数列与不等式知识点及练习(唐).docx
数列与不等式一、看数列是不是等差数列有以下三种方法:%-册_1=d(2,d为常数)2册=11+>(鹿2)%=M+A(,左为常数).二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：a=%q(“2,q为常数,且WO)片=an+ian,l(n2,。“册+1%-1)(2)在等差数列%中,有关Sn的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足卜m°的项数m使得与取最大lflm+0值.(2)当/<0,d>0时,满足的项数m使得,取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意U用。转化思想的应用。四.数列通项的常用方法：(1)利用观察法求数列的通项.(2)利用公式法求数列的通项：“=JS0=1).“等差、"IS"S""2)等比数列%公式.应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项：=/+/()：。的=aflf(n).(4)造等差、等比数列求通项：an+l=pall+q；a”+1=，/+夕"；。用=M“+/5);勺+2=Pa向+仁可.第一节通项公式常用方法题型1利用公式法求通项例1：Laj满足an=a1>+2,而且a】二l。求al,02.S“为数列“的前项和，求以下数列%的通项公式：Sm=2n2+3/1-1；(2)S,=2h+1.S.(n=1)总结:任何一个数列，它的前项和S“与通项都存在关系：an="假设为适合%,IA-SAI(2)那么把它们统一起来，否那么就用分段函数表示.题型2应用迭加(迭乘、迭代)法求通项例2：数列4中，%=2,%=。1+2152),求数列%的通项公式；S”为数列”的前项和，q=l,5w=n2w,求数列%的通项公式.总结：迭加法适用于求递推关系形如=/+/()”；迭乘法适用于求递推关系形如“。用二%"()”；迭加法、迭乘法公式：an=(anan-)÷(fln-ln-2)÷(4-2一。-3)+(%-4)+4题型3构造等比数列求通项例3数列4中，1=l,a,+1=2a+3,求数列册的通项公式.总结：递推关系形如“。的=pan+q”适用于待定系数法或特征根法：令-=p(an-)；在an+i=pan+q中令,+1=all=x=>X=-,：.I-P一X=P(%-X)；由an+l=pall+q得=PanT+9，'an+-a11=P4-%)例4数列%中，1=l,r+1=2a,t+3n,求数列”的通项公式.总结：递推关系形如“。向=M“+夕”通过适当变形可转化为：“4川二必7“+4”或“an+i=an+f(n)n求解.数列求和的常用方法一公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法.1、等差数列求和公式：5“=幽/拈=4+妁/1(q=i)“12、等比数列求和公式：Szt=ax(-qn)a-anq3.Sn=Yk=-n(n+)-l-:=;1)念2-q-q4、S"=%2=%5+d(2"+1)5.Szl=l+1)2jt=6=2二.裂项相消法:适用于1一I其中%是各项不为。的等差数列，c为常数；局部无理数列、含阶乘的数列等。例2求数列一!的前n项和n(n+1)这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的.通项分解(裂项)如：m11Ifen(2n)21I11、w(77+l)n+l”(2zz-l)(2w+l)22n-2+1fql1Ir111(一1)(+2)2(+1)(+1)(h+2)n(n÷k)k口n÷kn(nIXo2)2nn1n2三.错位相减法何以求形如卜yJ的数列的和，其中/）为等差数列，（yj为等比数列.c 1 2 3 4 n 例 h 求和：w244 16' F- 的和.例 2:数歹J 1, 3x, 5X2,，(2-l)x' 1 J n 项小结：错位相减法类型题均为:等差数列atl等比数列连续相加。四,常用结论1)l+2+3+.+n=("+)2)l+3+5+.+(2n-l)=23)I3+23+=-w(w+l)2L2_4)I2÷22+32+n2=-7(+1)(2z+1)5)i=-6n(n+1)nn+1 _Ij1T-=(-)nn+2)2n+2重要不等式1、和积不等式：&/7?=>。2+。222"(当且仅当。=/7时取到“=).*rFa1=，a+b、27a+b,W1/a+b、2+b".【变形】：b近()2当=b时，()=ab)2 222【注意】：&F<R+),而("j")2(,beR)2、均值不等式：两个正数。、匕的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均力几何平均调和平均"-T=*当且仅当=。时取“=”)J_+j_a+b2Y2ab.<i1x>0,那Ax+,2(当且伍当x=l时取“=”；X假片殳V<O,那么XH2(当且仅当X=-1时取."="X假殳XH。，那么X+，2即x+12或x+!-2(当且伍当=时取"="XXX*假4殳。b>0,那么0+2(当且仅当=b时取“=”ba2 即 N + 22 或 + 2-2b a b a（当且仅当Q = b时取“ = ”3、含立方的几个重要不等式S、b、C为正数）：，那么一<<一；i a a a + c c值域：(-00,-2U2+00)；a3+b3+c33abc(+Hc>O等式即可成立，a=6=c1a+b+c=耐取等)；xa+b-c.a+b+c.3a3+b3+c3yjabcW-nabc()*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当出?>0时，/+/2同时除以ab得2+2或2-ll-N°abab均为正数，-2a-bbCa2+b2C1,a+b、2,a2+/八种变式：M；b()2；()2222(三)a+by2(a2+b2)i假设b>0,那么<2。一方；a>O,b>O,那么+工一；假baba+b设a>o,b>o,那么d+!)2f-;假设勿?。0,那么7+42dL)2oababa2b22ab上述八个不等式中等号成立的条件都是“a=b”。放缩不等式：b-mbb+ma>b>Ba>m>0,那么<<.amaa-mbb+m【说明】：-<(a>b>0ym>0f糖水的浓度问题).aa+m【拓展】：a >b>0, w >0,r,lbb+inn>0,贝J<aa-mbb+ddM,Jn+-Jn<=<Jn-Jn-X；2几N+,几>1,nn+1InXWI-X(%>0),e'Nx+1(xH)函数八外二以+、人>0)图象及性质X函数/(x)=&t+(。、力>0)图象如图：Xh(2)函数f(x)=ax+(4、Z?>0)性质：X最值定理(积定和最小)x,y>O,由x+y22/E，假设积Ay=P(定值)，那么当x=y时和x+y有最小值2J万：(和定积最大)x,y>O,由x+y22而，假设和x+y=S(定值)，那么当x=y是积肛有最大值:一.【推广】:,yeRt那么有(x+y)2=(-y)2+2函.(1)假设积D是定值，那么当-yl最大时，l%+yl最大；当-yl最小时，+yl最小.(2)假设和+yl是定值，那么当-yl最大时，I町I最小；当I尢-yl最小时，IXyl最大.11+-,xg,yR',假设Or+力=1,那么有那么彳丁的最小值为：1 1+ X y=(ax + >y)(- + -) = a + b- + -a + b + 2ab = (ya + -Jb)2 X yX y应用根本不等式求最值的“八种变形技巧一凑系数(乘、除变量系数).例1.当OVXV4时，求函的数y = x(82x)最大值.凑项(加、减常数项)：例2.x<,求函数/(x)=4x-2+7J的最大值.44x5x+7x+10调整分子：例3.求函数/(X)=(X-D的值域；x+1变用公式：根本不等式字J法有几个常用变形库汇生2，"2)2不2V2222易想到，应重视；例4.求函数y=2x-l+5-2x(<x<)的最大值；连用公式：例5.>8>0,求y=鹿+16的最小值;b(a-b)对数变换：例6.x>,y>l,且y=e,求，=(2x)h'的最大值；jJT三角变换：例7.0VyWX<y,且tanx=3lany,求=x-y的最大值;常数代换(逆用条件)：例8.>0,b>0,且。+4=1,求'的最小值ab23451、数列1,*二二的一个通项公式明是()35792、3、4、5、6、7、8、9、nA、2«+1B、n2n-Cx等比数列/的公比为正数，且4由=2。3qA、2B、2C、n2一3=1那么生2等差数列”前项和为S”且勺>04+4-4=0那么Sg=（A、17B、18C、19D、D、n2+3D、20al,a2三(0,1),记M=QM2，N=q+%-1那么M与N的大小关系()A、M<NB、M>NC、M=ND、不确定假设l<L<o,那么以下不等式:ab的选项是（）A、（2）31不等式巴B、Yn2(l)+b<ab,(2)>fe,(3)a+c>>+c,(4)<中正确C、D、(3)(4)2-x'3A、X-X2>41的解集是3B、<xx<2'4、3C、xx>2x-'4D、(xx<2)设Sn是等差数列af,的前n项和，假设&=|,则率=心9S5A、B、-1C、2在>0,。>涮条件下，三个结论：也*a+b2+其中正确的个数是（aA、0B、1目标函数z=2x+y,变量x,y满足<A、C、10、在ZmaX=I2,Zmin=3Zmin=3,Z无最大值)D、C、2x-4y+303x+5>,<25,那么有xlD、3B、ZInaX=12,Z无最小值D、Z既无最大值，也无最小值R上定义运算了绥了=/（1一y）.假设不等式（工一4）（为+。）<1对任意实数1成立，那么）B、0<a<213C、<a<-2231D、<a<-22二、
