第3讲函数的极值与最值.docx
第3讲函数的极值与最值函数的极值极值问题是导函数的一个直接应用,极值点作为单调区间的分界点和函数最值点的候选点,在研究函数单调性和最值时具有重要意义.极大值与极小值统称为极值,我们先来看相关定义：(1)极大值:一般地,设函数/(x)在点与及其附近有定义,如果对与附近的所有的点都有/(力为),就说/伍)是函数/(x)的一个极大值,记作加大值=题)，其中与是极大值点.(2)极小值L般地,设函数“X)在点X。及其附近有定义如果对方附近的所有的点都有了(力入0)，就说/(o)是函数“)的一个极小值，记作y极小值=/)，其中小是极小值点.看上面对极值点和极值的一般定义,我们要注意以下几点:一是极值点和极值的定义不要搞混淆;二是极值是一个双边定义:极值点的两边函数都有定义,极值才存在;三是极值具有局部性,极值是函数局部的最值,一个函数区间内可存在多个极值.在高中阶段,我们可以简单地理【解析】一阶导函数为零的点即为原函数的极值点,一般来说,做大题不会出错,不过保险起见还是需要验证一下极值点两边一阶导数是否变号,即原函数单调性是否改变.需要注意的是,极值点处导函数可能不存在,比如函数/(x)=k-l,x=l是函数的极小值点,但在极值点处导函数是不存在.这是大学要研究的内容,不需要过分纠结.极值问题的两种考查方式:一种是直接求极值点(极值),一般步骤是求导,解出导函数的零点,即为函数的极值点(求解后需要验证),如果含参数的话还要分类讨论一下.再求极值.另外一种就是给出某个点是极值点,来求解参数的取值范围.求无参函数的极值点和极值求极值点的步骤：筛选:令r()=o求出r(x)的零点(此时求出的点有可能是极值点).(2)精选:判断原函数在广(力的零点左、右两边,其单调性是否发生变化,若发生变化,则该点为极值点,否则不是极值点.(3)定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点:先增后减是极大值点,先减后增是极小值点.通常,判定一个点是极大值点还是极小值点我们有两种充分判别条件:第一充分条件:设函数/(/)在点/的某个邻域内连续且可导(尸(无0)可以不存在).若在飞的左邻域内,r)>o.在小的右邻域内,r(力<o,则力在4处取得极大值/(0).(2)若在X。的左邻域内"M)<0.在/的右邻域内JM)>0,则/(x)在/处取得极小值"0)(3)若在小的左、右邻域内,r(x)不变号,则在4处没有极值.注意:第一充分条件利用一阶导数符号来判断函数单调性时,为了快速判别,我们只需要在极值点与的左边或者右边取一个特殊值验证一阶导函数的正负号即可(这个方法我们称为特殊值法).第二充分条件:设/(力在/处具有二阶导数,且r(0)=OJ"(0)w。,则当/(o)<O时,函数/(x)在/处取得极大值.当/(o)>O时,函数“X)在X。处取得极小值.注意:利用驻点处二阶导数符号来判断驻点是否为极值点时,二阶导函数的正负号淇实决定了一阶导函数的单调性.解题时,为了快速判别,我们可以直接判定决定一阶导函数正负号部分函数的单调性,一阶导函数为增-是极小值点,一阶导函数为减一是极大值点.为极大值点(这个方法,我们称之为一阶单调性法).【例例求函数y=x-In(I+x)的极值.【解析】法一：y=x-ln(l+x)的定义域为(-1,田),令y'=x=o,当一<x<o时,有y<o.当x>o时,有y>o,由极值的第一充分条件知,y=x-In(I+x)在X=O处取得极小值为/(0)=0.法二:y=x-ln(l+x)的定义域为(T,+0?),令y'=1-7L=j-=0,得X=0.又由y=得y"(0)=l>0,(1+力.由极值的第二充分条件知,y=x-ln(l+x)在X=O处取得极小值为/(0)=0.【例2】求函数/(x)=g.2一3的极值.【解析】法一：/(力二§/一32一31的定义域为令/(元)二/一2尢-3=0,得=3,工2=一1现歹1表讨论如下：X(,-1)1(1,3)3(3,+8)/Cr)+Q0+/(力)单调递增极大a单调递减极小值单调递增由上表知，/(同=；冗3_12-3X在X=-I处取得极大值为/(7)=,在冗=3处取得极小值为了=-9.法二:令,(x)=X22x3=OWx1=3,x2=-1.由/(x)=2a2得/(T)=-4v0,广=4>0,.由极值的第二充分条件知J(X)=；/72一3X在X=T处取得极大值为/(-l)=,x=3处取得极小值为/(3)=-9.已知极值/极值点反求参数题型:已知含参函数/(x)的极值点为%,在极值点与处的极值为先,求参数.方法:列出方程组F=C),求解参数即可./()=>jo例1已知函数f(x)=ax2+lnxx=l处有极值;,求实数4,8的值.由/(x)=Ot2+blnx,知z(x)=20r+-.又/(x)在R = I处有极值;,则，/(l)=02a+b=01 ,1.a=-yb=-l.2【例2】已知函数x)=x-网-2HnHaR),若函数/(x)在x=2日寸取得极值,求实数。的值.【解析】r(x)=l+"一网，XX依题意有r(2)=0,即1+驾i-=O,解得=.检验:当=3时J,(x)=l+N-3=V2=92 7X2%JrX2此时,函数/(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+<»)上单调递增,满足在x=2时取得极值.综上可知4=.2例3已知函数f(x)=gr3-$2+1./工,其中R,若函数/(“在X=I处取得极大值,求实数。的值.【解析】/(x)=r32+ci2X,:.f,(x)=ax2-3x+-a2.由题意可得/=Ta-3+=0,整理得Y+2=0,解得=1或a=-2.(1)当a=时,/'(x)=g2-3x+=×(x-l)2O恒成立，此时,函数y=力在R上单调递增,无极值.当=一2时,r(x)=-3f-3x+6=-3(2+-2)=-3(x-l)(x+2).令r(x)>O得-2<x<l.令r(x)<O得xv-2或x>l此时,函数y=(x)在X=I处取得极大值,合乎题意.综上所述,a=-2.注意:如0是6的极大值点,除必须有r(毛)=O外,还必须满足在0左侧某个区间(Ao-机)上r(x)>O,在XO右侧某个区间(,0+")上(x)<O,其中>0,>0.仅仅有广(与)=0是不够的,这也是易错的地方.已知极值点反求参数范围(第二判别法)对于已知极值点来求参数取值范围的题目,我们一般有两种解法：方法一:分类讨论,求出导函数r(x),确定ra)=o的根,然后由根分实数为若干个区间,讨论各区间中;(力的正负,得单调区间,若在与左侧递减,右侧递增,则/是极小值点;若在X0左侧递增,右侧递减,则是极大值点.方法二:第二充分判别条件验证,求出二阶导函数,当/()<()时涵数“可在处取得极大值;当/(%)>0时,函数f(x)在与处取得极小值,来快速求解参数取值范围.注意:这个是充分条件,一般用来验证答案,不作为解题过程,可作为分析过程。例1已知函数/(戈)=2一(4+l)+4+3e*(0),若F(X)在x=2处取得极小值,求。的取值范围.【解析】法一:分类讨论/(力=加一(2+1.+2甘=(奴一1)(工一2)巴令人力二0得/，或x=2.若OvLv2,即a>；,则当x(L2卜j，r(x)vO,当x£(2,+8)时J'(x)>0.在X=2处取得极小值.(2)若g,且40,则当冗(0,2)tz0r-x<1,.0v-l<0,同时x-2<0.(x)>0,从而X=2不是/(x)的极小值点.综上可知的取值范围是法二:第二充分判别法验证r=/_(2a+l)+2卜.ff(x)=0r2-x-2a+lex.由极大值点的第二充分判别条件可得/(2)=(4o-2-2a+l)e2>0,【例2】已知/(6=/山一£”2+火(工(),若函数/3在工=处取得极大值,求实数的取值范围.【解析】法一:分类讨论/(x)=(a2+ax+a=(x-I)Ka+l)x+X(1)当>0时,(+l)x+a>0,令/(幻>0得OVXVL令/(x)<0得x>l./")在X=I处取得极大值.当4,一1时,(+l)x+<0,由可知f(x)在X=1处取得极大值.当。=一；时,，*)=攵萨.0,则力无极值.(4)-l<a<-时,令7(x)>0得0<XV1或1>-.2a+l令r()<o得1<工<.(x)在X=I处取得极大值.(5)当一g<<O时,令r(x)>0得0<x<一或>l.令r(x)<o得j<x<.(x)在X=I处取得极小值.综上,的取值范围为卜8,-3卜(°，+。)法二:第二充分判别法验证/X)=-(a?+)+,/"(X)=-一(/+),由极大值点的第二充分判别条件可得f()=-a2-(a2+)<0.解得卜以-；v(0,+a).【例3(已知函数/00=e,7-Odn(X函数/(x)在X=O处有极大值，求。的取值范围.【解析】法一:分类讨论/'(x)=er-l-ln(x+l)+-j-(x>-l).设g(x)=-),则g'(x)=ex777+/+1(x+l)当QO时,g1x)>O,g(X)在(1,+8)上单调递增，.X(-1,0)时,g(x)<g(0)=0.(0,÷oo)时,g(x)>g(0)=0./1)在(-1,0)上递减,在(0,+oo)上递增.x=0是/(x)的极小值点,与题意矛盾.(2)当>0时,，(x)=e"-x在(-1,+8)上是增函数，且(O)=I_2a.当0<g,x(0,+动时,g'(x)>g<0)=l-2a0.从而,(x)在(O,+)上是增函数,故有rG)>r(o)=o./在(0,+8)上是增函数,与题意矛盾.(2)当>g时,若X丘(TO),则g<)Vg<0)=1-2aV0,从而f,(x)在(-1,0)上是减函数，.ff(x)>ff(0)=0.J(x)在(To)上是增函数.若x(0,),由常用指数不等式见“不等式放缩法(10.2)ert>+l,则(x)<g'(0)=1-2a<0,从而f,(x)在(-1,0)上是减函数，/(X)>/(O)=O.(x)在(T,0)上是增函数./ + 2/ +。+13 + 1)2若X(O,),由常用指数不等式见“不等式放缩法(10.2)ea>6+l,则g(a)=el,-a-+-7+l(+l)又g'(0)=l-2<0,.存在4e(Om)使得g'(为)=O.从而当(0,jQ)时,g(x)<O,."'(x)=g(x)在(0,%)上是减函数,从而/(x)</(0)=0./(x)在(0,%)上是减函数,故X=O是/(x)的极大值点,符合题意.综上所述,实数。的取值范围为(J,+。).法二:第二充分判别法验证f,x)ex -a ln(x +
