正余弦定理的应用——解斜三角形.docx
正余弦定理的应用一一解斜三角形一.课标要求：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。二.命题走向对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架,以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。三.要点归纳1.解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形.解斜三角形的主要依据是：设44BC的三边为a、b、c,对应的三个角为A、B、Co（1）角与角关系：+B+C=;（2）边与边关系：a+b>c,b+c>a,c+a>b,（3）边与角关系：正弦定理_J=2R(R为外接圆半径)；SinASinBsinC余弦定理c2=a2+b22hccosC,Ir=672+c2-2dccosB,a2=b2+c22bccosA;2.三角形的面积公式：(1) =ctha=bhb=-chc(hahb、叫分别表示4、b、C上的高)；222=absnC=bcsnA=csin;222(2) =ZNsinAsinBsinCo(R为外接圆半径)(3)(4)A abc=；4R = JS(S- )(s b)(s - C)：S = ；(Q + Z? + C);四.典例解析,、TCOS3c-bcosA¼1.在A3C,求证:=cosCbccosA法一:法二:点评：本题考查了在三角形正余弦定理的的运用。例2在AABC中，如果Iga-Igc=IgsinB=-lgV2,且5为锐角，判断此三角耐形状。点评：本题考查了在三角形正弦定理的的运用，以及两角和与差的三角函数的公式以及化简等知识的运用。变式练习：在aABC中，b、C分别是N4、NB、NC的对边长，已知如b、C成等比数列，且/-c2="c-bg求NA的大小及M的值。c分析：因给出的是a、b、C之间的等量关系，要求NA,需找NA与三边的关系，故可用余弦定理。由"=M可变形为妇=小再用正弦定理可求幽O的值。CC解法一：*,ab、C成等比数列，=ac。Xa2-('2=ac-bcfb2+c2a2=bco在AABC中，由余弦定理得：cosA=b+Ca=-=-,ZA=60o。2bc2bc2在AABC中，由正弦定理得sin8=驷4,.=c,ZA=60o,a.bsinBb2sin60o.VJcac2解法二：在AABC中，由面积公式得bcsinA=csin8022Vb2=ac,NA=60°,bcsnA=b2snBo评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。例3:如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东300,航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东450,如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？五、课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些知识点及解题方法？总结:1、复习了三角形中的常见结论：三角形内角和；三角形三边之间的关系；三角形面积公式；三角形边角之间的不等关系；三角形中的正余弦定理。2、知道了正余弦定理适用的题型。3、解答这部分题的关键是注重数学中常用的“化同”法，即化边为角或化角为边。4、注意三角公式和角、差角、倍角、半角的合理应用。六、当堂检测1、（06江西）在aABC中设 命题p:_b_c_sinBsinCsinA 命题q:AABC是等边三角形，那么 命题P是命题q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D既充分也不必要条件2、在AABC中，AB、C成等差数歹！SinC=告，求CoSA的值.JLQ3、在AABC中，若2cosHsinA=sinC,则4AHC的形状一定是（）A等腰直角三角形B.直角三角形C,等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB=sin（A+B）÷sin（A-B）又一ZsinAcosB=SinC,sin（A-B）=0,AA=B点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径。附：解斜三角形的常规思维方法：1 .（I）己知两角和一边（如4、B、C）,由A+8+C=r求C,由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如八仄c）,应用余弦定理求C边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+8+C=r,求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如。、b、A）,应用正弦定理求8,由A+8+C=乃求C,再由正弦定理或余弦定理求C边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c,应用余弦定理求A、8,再由4+8+C=r,求角C2 .三角形内切圆的半径：r=2S&,特别地，a+b-c4+Z?+C23 .三角学中的射影定理：在AABC中，8=cosC+ccosA,4 .两内角与其正弦值：在aABC中，A<3osinA<sin3,5 .解三角形问题可能出现解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解
