范围.解(1)g(x)=2x+In-(x>O),gXr)=2+5+£a>0). 函数g(x)在1,2上单调递增， g，a)20在1,2上恒成立，即2+!+N0在1,2上恒成立，.a2一2a2%在1,2上恒成立，tz(-22-%)max,x1,2.在1,2上,(22-x)max=-3,所以3. ,实数。的取值范围是一3,+).(2)g(x)在1,2上存在单调递增区间,则g<x)>O在1,2上有解，即>2?-x在1,2上有解，a>(-2x2X)min,又(一2x2-X)min=-10,10.迁移(1)(变条件)若函数g(x)在区间1,2上单调递减，求实数。的取值范围.解依题意g<x)=2+B+。在1,2上满足g")W0恒成立，当X£1,2时，aW2x2-X恒成立，2又,=2x2-x=-2(x+J+/,x三l,2是减函数，当工=2时，,=-2-取得最小值一10.所以W-10,即实数。的取值范围为(一8,-10.(2)(变条件)若函数g(x)在区间口，2上不单调，求实数。的取值范围.解函数g(x)在区间1,2上不单调，.g(r)=O在区间(1,2)内有解，2则a=-22-X=2(x+J+£在(1,2)内有解，易知该函数在(1,2)上是减函数，y=-2x1-的值域为(一10,3),因此实数。的取值范围为(一10,-3).感悟提升根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=(x)在3,加上单调，则区间(4,b)是相应单调区间的子集.(2加力为增(减)函数的充要条件是对任意的x(,与都有/(x)20(r)W0),且在3,。)内的任一非空子区间上，/(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.训练2若函数"r)=jv-/in2x+sinX在(-8,+8)上单调递增，则。的取值范围是()A.1-l,1B.-1,W1 1-，C丞jD.1,-3J答案C5-3解析.,(x)=-gsin2x+sinx,24f(x)1QCOS2x+<7COSX=ZCOS2X÷cos由KX)在R上单调递增，则/(R)NO在R上恒成立.令f=cosx,r-1,1,45则一2+z+20,在，£-1,1上恒成立.，4尸一3一50在f-l,U上恒成立.令g(r)=4r2-3w5,解之得一长/g(1)=-3a1W0,则Ig(1)=3a-10.|考点四函数单调性的应用角度1比较大小例3(多选)(2021淄博二模)已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是()23A.ln2>_BJn3<-ee、兀Jn3_3C.InQ-D.;V一eIn答案ACDin11nX解析令g)=",则g'G)=f-，当OVXVe时，g,(x)>O,当x>e时，g,(x)<0,所以g(x)在(O,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减.2Ve,.g(2)Vg(e),即竽V¥=占.Fn2vg故A错误.vvCeV3V兀，g(e)>g(3)>g(),Ine1In31n即=->f->,