抽象函数性质知识总结与题型归纳（解析）.docx

抽象函数性质知识总结与题型归纳1概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2常见抽象函数模型题型一：“巧妙赋值”求函数值问题技巧再现：“赋值思维”抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。有如下规律技巧：(1)第一层次赋值：常常令字母取0,1,1等(2)第二层次赋值：若题中有条件f(x0)=t,则再令字母取X。.(3)第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积(较多)或者差与商(较少)。例1：已知函数f(X)是定义在(0,+8)上的函数，且对任意,y(0,+8),都有/(秒)=f(%)+f(y),2)=1,求/(4)/(8).【解析】对任意,y(0,+),都有/(孙)=(x)+f(y),"2)=1,/(4)=f(2X2)=/(2)÷/(2)=2,f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4)=3.例2:已知/(x)定义域为R,对任意XjeR都有/(+y)=()+(y),当x>2时，/Cv)<0,/(2)=0.求/(1),/(0),/(T)的值；解：(1)在3+(y)二中令X=y=,得2()=(2),因为/(2)=o所以/=5,令=y-o得2(o)=/()÷,解得/(°)=，令ILLl得，/(H/(T二/(o)+,即"I,解得；例3:对任意实数,y,均满足/(x+y2)=/(X)+2(y)K且/(i)o,则/(2001)=.【解析】令x=y=O,得/(0)=0,令汇="，、=1,得/5+1)=/'(>1)+2|/(1)2令n=1,得/(1)=/(0)+2(1)2=2(1)2,f.(n+l)-(n)=i(n)=p即f(2001)=等.变式1.设函数y=f(x)是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件对任意正数,y,都有/(Xy)=/O)+f(y);当%>1时Ja)<。:/口)=-1.求/(1)Jc)的值；解析：令=y=1,f(l)=f(l)+f(l),./(1)=0,令=y=3,/(9)=/(3)+/(3)=-1-1=-2,且f(9)+f弓)=f(1)=0，得fG)=2.变式2.定义在R上的函数/(),满足对任意,ywR,有/(-y)=f()-(y),且/=IolL求/(0),/(6)的值；解析：令X=N=O,得/(°)=/(°)一/(°),所以/(°)=°,令x=6,”3,得/(63)=/(6)/(3),所以/(6)=2/(3)=2022.变式3.已知函数千(x)定义域为R,f(1)=2,f(x)0,对任意X,yR都有f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时,f(x)>1;求f(4)J(16)的值；解析：千(1)=2,f(2)=f(1+1)=f2(1)=4：Af(4)=f(2+2)=f2(2)=16题型二：抽象函数的单调性与奇偶性问题知识再现1:抽象函数的单调性常用单调性定义证明(1)任取1，不£。，且(2)作差f(右)一/(%2)(根据题目给出的抽象函数特征来“构造”出fOD一/(必)此步有时也会用作商法：判断翳与1的大小；f(×2)(3)变形；(4)定号(即判断差/(右)一/02)的正负)；(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间。上的单调性).知识再现2:证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。1 .可赋值，得到一些特殊点函数值，如f(O),f(1)等，2 .尝试适当的换元字母，构造出X和X,如f(x+y),可令y=x,f(×y),可令y=1等等。3 .通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。例1：已知函数./W定义域为卜1/，若对任意的乂丁目-1，都有/(+y)=W+(j),且>o时，f()<o.(D判断/的奇偶性；(2)讨论/3的区间,l上的单调性;(3)设/=-4,若W-2加+1,对所有x7,l,Tl恒成立，求实数机的取值范围.解析：(1)因为有/(x+y)=(x)+(y),令x=y=O,得/(0)=/(0)+/(0),所以"0)=0,令V=T可得：/(0)=(x)÷(-x)=0,所以/()=-(),所以/为奇函数.(2)由题意设T£王</£1,因为/(X)是定义在T,1上的奇函数，则/(x2)-/()=/U2)÷/(f)=/(*2-Xl)因为X>O时，有/(x)<O,所以/(X2-X)<o,即/(2)<(x)所以X)是在T1上为单调递减函数;(3)因为/&)在-1,1上为单调递减函数，所以/(X)在上的最大值为/(-1)=-/0)=4,所以要使/(%)</-2am+,对所有XWi-I,1m-1,1恒成立,fg(-l)>OU(I) >0w2-2am+1>4,m1-2am-3>0,g(a)=n2-2am-3=-2am+m2-3所以加一3或加> 3.2m÷m2-3>0-2m+n2-3>0变式1：设函数/()对任意的实数X,都有/(+y)=()+(y),且<0时，W<0,7(-1)=-2.(1)求证：/(%)是奇函数；(2)试判断函数/(x)单调性；(3)试问当-2x2时，/(x)是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由.解析：(1)证明：依题意令=y=o,得/(0)=/(0)+/(0),即/(0)=0,令J=T得/(O)=/()+/(T)=O,/(T)=-f(x),，/(X)是奇函数.(2)单调递增函数，理由如下：任取Xi./wR,设X<X2,则为-X2<0,由已知可得/(%-七)<。，V()-()=()+(2)=(i-)<,(j<(2),/(x)在是单调递增函数.(3)有最大值4,最小值-4.由(2)知/S)在区间-2,2上是增函数.又/(一2)=2(T)=-4,/(2)=-/(-2)=4,当一2x2时，max=(2)=4,/(x)min=/(-2)=-4.例2:已知定义域为=(yo,0)U(O,+)的函数/(%)满足对任为/2«-电0川(0,内),都有/(x)=(1)+(x2).(1)求证：/(力是偶函数；(2)设x>l时f(x)<0,求证：/(X)在(0,+8)上是减函数；求不等式(x-l)>(2x)的解集.解析：(1)x1=x2=11(l×l)=(l)+(l),即/(1)=0,取X=/=T得/(1)=/(-1)+/(-1)=0,即/(T)=0,取Xl=X,七=T得/(T)=/(x)+(T)=(x),即/(x)是偶函数./(2)设占>2>0,则%>1,由x>l时，/(x)<0得/五<0,则x2x2JfM=f2=(2)+f-<(2),即/()在(。收)上为减函数，由/(X)是偶函数且在(0,+8)上是减函数，则不等式/(x7)>(2x)等价为X-IWO2x0 得xlX 0 且X 1/°3x2+2x-1>0/(,-)>(2x),k-1I<I2-vII(x-i)2<(2x)2即AYT或;<X<1或x>,即不等式的解集为xx<T或g<x<l或x>l.变式2：已知函数/(K)对于任意实数X,"R恒有/(+y)=()+(y),且当XVO时，<o,又/()=.判断f(×)的奇偶性并证明；求/(%)在区间-3,3的最大值；(3)解关于X的不等式：/(0r2)-2<(ax)-2.解析：(1)/S)为奇函数，理由如下：函数/()的定义域为R,关于原点对称。令x=y=O得：/(0)=2/(0),解得：/(0)=0令V=T得：/(x)+f(-x)=/(0)=0所以/(-X)=-/(x)对任意XWR恒成立所以/5)为奇函数任取占，T2(-,+),且XIVX2则王一工2<0因为当x<0时，/(x)<0所以/(x1-x2)<0,即/(石)+/(-)<0由第一问知，/为奇函数。所以/(f)=-/(W),则)-(9)<o,即fM<fM所以/(X)在火上单调递增，所以/（八）在区间-3,3的最大值为/(3)因为/(T)=-1,/(X)为奇函数所以/=1。令x=y=l得：/(2)=/(1)+/(1)=21,乃2得:/(1+2)=/(1)+/(2)=1+2=3,即/(3)=3(3)因为/(仆2)-2/(幻</(")一2。所以/(公2)_/(幻</(+/(奴)_2=/(工+公)2由(1)可知，/为奇函数，由(2)知，八2)=2。所以/(/)-/(x)</(x+g)-/(2)即/(公2)+/(_工)</。+”)+/(_2)。所以/("2x)v/(x+”2)由(2)可知，/(x)在R上单调递增。所以-<+-2整理得：0r2-(+2)x+2<0,Kp(or-2)(x-l)<0-OO,二 lu(l,+2-2x+2<0,解得：x>l,当<0时，-<0,解集为当 = 2时,2(-1)2<0,解集为 0 ,当 0<<2 时，I>1,解集为卜50<-<,解集为(2,1综上：当。=0时，解集为。,e)，当<OB寸，解集为-oo,ju(l,+oo),当 = 2 时,解集为0,当0<<2B寸，解集为11,：当。>2时，解集为例3:已知函数V=(x)的定义域是夫,对于任意实数机，恒有/(w+w)=(zw)(11),且当x>0时，0<(x)<l.求证：/(x)在K上是单调减函数.解析：丁对于任意实数?，恒有/("?+)=/()，且当x>OB寸，0<(x)<l.令加=1,=0,则/(l)=(l)(0),且由>OB寸，0<(x)<i,(1)>0.(0)=l；设?=X<0,w=-x>0,.(0)=(x)(-x),(X)=.0<(-x)<1,j>1.即当x<0时，有/()>l.即/()>0恒成立,设王<X2,则9-%>0,0<(x2-)<l,)-(1)=-i)+x1-(x1)=(->r1)(x1)-(1)=(Arl)(x2-x1)-l<0,(2)-(x)<0,即/(x2)<(xj,(x)在R上单调递减.变式3:已知定义在R上的函数/(X)对任意实数6都满足S+b)=()(b),且/(I)H0.当>0时，/W>l.(1)求/(0)的值；(2)证明:/(%)在(-如+8)上是增函数；(3)解不等式/(“一2)<息用.解析：(1)因为任意实数,b都满足S+b)=(a)(b),令=l,6=0,则/(1)=/(1)/(0),.(i)o,/(0)=(2)当x<0时，贝-x>0,.(X)(-X)=(x-Af)=/(0)=1,V/(-X)>O,/(x)>0,即xR时，即x)>0恒成立,设任意的AZeR,且x<X2,则>0,'/(W石)>1, f(x2 -x)/U2)/Ui)>l.(x2)>(xl),即/(x)在(-8,+ 8)上是增函数,(