数列求和方法归纳与训练.docx
数列求和一、直接求和法(或公式法)掌握一些常见的数列的前n项和：1+2+3+÷n=",l÷3+5+(2n-l)=2+4+6+2n=n(n+l)12÷22÷32÷÷n2=2+D(2"1)13+23+3s+n3jzT等.6L2例1-l2+22-32+42-52+62-992+1002.变式练习：l0g3r=»x+x2+x3+xn+的前n项和.lg23二、倒序相加法此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.卡I22232IO2的Irl求-5Tj7H-zr+Hz7的和.I2+10222+9232+82IO2+I2三、裂项相消法常见的拆项公式有：=(),7=(Jn+k-yn),n(n+)knn+"+A+?k(2n-1)(2n÷l)4'b等例3I2+22+Zi2=-z!(n+1)(2?+1),62/? + 1+ l2+22 + +n25 w N")的和.357I1hI2I2+22l2+22÷32小结：如果数列4的通项公式很容易表示成另一个数列他J的相邻两项的差，即勺=。向-2,那么有5=如这种方法就称为裂项相消求和法.变式练习：求数列上,1 124 f 351n(n + 2)的前n项和S.四、错位相减法源于等比数列前项和公式的推导，对于形如»“的数列，其中/为等差数列，"为等比数列，均可用此法.例4求x+3f+51+（2一I）X的和.小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列"的公比；将两个等式相减;利用等比数列的前项和公式求和.变式练习：求数列a,2a2,3a3,4at,nal1,（a为常数）的前n项和。五、分组求和法假设数列的通项是假设干项的代数和，可将其分成几局部来求.例5求数列2工4，,6-!-,2n+-,的前项和S”.48162w+,变式练习：求数列J,2±3-k4,一的前项和392781数列求和根底训练1.等比数列凡的前n项和Sn=2tl-1,那么a：+嫉+；+.+；=.2.设S11=-1÷3-5+7÷(1)11(2h1),那么Sft=.3. + +1x4 4x7(3/7-2) × (3h +1)4.1 + 241 3 5 2n-l2,22 ,23 '2",；的前n项和为1+.H35465+l)("+3)5.数列1,(1+2),(1+2+2?),(l+2÷2数列0、6都是公差为1的等差数列,+2-,),的通项公式/=,前项和S”=数列求和提高训练1.数列满足:a = l,且对任意的/n,N" 都有：aln+n = am + Qn ÷ mil,那么a1白2008A.32009d20082009C.20071004D322Z.20082.假设其首项满足a+0=5,a>bf且41,A.100B.85C.70D.553.m=l×2+2×3+3×4+(n-l)n,那么相等于()A.(T)B.-11(h+4)C.-n(n+5)D.-w(+7)32224.假设S=I2+3-4+(-1)""小那么5i7+533÷S50等于A.lB.-lC.0D.25 .设m为等比数列,儿为等差数列，且历=0,。产小+狐假设数列c是1/2,那么c的前10项和为()A.978B.557C.467D.9796 .假设数列的通项公式是a”=（-2）,那么1+2+o=A.15B.12C.-12D.15解析A设6=3一2,那么数列儿是以1为首项，3为公差的等差数列，所以0+s+9+o=（/?。+岳+（一儿）+40=（历一仇）+（九一63）+,+（60历）=5义3=15.7 .一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为.8 .假设12+22+,+（?-1yf=ani+bnr+cn,那么。=,b=,c=.9 .等差数列m的首项m=l,公差d>0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列为的第二、三、四项.（1）求数列“与儿的通项公式；设数列c“对任意自然数均有?+答+3+?=%成立.ab2h.bn求Cl÷C2÷C3÷÷C2OI4的值.10设数列z为等差数列，S为数列以的前项和，57=7,515=75,7；为数列的n前项和，求Tk11.数列”的首项41=丞an+=（n=l,2,）（1）证明：数列1是等比数列；（2）求数列1d4的前项和a.,a,l数列求和一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n项和：1+2+3+n=,1+3+5+（2n-l）=z22I2 +22 +32+n2="5 + D(2" + l) , i3+23+33+n3=nn +1)2等.例1<-l2+22-32+42-52+62-992+1002.解：原式=(2?-F)+d-32)+6-5?)+÷(1002-992)=3+7+11+199.由等差数列求和公式，得原式=5°x(3+199)=5050.2变式练习：l0g3r=»x+x2+x3+xn+的前n项和.lg23解:12二、倒序相加法此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.+I22232IO2M工r,求-57÷F7Hzr+Hzy的和.I2+10222+9232+82IO2+I23'八。I22232IO2I2÷IO222+9232+82IO2+I2cIO29282I2IO2+1222+9232+82IO2+I2两式相加，得25=1+1+1=10».5=5.三、裂项相消法常见的拆项公式有：=(),j尸=，n(n+)knn+k"+Z+/k?=-(-),等.(2n-l)(2+l)22-12n+12/? + 1例3I2+22+n2=-H(n+l)(2+l),65wN)的和.1FHI2+22l2+22+32l2+22+/解：.zj2h+1_2n+l_612÷22÷+w2-ln(H÷1)(2n÷l)-÷l)6Inn + 1 + n+ n( + l)/2 + 1小结：如果数列4的通项公式很容易表示成另一个数列他的相邻两项的差，即勺=。向-勿,那么有S”=么+1-4.这种方法就称为裂项相消求和法.变式练习：求数列达，人135，的前n项和S.Mn + 2）解:c_i_1、/1、/1、_LiIl1、_311Sn=-(1-)÷(-)+*÷(-)=-(1-)=-21324nn+2J22+1+242+22+4四、错位相减法源于等比数列前项和公式的推导，对于形如»“的数列，其中/为等差数列，"为等比数列，均可用此法.例4求x+3f+51+(2一I)X的和.解：当xl时，=上+21(1f;)_(2DX向;当=时，5rt=.1-x(l-x)21-x小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列"的公比；将两个等式相减;利用等比数列的前项和公式求和.变式练习：求数列a,2a2,3a3,4at,na1（a为常数）的前n项和。解：（1）假设a=0,那么Sn=O假设a=l,那么Sn=l+2+3+n=型竺土D2（3）假设a0且aWlaS= a2+2 a3+3 a4+nan+,那么S1=a+2a2+3a3+4a4+nan,n+l(l-a)Sn=a+a2+a3+an-nan+,=:""用1ciSn=当a=0时，此式也成立。(l-)2-a九5+1)/、.S=D.*.Sn=JC%-+1五、分组求和法假设数列的通项是假设干项的代数和，可将其分成几局部来求.例5求数列2L,6-!-,2+!，的前项和S”.48162向SH=(2 + 4 + 6 +2+(+'+击卜5+D+J-一变式练习：求数歹呜用哈宏的前项和解:+ + 1 1223”数列求和根底训练n_11.等比数列叫的前n项和Sn=2n-1,那么片+何+裙+；=宁2 .¾S=-1+3-5+7-+(-l)(2-l),那么SfI=(-l)nn.Ill1n3 .1FH=1×44×7(3w-2)×(3j+1)3h+11FH=1243546(+1)(+3)2(23+2+3,5.数列1,(1+2),(1+2+2?),(1+2+2?+2*,的通项公式(=2-1,前n项和S=2+,-n-2/1352n-1AA有ILGC2+36不，涓，歹，一，；的前n项和为Stt=3-乙乙乙乙4数列求和提高训练1.数列“满足：«11,且对任意的，小都有：an-vnam+an+inn,那么+=(A)a。2432008a4016D2008厂2007C2007ADCD2009200910042008解：.4"+”=n+ft+"2”,.4"+=。+。1+=。”+1+，利用叠加法得到：.="5+l),：.=-=2(-一),2ann(n+1)nn+1)=2(1 -) 2(X)92(X)9401620092 .数列为、6都是公差为1的等差数列，假设其首项满足g+"=5,m>Z,且，ZN*,那么数列旬前10项的和等于（B）A.100B.85C.70D.55解：'al=a-n-,bn=b-n-.*.ab=0+4-1=。+（加+-1）-1=。1+加+-2=5+-24+13=+3那么数列%“也是等差数列，并且前10项和等于：×10=85答案：B.3,设An=IX2+2X3+3X4+（），那么z等于（八）A.m'DB.（n+4）C.j（+5）D.（n÷7）3 .解：因为=n2-n.,那么依据分组集合即得.答案;A.4 .假设S=I-2+3-4+（-1严%，那么Si7+S33+S50等于A.lB.-lC.0D.25为奇）
