刘蒋巍：2道函数不等式题的命制——听教育专家黄厚忠先生专题报告后而命制.docx
2道函数不等式题的命制听教育专家黄厚忠先生专题报告后而命制文/刘蒋巍2023年4月14日，镇江市教育科学研究院高中部部长、高中数学教研员、镇江市学科带头人、镇江市政协常委、市农工党教育支部主任黄厚忠先生，在“江苏省2023年高中数学新高考研讨活动”中作专题报告。在专家报告环节，黄厚忠先生指出：“基本初等函数(一次函数、二次函数、三次函数、分式函数、绝对值函数为主)、指数函数、对数函数、三角函数，这四种函数相互间组合运算、叠加、复合，衍生出多种新函数，探讨这些新函数的性质。”同时，黄厚忠先生也提到：“有些高考题，命题者出题意图是让学生用导数处理。实际上，也可以用不等式处理。”笔者在学习教育专家黄厚忠先生专题报告后，研读教材，命制了2道函数不等式题。下面将试题命制过程及参考解答呈现给大家。请批评指正。问题1【命制过程】【命题背景】函数/(x)=(l+与在(0,+o)为增函数，且当x>0时，lim(l+-)x=eXXfMX基于此背景，命制如下问题1【问题1已知数列%的通项公式为：an=(l+-),l9"N"n(1)当x>0时，求证：<ln(l+x)<x1+x(2)判断数列勺的单调性，并证明(3)求证：2an<e问题1【参考解答】(1)证明略。1Il1+(1+)+.+。4)1(“La+-r=d+-).(i+-)(严nnnl+n(l)1=(F)用=(l+±)用=4M故，数列”为单调递增数列。注：也可构造函数，运用不等式上<ln(l+x)<x(x>0)证明.1+x(3)由(2)知：cxan9即：2an当X>0时，g(x)=x-ln(l+x),gf(x)=1>O,故g(x)>g(O)=0(x>0)1+x即：当x>()时，ln(l+x)<x;用！替换A得：ln(l+-)<(x>0),XXX即：ln(l+-)x<l(x>0),亦即：(l+-)v<e(x>)XX故，an=(l÷-)n<en综上，2all<e问题2【命制过程】【教材题源】（苏教版必修1教材第134页“思考运用”第7题）已知函数f（»=«,对于任意的和马£。”），试比较八“）；/（为2）与“土产）的大小.【命题背景1】/（x）=x（cosX+sinx）,f,（x）=2vcosx,*（x）=2ex（cosx-sinx）当2<x<包时，cosx<sinx,Jt1Jff,（x）<O;则f（x）在（乙,2）是上凸函数4444当O<X<&或<x<2H*,cos%>sin%,则/"（x）>0,44则在（0,马5红,24）是下凸函数。44取“”段函数图像，则/（"）+/（.）<心上与41-422据此，命制第（1）问。【命题背景2】（上凸函数的“切线不等式”）若/是区间/上的可微上凸函数,则经过点(%,F(XO)(Xoe/)的切线一定在曲线y=/(x)的上方，即成立不等式U)/()+,()(x-x0),Vxe/又若/为严格上凸函数，则上述不等式成立等号的充分必要条件是X=X。.简证：将上述不等式的右边移项到左边，应用拉格朗日中值定理有：/(%)-/(/)一r(与)(为一/)二(八4)一ra。)xX-%)其中g£(与，©.又/是区间/上的可微上凸函数，则在/上为减函数；«A)-(0)o,又x>%,则(/'O-7'(XO)(X-Xo)O即：/(x)/(x0)+/(X0)(X-X0)若/为严格上凸函数，则(在/上严格单调减少。因此，当且仅当X=RO时，等号成立。由上述定理，可知：经过点(工,j)(&(,区)的切线一定在曲线y=(x)的4444_R上方。即：f(x)=ex(cosX+sinx)+(1-)4据此，命制第(2)问。【问题2给出定义：若函数/(x)在区间I上可导，即/(为存在，且导函数(X)在区间I上也可导，则称/(X)在区间I上存在二阶导函数,记尸(X)=CT(X)',若/"(x)<0在区间I上恒成立，则称/(x)在区间I上为上凸函数；若/(X)>0在区间I上恒成立，则称/(幻在区间I上为下凸函数.对于任意工,%2，其中wN*,n29若/(x)在区间I上为上凸函数，则有./(内,+/(W)+-"(Z)'(*+句；若fQ)在区间I上为下凸函虬nn则有/(X)+f*2)+fXt)>/(XI+32+%)nn已知/(x)=ex(cos%+sinx),JL<x1<x2<,则/(小/心土卬填“>”、y或“二”)；22若e*(cosx+sinx)ax+(-)a恒成立，则0的最小值为问题2【参考答案】(1)小/(G)<(J);(2)的最小值为：j22【总结】教师要研究命题的背景试题的“源”，据此，我们可取种种具体的函数，乃至抽象函数，源源不断地产生相应的函数不等式题。2022全国新高考I卷作文提示语：对于初学者而言，应该从本手开始，本手的功夫扎实了，棋力才会提高。一些初学者热衷于追求妙手，而忽视更为常用的本手。本手是基础，妙手是创造。一般来说，对本手理解深刻，才可能出现妙手；否则，难免下出俗手，水平也不易提升。对于教师而言，你未必需要自己下出“妙手”;你需要的是“把握基本，参选变化”o知晓“试题的变化”，会训练学生，让学生练好“本手”,创造出“妙手”!课堂的基本在于“预设”，课堂的创造在于“生成”！
