第2讲函数的单调性（原卷版）.docx
第2讲函数的单调性单调性是函数的一个重要性质,对函数作图起到决定性的作用,而导数是分析函数单调区间的一个便利工具,通过求解一阶导函数并判定其正负号,进而得到原函数单调性.利用导函数研究函数单调性是导函数这一块知识贯穿始终的东西,如果单独拿出来考查可以分为两类题型:第一类是求导来讨论函数的单调性.第二类是给出函数单调性,然后来求出参数的取值范围,这一类通常把的单调性问题转化为导函数的不等式问题,按照不等式问题的解法来求解即可.下面是导函数和原函数单调性之间的联系,希望读者认真掌握：函数在(,b)可导,那么在(6。)上单调递增=V冗(,Z?),(x)O.函数/(x)在可导,则/(x)在(,b)上单调递减=x(,b),r(x)O.进一步可说,函数/(x)在(。力)内可导,且广(九)在(。任意子区间内都不恒等于0.则当X(4,。)时,r(X)0O函数/(X)在(4,。)上单调递增./'(久)Oo函数/(x)在(力)上单调递减.求无参函数的单调区间(因式分解法)函数没有参数的话是相对较简单的,只需要求导,并判定出导函数的正负号即可判定出原函数的单调性,其中对导函数因式分解后就能判定出每个因式的正负号,进而判定总的导函数的正负号,所以,我们求导后一定要想办法因式分解,下面给出利用导数求函数单调区间的一般步骤：(1)确定函数的定义域.求出了")的导函数r(x),并因式分解.令r(H=o,求出X的解集,即可分割出了G)的单调增(或减)区间.(4)列出表格或者进行描述.【例11已知g(x)=(f-4x+4)e*T，求函数g(x)的单调区间.求无参函数的单调区间（连续求导法）如果一阶导函数无法因式分解,也无法求出r（/）=O的解,则要考虑多次求导，但一定记住,不论求导多少次,怎么求导,最终一定回归判定一阶导函数的正负号，进而得到原函数的单调性.【例1】列已知函数/（x）=2e'-d2（AD（其中e为自然对数的底数）,求/（x）的单调区间。例2设f（）=皿（>l）,判断函数/（力的单调性.x1讨论含参函数的单调性（一次函数型）当函数含有参数时,函数的图像是不确定的,我们讨论的核心在于讨论不同参数取值范围时函数的单调性是什么,更进一步说,我们讨论的是不同参数下,导函数的正负号如何,在讨论的时候一定要注意定义域问题.以下例题是导函数为一次函数r（x）=履+方结构的类型,要注意总结方法.【例1】已知函数/（x）=0x-l-InX,R,讨论函数了（力的单调区间.例2已知函数力=（6-2户-。（4-2）,讨论了"）的单调性.【例3】已知函数/（x）=2e'-依-2,讨论函数/（x）在（0,+8）内的单调性.讨论含参函数的单调性(二次函数型)如果决定一阶导函数正负号的是一个含参数的二次函数r)="2+加+g则我们讨论的逻辑层次是：(1)讨论二次函数开口.(2)讨论二次函数的判别式.讨论两个根大小和是否在定义域范围.具体步骤如下：讨论r()=加+法+c在X£。上的正负号.。=0,则/'(X)=反+c,按一次函数讨论.(2) >0,开口向上,讨论A二6一44.A0=>在x。上,r(x)0=(x)在x。时单调递增.A>0n/'(x)=0会有两个根=W=心|白，进一步比较两个根的大小和讨论两个根是否在定义域内(结合开口方向,对称轴和纵截距综合考虑).(3)。<0,开口向下,讨论=Z-4c.A0=>在xO上r(x)0n(X)在xI>时单调递减.>()=/'(x)=0会有两个根:再=二进一步比较两个根的大小,讨论两个根是否在定义域内.注意:如果可以通过因式分解求出两个根,则只需根据开口,比较两个根的大小，讨论两个根是否在定义域内.例1已知函数/(x)=41nx+%2-2ntr(mR),求函数/()的单调区间.【例2】已知函数/(x)=g2-欣+0_)n讨论函数”的单调性.【例4】已知函数/(1)=92一(+_|卜+2联,讨论了3的单调性.由单调性确定参数的取值范围已知单调性反解参数取值范围其实就是转化为导函数不等式成立时求解参数取值的问题.如果对不等式不是很熟悉,可以先看后面的章节,再回来看这一部分，我们的解题思路是把原函数单调性问题转化为一阶导函数不等式问题,当函数在5，0)内可导,且广在(。任意子区间内都不恒等于。时,转换方式如下：(1)函数/(X)在区间。上单调递增o/'(x)0在区间。上恒成立.(2)函数/")在区间。上单调递减白r")o在区间。上恒成立.函数在区间。上不单调=/(力在区间。上存在异号零点.函数/(x)在区间。上存在单调递增区间o11r。使得r(x)>0成立.函数/(同在区间。上存在单调递减区间=3x。使得r(6<o成立.【例1】已知函数/(x)=e'-x2+x÷l,aR,/(x)为R上的增函数,求的取值范围.例2已知函数“力=/加Tar3_|9,若函数y=/()在定义域上单调递减,求实数。的取值范围.
