隐零点设而不求（解析版）.docx
隐零点设而不求隐零点设而不求专题阐述：隐零点是用导数判断函数单调性和求最值常规方法的补充，而求最值和判断单调性是所有导数大题共有的解题基础，因此这部分内容是导数的基本功，如果尝试在导数压轴大题上争取更高的分数，则隐零点问题必须熟练掌握.规律方法隐零点问题的出题特征较为明显，在参数范围的题目中所求的参数经常为整数，因为利用此类方法求出的最值通常是一个范围，当然也不排除有些题目设计较为巧妙，在求最值时的未知零点可以约分成一个具体的数字.例题1.设函数八力二。'一"一2.(I)求函数/U)=-办-2的图象在点A(O,T)处的切线方程;(II)求/W的单调区间；(In)若=l,k为整数，且当x>O时，(xd)'(x)+x+l>O,求k的最大值.【解析】(I)/(x)=ev-0r-2,xR,f,(x)=ex-a,xR,ff()=l-a,函数/(X)=e-ar-2的图象在点A(OI)处的切线方程为y=(l-)x-l.(II)f,(x)=er-a,xR.若"O,则/(力>0恒成立，所以，"力在区间(Yo，”)上单调递增.若a>0t则当xw(-,lnQ)时,(x)<0,当x(ln4,H三o)时,f,(x)>Of所以，外”在区间(YUna)上单调递减，在(hw,Ho)上单调递增.(III)由于。=1,所以,(XT)由(x)+l=(x-<(e*-l)+x+lY-I-I故当工>0时，(x-2)'(x)+x+l>0女VU+x(x>O).令&(，)=弁+，则,(H=冷m+J半营1.e-1(eT)(e-1)函数MX)=dr-2在(O,+8)上单调递增,而<0,(2)>0.所以MX)在(o,y)上存在唯一的零点，故g'()在(o,y)上存在唯一的零点.设此零点为,则e(l,2).当XE(O,a)时,(x)<0;当时，g'(力>0;所以g(x)在(0,+功上的最小值为8(。).由/(a)=。，可得产="2,所以g()=+l(2,3).由于式等价于&<g(),故整数k的最大值为2.2.已知函数/(x)=e*-ln(x+m).(1)设x=0是7%)的极值点，求m并讨论外力的单调性;(2)当g(x)=(X)-e-'+ln(2)为奇函数时,证明：f(力>0恒成立.【解析】(1)-ft()=e一一,=o是/()的极值点，.r(o)=>'=o,解得加=1.x+mm，函数/(6=eTn(x+l),其定义域为(T,÷).V(x)=e-,设g(x)=e*-J7,则gM)=e'+y7M>°,g(x)在(T,+)上为增函数，X+1IX+IJ又g(0)=0,当“0时，屋力>0,即r()>o；当-IVXVO时,g(x)v,r(x)<O.，f(x)在(TO)上为减函数；在(0，+8)上为增函数.(2)证明：(x)=/(x)-+ln(2-x)=er-ln(x+/n)-e"r+ln(2-x),;g(x)=/(X)-e-'+ln(2r)为奇函数，.*.g(x)+g(-x)=e*-In(x+/W)-ex+In(2-x)+ex-In(-x+w)-er÷In(2+x)=0,gpln(2-x)÷ln(2+x)=ln(x+n)+ln(w-x),解彳导?=2,(x)=e-ln(x+2),则广(力=已,一脸在(-2,同上单调递增，VX-1)<OfT(O)>0,/'(尤)=0在(-2,y0)存在唯一实数根.%,且毛«-1,0),当x(-2,%)时，r(x)<O,x(,÷oo)B,(x)>0f当x=/时，函数取得最小值，W"=六，即0=Tn(2+0),(x)(x0)=e,h-ln(2+)=-!+=->0,(x)>0.3.B0S8ft()=-2(÷)lnx÷x2-2tr-22+,其中>O.(I)设g(x)是力的导函数，讨论g()的单调性;(11)证明：存在。«0)，使得/(”0在区间(L+oo)内恒成立，且/(x)=0在区间(1,+CO)内有唯一解.【解析】(I)由已知,函数/(x)的定义域为(0,+8),g(x)=r(x)=2()-211-2(1+5，.2L.lY+2L,n如)=2二+与J2)(".XX2X2当。3；时，g(x)在P哼可，件严，+上单调递增，ZZ在区间上手M，匕亭亚上单调递减；当;时，g()在(o,y)上单调递增.(II)由广(刈=2(工一。)一21口一2(1+0)=0,解得丁丁,X/1X人/JX-I-InX,JX-I-InRJX-I-InxYx-1-lnx令")=邛+下丁卜ET-F7m-rm+7，则9=l>O"(e)=-芈¥-2(然<0.故存在0w(l,e),使得姒o)=0.令/,w(x)=x-l-lnx(xl),由/(x)=l,0知，函数“6)在(l,+)I十"oX上单调递增.w(xfl)w(e)e-2z、0=-<-=<-½=-r<l.即(0,l),1+11+ol°l+e,1+e-1卬叼v7'当时，有尸(AO)=O,/()=H)=0.由(I)知，f'(力在(1,)上单调递增，故当e(1,m)时，r(x)v,从而/(%)>/(%)=O；当x(,+)时，r(x)>(),从而f(x)>f(%)=O.，当xe(l,÷)时，/(x"0.综上所述存在。40)使得/(x)0在区间(1,+CO)内恒成立目力=0在区间(1,÷)内有唯一解.【针对训练】1 .已知函数f(x)=-ln(x+m)设X=O是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时,证明f(x)>O.22 .已知函数/(x)=奴+在(TO)上有两个极值点，对与，且XVX2.求实数的取值范围；(2)证明：当时，/")>苏.3 .已知"R,函数/(x)=e*+加,g(%)是F(X)的导函数.当。>0时，求证：存在唯一的,0),使得g(%)=o;(2)若存在实数。,b,使得f(x)加恒成立，求方的最小值.参考答案：1 ./在(To)上是减函数；在(0,yo)上是增函数(2)见解析fix)=*【详解】匕十出.由X=O是f(x)的极值点得f,(O)=O,所以m=l.尸(M=F于是f(x)=ex-ln(x+l),定义域为(-1,+),X1./(X)=et函数X1在(-1,+8)上单调递增,且f'(O)=O,因此当X(-1,0)时，f,(x)<O;当x(0,+)时，f'(x)>O.所以f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.当m2,X(-m,+)时,ln(x+m)ln(x+2),故只需证明当m=2时,f(x)>O.,X=ex-当m=2时，函数上,2在(-2,+8)上单调递增.又f'(l)v,f'(0)>0,故f'(x)=O在(-2,+oo)上有唯一实根W,且七三1四.当工y-2,XJ时，f，(x)<o；当X时，f，(x»o,从而当“与时，f(x)取得最小值.1由f<xo)=o得£=W>2,!n(w÷2j=-%,八邛'-fLx)-+三>。故4+2综上,当m2时,f(x)>O.2 (W)(2)证明见解析【分析】(1)根据题意得方程2+2x+=0在(To)上有两不等实根,进而结合二次函数零点分布求解即可;22I(2)根据题意得5>59,进而得/(占)=§石+石+3+lAgW+E+gF+l,再构造函数比)=+f+1+,研究单调性得MX)在H，o单调递增，进而MX)>*(=*(1)2解：/(%)=§/+/+v+,，/'(x)=2x2+2x+a,2、；函数/(x)=3V+2+r+1在(To)上有两个极值点内,修，且演<超由题意知方程2/+2x+=0在(-1,0)上有两不等实根,设g(x)=2f+2x+,其图像的对称轴为直线r=T,g(T)=0>0故有g(O)=a>O,解得o<"gg(T=+(T)+<0所以,实数的取值范围是o)(2)证明：由题意知是方程2f+2x+=0的较大的根,故-别，由于O<<g.ax2>-x2 ,221(x2)=-÷÷0r2÷l>-÷÷-x2÷l设(X)=gxW+g+l,xe(-g,°),(x)=2(x+；)+>0,3)在(-；可单调递增，g)>«-)=£,即/5)>苫成立.不等式成立证毕.3.(1)证明见解析【分析】(1)求出g'(x),即可得到g(x)的单调性,再根据零点存在性定理判断即可；(2)分。<0、=0和。>0三种情况讨论，当>0时，由(1)可得了的最小值为/(%),则f(Xo),从而得至h-b%(l+4-+令MX)=+,x<0,利用导I202)I2x2)数说明函数的单调性，即可求出W的最小值，即可得解；(1)证明：.g(力='(x)=e'+20rfg,(x)=ex+2a,当。>0时，g'()>o,函数g(x)在(y>,+)上的单调递增，又g(5)=ef<°,g(0)=l>0"诙唯一的(，0),使得g(M)=0.(2)解：当<0时，则当x<()时，g(x)>0,即函数/()在(y,0)上单调递增，且当XfF时，/(k)tyo,这与/()b矛盾；当=0,et/?,彳导b0,a-hO;当。>0,由(1)知当xt(-,陶时，鼠)<0；当Xe(M，钙)时，履力>0；即/W在(-8,再)上单调递减，在(%”)上单调递增，f(x)的最小值为/(与),其中K满足e"+2/=0,故且%<0,ZXO")4m立，""(/),即一)a-N,于是 -bN-e% =-e$ 1+-+I 2x。 2 J,记 MX) =x(.1 Xe 1 +I 2- 2，x<0 ，则"(x)=4re«-l)2(x+l),由力0得T,即函数(力在(-oo,-l)上单调时递减,由"(x)>0得-lev。，即函数MX)在(to)上单调递增，/?("min=Mf=T，综上得E的最小值为:此时=T.
