重难点04圆锥曲线三角形面积与四边形面积问题（六大题型）（解析版）.docx
重难点04圆锥曲线三角形面积与四边形面积问题【题型归纳目录】题型一：三角形的面积问题之治=；底高题型二：三角形的面积问题之分割法题型三：三角形的面积比问题题型四：四边形的面积问题之对角线垂直模型题型五：四边形的面积问题之一般四边形题型六：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化【方法技巧与总结】1、三角形的面积处理方法(1) S=：底高(通常选弦长做底，点到直线的距离为高)(2)S=：水平宽铅锤高=如用kfI或SA=*z-%(3)在平面直角坐标系Xoy中，己知4ON的顶点分别为。(0,0),M(再，弘)，N(X?，必)，三角形的面积为S=JjvlzW.2、三角形面积比处理方法(1)对顶角模型(2)等角、共角模型3、四边形面积处理方法(1)对角线垂直(2) 一般四边形(3)分割两个三角形4、面积的最值问题或者取值范围问题一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值(一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等)，在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积.【典型例题】题型一：三角形的面积问题之小=；底高例1.(2023全国高三校联考阶段练习)已知椭圆gE=l(>6>0)的一个焦点与抛物线=8y的焦点ab相同，且点(1,&)在椭圆上.(I)求椭圆的标准方程;(2)设过点(0,3)的直线/与椭圆交于不同的两点48,且48与坐标原点。构成三角形，求力03面积的最大值.【解析】(1)抛物线=8y的焦点坐标为(0,2),.椭圆的半焦距c=2,c=2A+=l解得/=8万=4,a2=h2+c2椭圆的标准方程为仁+=184(2)设点N(XpK)*(人,72)VA9B9O三点构成三角形，所以直线/的斜率存在且不为0,则可设直线/的方程为)，=区+3,y=kx+3,联立/+=184消去N整理得(2+公)/+6履+1=0.由>()得36124(2+12)>0,6kWi7尸2工(1 +/)6k2 + k242 + k23易知，点。到直线/：y="+3的距离h=-J=当且仅当,即制时等号成立,：.HlAOBLHI积的最大值为35/5,=26"例2.(2023四川巴中统考一模)己知椭圆UW+y=1(。>6>0)左右焦点分别为耳(To),g(L0),上顶ab点为8,直线8片被椭圆C截得的线段长为(1)求椭圆C的方程；(2)设过鸟的直线/与椭圆C交于尸,。两点，若BP工BQ,求三角形8尸。的面积.【解析】由题意，得上顶点为6(0,6),设OaoJO)(0)'y0=bx0+b,2故直线86的方程为y=bx+b,由焉yl消去歹解得：=-M,ab：.IdI=+P-L)-d=-a-,.,解得/=2,故>2=l÷a1+3椭圆C的方程为工+/=1；2(2)由(1)及题意知，在线/不过点5且与X轴不重合设直线)的方程为x=my+l(mT),P(wjl+l,jl),Q(my2+yy2)由BPlBQ得：SPBQ=O,(wy1+l)(my2+l)+(j1-1)(2-1)=0变形化简得：(小+)yiy2+(利-1)(必+为)+2=0(*)由二?：1消去X整理得：(w2+2)+2-l=0X+2y-2=0,=(2m)2+4(/+2)=8(/+1)>0恒成立由韦达定理，得：必+乂=一一"彳，必为=一一L;，w+2m+2代入(*)式得：-*-冽华+2=0nr+2m+2化简得：M-2m-3=0,由-l及上式解得=3,，直线I的方程为X3y1=0,=8(2+l)=80,由弦长公式及求根公式得:IPOI=WNfI1080 202i11又点8到直线/的距离为d=-=105S-"p.1x202=W5.°2251111例3.（2023福建漳州高二福建省华安县第一中学校考期中）已知椭圆氏£+=1（>6>0）的半焦距为Q-b%原点。到经过两点（GO）,（0,力）的直线的距离为gc,椭圆的长轴长为4J（1）求椭圆E的方程；（2）直线/与椭圆交于48两点，线段48的中点为M（2,T）,尸为椭圆的左焦点，求三角形处8的面积.【解析】（D经过两点（G0）,（0力）的直线为：-+=1,即云+少-bc=O.cb由一知：原点到直线的距离d=-"T=生=%即>2+c202a2又2。=46，则b=I所以椭圆的标准方程为：+-=1123（2）当直线/斜率不存在时，线段48的中点在X轴上，不合题意，所以宜线/的斜率存在，设为k,则直ly+=k（x-2）fy=kx-2k-l,设/（不必），5（孙力）联立整理得：（1+42卜2一8人（2k+1片+16犬+16-8=0显然>（）由韦达定理得+/=喏216公+16k-8+4k2又彳8的中点为M(2,T),则彳,：；)=4,解得A=；,则VW=2所以81=Vl+Zr2x1-x2=+X2)2-4x1x2=VlO又尸（一3,0）至IJ直线/：去一y 2% 1 = 0的是巨离为d=卜3-2左-1|卜*-J7逐5 + = l（>b>0）短轴顶点与焦点所以SAPAB=gMX当变式1.（2023江西南昌高二江西师大附中校考阶段练习）已知椭圆所组成的四边形面积为2,离心率为也.2（1）求椭圆的方程;(2)过点尸(0,2)的直线/与椭圆相交于48两点，求三角形048面积的最大值.【解析】(I)由题意可得e=£=正，又g2b2c=2,即A=I,。22×a2-b2=c2,解得a=亚,b=c=,则椭圆的方程为三+y=1；(2)可设直线/的方程为y=h+2,与椭圆方程r+2V=2联立，可得(1+2k2)x2+Skx+6=0,则A=64-460+2F)>0,化为2/一30，设A,8的横坐标分别为七，演，阳8k6可得再+”一币F，中2=W则IABI=Jl+/X/占+2)2-4Xrr2=4+k2×JX+'广V+2×当而O到宜线/的距离为d21 + 2则 ×7= Xg X义善二IrN %2_ 31+ I2-设t=y2k2-3(/>0)»即=，；3,_222忘2逝Eb7744''T,/+7V×7当且仅当，=2即2=±巫时，三角形。48面积取得最大值也22变式2.(2023上浙江嘉兴高二校联考期中)已知点M到直线/：=2的距离和它到定点厂(1,0)的距离之比为常数&.(1)求点M的轨迹E的方程；(2)若点。是直线/上一点，过尸作曲线E的两条切线分别切于点A与点8,试求三角形/MB面积的最小值.(二次曲线及2+取2+。=0在其上一点0M,打)处的切线为4%工+孙/+。=0)lx2厂2【解析】(I)设M(Xj)，则Uj="，化简得E：y+=11所以点M的轨迹E的方程为+V=I.(2)设尸(2j),4(%,必)，则切线北为当+KV=1,切线8尸为子+必歹=1,x.+ty.=将点P分别代入得'1,所以宜线48为，：x+W=l,M+叱=1点P到加的距离d=1 +/gT,当 f = O 时，dm=l .x+ty=另一方面，联立直线48与Em得(入2)/_2OT=0,万+y_I+y2t所以.I,则48=Jl+f2.卜乃|二+小步|+歹2)2-外必=>M=T7iIJ当LO时，物Ln="所以S.=；IMId孝故Z=O时，SA的,最小值为变.2题型二：三角形的面积问题之分割法例4.(2023河南南阳高二统考期末)已知抛物线E：/=X的焦点为F,过X轴正半轴上一点的直线/与抛物线E交于A、B两点,O为坐标原点，且R.9=6.(1)求点M的坐标；(2)设点户关于直线08的对称点为C,求四边形。力8C面积的最小值.【解析】(1)设直线/的方程为X=少+",联立V=,可得"-my-"=0,需满足A=+4”>o,设/XM),8(巧,必)，则M+必=MMy2=-，由于My2<°，.”0,由刃丽=6可得XlX2+必必=(My2)+必必=6,解得=3或=-2(舍去)，则x=my+3过X釉正半轴上一点(3,0),即点M的坐标为(3,0).(2)由题意知尸(2，0),结合(1)知Ky2=-3,4不妨设乂>°,-2=-3,13,3/3、则5回8=弓|。Mll必一为1=亍(乂一必)=于必+一，ZZ2Vy)由于C,户关于08对称，故SqBC=SAoBFToF11为卜蓝-,28%“°CC3393(131、3八13B故S四边形.sc=&N8+£瓯=彳、4XH-×214-=>,28%队8，必2当且仅当4必=U时，即必=姮时，等号成立，乂I2故四边形Q48C面积的最小值为亚.2例5.(2023黑龙江哈尔滨高二哈师大附中校考期末)已知椭圆U=E=l(>b>0),焦距为40，且ab经过点M书.(1)求椭圆。的方程；(2)设4，4是椭圆C的左、右顶点，。为直线x=6上的动点，直线40,40分别交椭圆于/,N两点，求四边形4MN面积的最大值.【解析】V2c=42-.c=22,F,(-22,o),/(22,),Y经过点P,P6+IPqI=JI8+1+#+"=6=勿，=3.所以椭圆C的方程为+炉=(2)椭圆及直线x=6关于X轴对称，不妨设。(6j),(AO),M(XQi),N(X2,%)，4(-3,0),4(3,0),则直线04：N=(X+3),宜线04:歹='X-3),由、'=§(x+3),消去X得一%=o,解得必=其，+9=9jtZ+9同理由)'=3("一"，得=白，X2+9y2=9t+则四边形AMA2N的面积为S=$S外=加阕(瓦|+网)=3帆必I设U=F(U=+:2曰=26,当且仅当f=j,即Z=G时等号成立)，、4,4(w+2)(w2)/(w)=M+-,/(W)=1r=-UUUw23,(w)>O,/()是增函数，所以=2时，歹=“+3最小值为8叵，S最大为36，/=JLM3例6.(2023浙江嘉兴高三统考期末)已知抛物线U=2px(p>0)上的任意一点到焦点的距离比到),轴的距离大上.(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线外一点尸(八)作抛物线的两条切线，切点分别为4B,若三角形4BP的重心G在定直线/：y=|x上，求三角形/5尸面积的最大值.【解析】(1)根据题意，抛物线C上的任意点到焦点的距离与到直线X=-g的距离相等，由抛物线的定义可知：f=pP=I,抛物线C的方程为/=2x./2(2(2)设动点尸(叽)，切点力与小，By,J2.设过力的切线RI方
