导数不等式证明18种题型归类.docx

导数不等式证明18种题型归类遇内容速览> 一、知识梳理与二级结论>二、热考题型归纳【题型一】不等式证明基础令令【题型二】三角函数型不等式证明0【题型三】数列“累加型”不等式证明令【题型四】双变量构造换元型不等式证明令令【题型五】同构型不等式证明O令【题型六】双变量“比值代换”型不等式证明Q【题型七】凸凹反转型不等式证明令令【题型八】极值点偏移型不等式证明>令【题型九】“极值型偏移”不等式证明>【题型十】三角函数型极值点偏移不等式证明【题型十一】三个零点型不等式证明【题型十二】三个极值点型不等式证明【题型十三】系数不一致型不等式证明【题型十四】极值构造(利用第一问结论)【题型十五】先放缩型不等式证明【题型十六】切线放缩型不等式证明【题型十七】利用韦达定理置换型不等式证明【题型十八】泰勒展开型不等式证明三、高考真题对点练四、最新模考题组练曼知识梳理与二级结论1、应用导数证明不等式基础思维：(1)直接构造函数法:证明不等式/(x)>g(x)(或/(x)Vg(X)转化为证明/(x)-g()>o(或/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数MX)=/()g();(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如：J'=e'在点(0)处的切线为>=x+l,如图所示，易知除切点(°/)外，V=e，图象上其余所有的点均在产"1的上方,故有e'x+l.该结论可构造函数"x)=e'-l并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.3、泰勒公式形式：泰勒公式是将一个在与处具有阶导数的函数利用关于(X-%)的次多项式来逼近函数的方法.若函数/()在包含方的某个闭区间。,切上具有阶导数，且在开区间(。/)上具有(+1)阶导数，则对闭区间上任意一点4,成立下式：/(*1)=/(o)+*(xo)(v-xo)+2»、+：o)(X_*o)"+R(X)其中：/(")(%)表示/(%)在X=XO处的阶导数，等号后的多项式称为函数/(%)在/处的泰勒展开式,剩余的R(X)是泰勒公式的余项，是(-0r的高阶无穷小量.4.常见函数的泰勒展开式：(1)ev=1+j-6,其中(O<e<l);I!2!3!！(n+l)v7(2) ln(l÷x)=x-÷+(-1)1-,其中凡=(T)”J、jI；v72!3!fnnv,(w+l)!U+<JYr5.l/I2/+1(3) SinX=X+÷(-l)TJ-+/?,其中K=(T)F-cos；3!5!(2AT)!"、/(2%+l)!Y4.2*-22R(4) cosx=l+(-I)-+1,其中R=(-1)-一UCoSe”；214!v7(2-2)!"火,"/(2)!，(5) =1+x+x2+xh+o(x11)；1-x(6) (l+x)”=l+,rr+O(X2)；(7) tanx=x+:-+-a5+o(2n);(8) 1+x=i+-X-X2+-X3+o(x).2816v75、麦克劳林(MaClaUrin)公式/(X)=/(O)+/(0)x+q2+/"*x÷RIt(X)虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取XO=O的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.6、常见函数的麦克劳林展开式:X2Xn(1)ex=l+x+2!！Sinx= X-匕+工-3! 5!+(-l)2n(2/7+1)!COSx = I-+-+(-l)rt2! 4! 6!÷o(x2+2)÷ O(X2w)v.23间ln(l + x) = x-+-+(T) “ -+ O(Xe)2 3/? + 1= 1 + x + x2 + ÷x÷ o(xn)1 X(6)(1+x)”=1+"'+Oa2)7、两个超越不等式：(注意解答题需先证明后使用)(D、对数型超越放缩：lnxx-l(x>0)X(2)、指数型超越放缩：x+lJ一(x<l)8.极值点偏移问题的一般题设形式：(1) .若函数/(X)存在两个零点X,%2且再入2，求证：Xi+/？/(XO为函数/(X)的极值点)；(2) .若函数/(%)中存在再,工2且再jc2满足/区)=f(X2)f求证：xI+X2>2%(X。为函数/(X)的极值点)；(3),若函数/(X)存在两个零点再/2且范工2，令XO=再I求证：/'(%)>0:(4) .若函数/(X)中存在再,工2且再x2满足/区)=/。2)，令Xo=m，求证：,()>A热考题型归纳【题型一】不等式证明基础【典例分析】已知函数/(x)=XlnX.(1)求曲线y=()在点(I,/)处的切线方程；(2)求证：f(x)<x2+x.【提分秘籍】刘甬尊双福丽不等王焚琳五有的不丁.!一、比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即;可；二、较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合己解答的问题把要证的不等式变形，并运用己证结L论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.【变式演练】1 .(甘肃省武威市凉州区2022届高三下学期质量检测数学(文)试题)设函数/(x)=(-2x)/+“0-"Inxle+2e其中e为自然对数的底数，曲线y=(x)在(2J(2)处切线的倾斜角的正切值为5,+二(1)求。的值;(2)证明：/(x)>0.2 .已知函数/(x)=lnx+x2-ax.(1)若函数/U)在定义域内为增函数，求实数的取值范围；(2)若=0且x(0,l),求证：xl+x2-/(x)<(l+x-x3)ex.【题型二】三角函数型不等式证明【典例分析】(北京市第八中学2023届高三上学期12月测试数学试题)已知函数/(x)=x"'2-x"cosx(其中Z).(1)若=T,判断函数/(x)在(。弓)上的单调性；(2)若=1,判断函数/(x)零点个数，并说明理由；(3)若=0,求证：/(x)+2->0.【变式演练】(江苏省连云港市灌南高级中学、灌云高级中学20222023学年高三上学期10月联考数学试题)已知函数.Sinxf(x)=X.(1)当x>o时，/()q,求实数。的取值范围；(2)证明：iex>tInX+sinX.【题型三】数列“累加型”不等式证明【典例分析】(2023四川成都石室中学校考模拟预测)已知函数=若/(x)0,求实数a的值；(2)已知wN,且2,求证：l+-+-<lnw.23n【提分秘籍】一分友我三有存双型不薪注丽丁症丽恿花而国司不1导致证丽恿露二致;对于三希两薮王夏瓦正茶瓦要充分利用正余弦函数的有界性。*变式演菊(2023贵州黔东南凯里一中校考三模)已知函数/(x)=lnx-(1)证明:/(x)0;/c、Tn口1CIn3ln4ln(z+l)1(2)证明：ln2+-r+、-+-J->1,eN.2232n2+1【题型四】双变量构造换元型不等式证明【典例分析】(2021黑龙江校联考模拟预测)已知/(x)=F.(1)求关于X的函数g(x)=/G)-4(r)-5X的单调区间;(2)已知。>方，证明：幺zJ a-b11<-ea +eh +4e6I【提分秘籍】海及函函而双零点间瓶不音再加的庭而不委豆而不辱,二-这星号菌薮的面而不辱下一布是把反变隹而辱'式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.【变式演练】17(2021广东统考一模)已知/(x)=lnx,g(x)=-x2+wx+-(w<0),直线/与函数/、g(x)的图象都相切,且与函数/(x)的图象的切点的横坐标为1.(I)求直线/的方程及加的值；（三）若力()=(+l)-g'()(其中g'(x)是g(x)的导函数)，求函数M%)的最大值；(In)当OCbCa时，求证：f(a+b)-f(2a)<-.2a【题型五】同构型不等式证明【典例分析】/()=gw=1÷(四川省乐山市高中2022届第一次调查研究考试数学(理)试题)已知函数''X,''X其中“eR.(1)试讨论函数'U)的单调性；(2)若=2,证明：xf(x)g(x).【提分秘籍】.莉甬函薮同等菱舷通还逐锈硬酒薮薪胫升稻作菱形苒商逐厂对原不等式面裤变形瓶琬布被密商S构造辅助函数.IIIiii夜式演菊(2022贵州黔东南统考一模)已知函数/(X)=巫G"0)nix(1)试讨论函数/(X)的单调性；(2)对Vaw(Le),a>br证明：ab+l>ba+l.【题型六】双变量“比值代换型”不等式证明【典例分析】(2020黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考三模)函数/(x)=InX-喑D(1)求证：函数/(x)在(0,”)上单调递增；II0(2)若孙为两个不等的正数,试比较型二竺与的大小,并证明.m-nm+n【提分秘籍】r½sw½w;:1.一般当有对数差时，可以运算得到对数真数商，这是常见的比值代换形式i2.两个极值点(或者零点)，可代入得到两个“对称”方程!3.适当的恒等变形，可构造出“比值”型整体变量。【变式演练】(2022湖北黄冈统考一模)己知函数/(x)=InX-?x+m.(1)求函数/(x)的单调区间；(2)若/卜)0在X(O,+")上恒成立，求实数巾的取值范围;【题型七】凸凹反转型不等式证明【典例分析】(宁夏青铜峡市高级中学2022届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知函数/(x)="Tnx,aeR.(1)求函数/(%)的单调区间；(2)当t(0,e时，求g(x)=/X-InX的最小值；(3)当Xe(O,e时，证明：e2x-Inx-.X2【提分秘籍】类型特征：(1)特殊技巧；(2)分开为两个函数，各自研究，甚至用上放缩法。【变式演练】(陕西省西安市高新第一中学2021-2022学年高三上学期第一次月考理科数学试题)已知函数/(x)=InX-X<1)讨论函数g(x)=/(>一巴(。=0,4eR)的单调性;X(2)证明：(x)>-+l.【题型八】极值点偏移型不等式证明【典例分析】已知函数/(x)=lnx÷-.X(1)求人。的最小值；(2)若方程/(x)=0有两个根,x2(x1x2)>求证t*+x2>2.【提分秘籍】刷甬耳薮症明示哮天西冗奚顿廨血锭哈；!(1)构造差函数刀(x)=(x)-g(x),根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关