第03讲5.3.1函数的单调性（解析版）.docx

课程标准学习目标理解导数与函数的单调性的关系。掌握利用导数判断函数单调性的方法。能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间。会利用导数证明一些简单的不等式问题。掌握利用导数研窕含参数的单调性的基本方法。通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利用导数解决单调性与含参数相关的问题.知识点OL函数的单调性与导数的关系(导函数看正负，原函数看增减)函数y=/()在区间(出与内可导，若/'()o,则/()在区间(出力内是单调递增函数；若,()0,则/()在区间SM内是单调递减函数；若恒有(x)三0,则/(x)在区间(a,b)内是常数函数.注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则条件恒有结论函数y=()在区间(。,6)上可导()oV=(x)在力)内单调递增roy=f()在S,6)内单调递减,(x)三0y=()在内是常数函数【即学即练1(2023下新疆巴音郭楞高二校考期末)如图所示是函数/(x)的导函数/'(x)的图象，则下列判断中正确的是()A.函数/(力在区间(-3,0)上是减函数B.函数/(X)在区间(1,3)上是减函数C.函数/(X)在区间(0,2)上是减函数D.函数/(X)在区间(3,4)上是增函数【答案】A【详解】对于选项A：当-3<xv0时，(x)<0,则/(x)在(-3,0)上单调递减，故A正确；对于选项B：当l<x<2时，/¢(%)>0；当2<x<4时，,(x)<0:则/(力在(1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，故B错误；对于选项C当0<x<2时，/<)>0,则%)在(0,2)上单调递增，故C错误;对于选项D：当3<x<4时，/'(x)<0,则/(x)在(3,4)上单调递减，故D错误；故选：A.知识点02：求已知函数(不含参)的单调区间求y=)的定义域求/'(X)令r)>o,解不等式，求单调增区间令r)<o,解不等式，求单调减区间注：求单调区间时，令/')>0(或/'(X)VO)不跟等号.【即学即练2】(2023下四川资阳高二统考期末)函数/(X)=X-Inx的单调递减区间为()A.(0,1)B.(l,+)C.(0,+)D.(0,1),(0,+oo)【答案】A【详解】因为/(x)=x-lnx,所以函数/(%)的定义域为(0,+),所以/'(X)=I-L由r()=jL<o有：x<i,XX所以函数/(X)=X-Inx的单调递减区间为(0,1),故B,C,D错误.故选：A.知识点03：由函数/(x)的单调性求参数的取值范围的方法1>已知函数/(X)在区间。上单调已知/(x)在区间O上单调递增=xO,/'(x)0恒成立.己知/(x)在区间O上单调递减。xD,/'(x)0恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.2、已知函数/(X)在区间。上存在单调区间己知/(x)在区间D上存在单调增区间<=>3xD使得f,(x)>0有解已知/(x)在区间D上存在单调减区间o3x。使得/'(X)<0有解3、已知函数/(x)在区间。上不单调o*o使得/'(/)=O有变号零点【即学即练3】(2023上新疆高三校联考期中)已知函数/(力=/+如在区间0,+8)上单调递增，则。的取值范围为.【答案】-l,+g)【详解】因为/(x)在区间0,+8)上单调递增，所以当x0,+)时，/'(x)=e'+O恒成立，即-e*在。,+8)恒成立，又(YX)=-1,所以07./max故答案为：-1,+）【即学即练4】（2023上贵州贵阳高三清华中学校考阶段练习）已知函数/（X）=InX-存在单调递减区间，则实数。的取值范围是.【答案】信，+【详解】函数/'。）=】政-3及-工的定义域为（°，+功，求导得/'（X）-如-1,依题意，不等式/'（x）0在（0,+e）上有解，等价于在（0,+e）上有解，而4-L=（1-IT-J当且仅当=2时取等号，则。一，X2XU2；444所以实数a的取值范围是（-：,内）.故答案为：.知识点04：含参问题讨论单调性第一步：求，=（x）的定义域第二步：求/'（X）（导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为g（）对于y=（）进行求导得到/'（X），对/'（X）初步处理（如通分），提出/'"）的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为了'（X）的有效部分（如：/0=珑，-广+2）,则记8（不）=/一"+2为/口）的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定了'（X）的正负.第四步：确定导函数有效部分g（）的类型：g（）为一次型（或可化为一次型）g（）为二次型（或可化为二次型）第五步：通过分析导函数有效部分，讨论歹=（）的单调性题型Ol求函数的单调区间【典例1】（2022下湖北高二统考期末）函数/（x）=；/-Mx的单调递减区间为（）A.（-1,1）B.（0,1）C.（l,+）D.（,+oo）【答案】B【详解】解：因为/（x）=；r-nx,所以/，LG)(+),XX令,()<0,得O<x<l,所以x)的单调递减区间为(0,1)，故选：B【典例2】(2023下河北沧州高二校考阶段练习)函数/(x)=2x-51nx-4的单调递减区间是()A.(0,3)B.(3,+)UIT0，【答案】D【详解】r()=2-p定义域为(0,+8),令r()<o,解得o<x<g,所以/()在IaI)上单调递减.故选：D.【变式1(多选)(2023下吉林长春高二长春外国语学校校考期中)函数/(x)=XlnX的一个单调递增区间是()A.(e,+oo)B.(L+8)C.()D.(口)【答案】ABD【详解】由题意/'(x)=lnx+l,/,(x)=lnx+l>0,x>-,因此/&)的增区间是(士+，ce因此ABD正确，C错误.故选：ABD.题型02函数与导函数图象间的关系【典例1】(2023高二课时练习)已知函数/(x)的导函数/'(X)的图象如图，则下列结论正确的是()A.函数/(x)在区间(-2,1)上单调递增B.函数/O)在区间(L3)上单调递减C.函数/(x)在区间(4,5)上单调递增D.函数/在区间(-3,-2)上单调递增【答案】C【详解】山导数的图象可知，当x(T2)U(4,5)时，/'(力>0,所以/(x)在区间11,2),(4,5)上单调递增，故C正确；当2<x<4时，(x)<0,所以/(切在区间(2,4)上单调递减，-3<x<-lW,<0,则/(x)在区间(-3,-1)上单调递减，故A、B、D错误；故选：C.【典例2】(2022下广东深圳高二统考期末)设/'(X)是函数/(x)的导函数，V='(x)的图象如图所示,则y=()的图象最有可能的是()【答案】C【详解】由导函数的图象可得当x<0时，尸卜)>0,函数/(切单调递增；当0vx<2时，,(x)<0,函数/(')单调递减；当j>2时,/钢>0,函数/()单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.【变式1(2023下四川成都高二四川省成都市新都一中校联考期中)已知函数y='()(eR)的导函数/()的图像如图所示，则函数y=()()A.在(Yo,-2)上单调递增B.在(1,+8)上单调递减C.在(3,3)上单调递增D.在(3,+)上单调递减【答案】D【详解】由图可知：当XV-2时，/(x)<O,(x)单调递减，当一2<x<3时，/(x)O,(x)单调递增,当”>3时，f'(x)<OJ(x)单调递增；故选：D.【变式2(2022湖南校联考二模)设函数/(x)在定义域内可导，y=(x)的图象如图所示，则其导函数y=)的图象可能是()【详解】由/()的图象可知，/(X)在(y,o)上为单调递减函数，故w(-oo,0)时,Ir(X)<0,故排除A,c；%(o,+)时，函数/()的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以f'(%)的值是先正,再负，最后是正，因此排除B,故选：D.题型03已知函数/(X)在区间。上单调，求参数【典例1】(2023上广西高三南宁三中校联考阶段练习)若函数/(4)=2t-(x+2)lnx是(0,+功上的减函数，则实数。的最大值为.【答案】1+历&/0+1【详解】由函数/(x)=2x-(x+2)底是(0,+8)上的减函数，则/'(x)=2-hu-±0在(0,+3)上恒成立，X即2alav+在(0,+8)上恒成立，X设g(x)=lnx+l+2,则g，(X)=J_§=j2,XXxx当x(0,2)时，g'(x)<O,函数g(力单调递减当x(2,*o)时，g,(x)>0,函数g(x)单调递增，可得g(x)min=g(2)=2+ln2,所以l+ln,即实数的最大值为1+ln.故答案为：l+ln【典例2】(2023海南校联考模拟预测)设0<"1且"；，若函数/(x)=bg.X+l<x在(0,+功上单调递增，则a的取值范围是.【答案】【详解】由题意知：/'(X)= 二+XlnaIn a +ln 2 ax In 2a XInQ In 2a当0<。<；时，Ina<0,In2a<0,所以/'(x)<O,所以/(x)在(0,+。)上单调递减；当;v<l时，ln4<0,In2>0,要使/'(x)>0,则ln+ln2<0,整理得InQ所以0<<,解得2_<<也.故答案为：TJ【典例3】(2023上辽宁大连高三大连市金州高级中学校考期中)若函数x)=(x+l)lnx-ax在(0,+功具有单调性，则。的取值范围是()A. (2,+<o)B. 2,+oo)C. (-,2D. (-oo,2)【答案】C【详解】由/(-V)=(x+l)lnx-ax=>,(x)=lnx+-+l-,当函数/(X)=(+l)lnx-or在(0,+8)单调递增时，x)0恒成立，得aWlnx+l,设g(x)=lnx+2+lng，(X)=I_=!,XXXXX当x>l时,g'(x)>O,g(x)单调递增，当O<X<1时，g'(x)<O,g(x)单调递减，所以g(x)min=g(l)=2，因此有2,当函数/(x)=(X+I)InX-仆在(0,+8)单调递减时，/''(x)O*f亘成立，得lnx+'+l,设g(x)=lnx+'+lng'(X)=L一!7=v!,XXXxx当x>l时,g'(x)>O,g(x)单调递增，当O<X<1时，g'(x)<O,g(H单调递减，所以g(x)mhl=g(l)=2,显然无论。取何实数，不等式r()o不能恒成立，综上所述，的取值范围是(-8,2,故选：C【变式1(2023上江苏苏州高三常熟中学校考阶段练习)己知函数y=lnx+0在2,+)上单调递增，则X实数的取值范围是.【答案】a2