借助隐零点二次导等工具解决导数问题.docx
借助隐零点，二次导等工具解决导数问题题型一：借助隐零点解决导数问题典型例题例题L已知函数/(x)=e*-InK-1,R.若a=l,求函数f(x)的单调区间；若"x)有且只有2个不同的零点，求”的取值范围.例题2f(x)=xex-a(x+Inx).当=e时，求/(x)的最小值；当=l时，有/(x)2(2)x+l恒成立，求的取值范围.例题3.已知函数/(x)=e'-mnx在x=l处的切线方程为.v=(2e+l)Ab(",0R)求实数，匕的值；当KW时，/(力-2e-x+WVO恒成立，求正整数/的最大值.精练核心考点1 .已知函数"X)=与竺,(0,乃).若f(x)l,求实数的取值范围;(2)若 = 4,且 f () = (w),5，求证：+2>且 - .v2-¾2 .已知函数求f(x)的单调区间和极大值；若/(x)lnx+(6-2)x-x2+l恒成立，求实数。的取值范围3 .已知函数/(x)=e*2+v,eR(1)若函数/()是增函数，求4的取值范围；已知A(N,y)、B(Z,%)(Ov<)为函数f'(x)(f'(x)为函数f(x)的导函数)图象上任意的两点，设直线AB的斜率为3证明：Z>n.题型二：通过二次求导解决导数问题典型例题例题L已知函数/(x)=E+lnx,(oR)(1)若函数/(x)在区间Le上的最小值为3,求实数，的值；(2)若不等式/(x)<在X(l,+)上恒成立，求实数”的取值范围.例题2.已知函数“X)=生吟上空！若函数/在点(e(e)处的切线斜率为0,求。的值.当=l时.设函数Ga)=詈?，求证：y="x)与y=G(x)在l,e上均单调递增;Jx)例题3.已知函数f(x)=xe"+8e?l11+4,(1)若曲线)=/(%)在点(IJ(I)处的切线过原点，求。的值；(2)若在)，=/*)的切线中，存在着过原点的切线，求。的取值范围.精练核心考点1 .已知函数/(X)=X(Jgcosx),r(x)为/(X)的导函数且r(0)=0.求实数。的值，并判断X=O是否为函数/(X)的极值点；确定函数/(X)在区间卜内的极值点个数，并说明理由.2 .已知函数/(x)=x3-Gf+4,a&R.若函数在区间卜2上的最大值为20,求实数的值；(2)若/(x)lnx+3恒成立，求实数的取值范围.33 .设F(X)=(4-+x)e'-2(a>0).(1)当。=2时，求/(x)在0,+)上的最大值；X2若r(ln%)=r(lnx2)=°，则当再取得最小值时，求的值.参考答案例题L【答案】函数/(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(2)(0,1).【详解】(I)(x)=er-,-p,(l)=0,gW=,(.v)=etl-,(x)=el+>。恒成立,XX所以r()在(o,+8)递增.所以当XW(0,1),(x)<0;x(l,+oo),>0所以函数/(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(1,+8).(2),(x)=aet-1-p当。=1时，由(D知f(x)有且只有一个零点.当40时，,(x)=aer-'-<0,则f(x)在区间(0,y)上单调递减，所以了(力至多有一个零点.当">时，=1<0,/,(l)=a-l>0,又因为y='()的图象在区间(0，+8)上连续不间断，所以r°fLl,使得r(x°)=0,即加3-，=0.a)XO令g(x)=e-J,(x)=erl+>>所以/'(x)=g(x)在区间(O,+")上单调递增，所以当XW(O,/)时，z(x)<,()=0,函数力单调递减，当X«天,X)时,r()>,()=o,函数/(X)单调递增.所以/(r)min=/(XO)=e"T-h)Xo7TnXOT>17=。，XO所以/(x)无零点.令(X)=InX-(X-1),当x>l时，,(x)=-l<0,所以MX)在区间1,÷)上单调递减，所以VX>1,wA(x)<A(I)=O,所以 InX < x-l,则 e*> .当O<a<l时，,(l)=a-l<O,又因为y=f'()的图象在区间(O,Xo)上连续不间断,所以出，使得/(与)=0,即e"一一 = 0令g(x)=e*_,g,(x)=er,+->0所以r(x)=g(x)在区间(O,+")上单调递增，所以当XW(O,/)时，(x)<f()=O,函数F(X)单调递减,当x(o,k>o)时，(x)>()=O,函数/(x)单调递增.所以f(")min=)=优3Tnxo-l='-ln/-l<l-l=().4令y>i'"'-2111-1>axl-2(-l)-l=-2×-+l>0,又因为函数/(力在区间(0,为)上单调递减，在区间(吃,物)上单调递增，且y=()的图象连续不间断，g<l<<e<*,f(5)=+"l>0,所以/(X)有且只有2个零点.综上，若函数"x)有且只有2个零点，则实数。的取值范围是(0,1).例题2.【答案】0(2)b<2【详解】(1)由题意知/(x)=*r-e(x+Inx),xe(0,+oo),所以/(X)=(X+1)卜一：)，易见P(X)=廿一!在x(0,+)上递增，且p(l)=0,所以当工£(0,1)时，”(x)v,即1(X)V0,/(x)在(0,1)上单调递减,当x(l,+)时，P(X)>0,即/(x)>0,f(x)在(LM)上单调递增，故f(x)f(l)=O,所以/(x)的最小值为0.(2)由已知泗"-(+111力“力一2)%+1在%(0,4<30)上恒成立,即AeX+x-Inx-1加在XW(O,÷)上恒成立,也即一+AlnxTNb在XC(O,欣)上恒成立.令G)=史出产1,x(0,-o),所以U(X)=1%；InL令x)=V+Inx,则P(X)是(0,+)上的增函数,又因为3(：):/一一<0,(l)=e>0,所以。(同在区间(0,1)上存在唯一的零点餐,即e%+Inx0=O,由片e"+In/=0得 M=-g=Ljlj"哈XOXoXoI)乂由函数夕(H=AeX在区间(0,e)上单调递增，卜式等价于q(xo)=q(lnj11%1所以=ln=TnX0,e"=,当x(0,/)时，(x)<0,MX)单调递减，当Xe(Xo,+co)时，r()>O,f(x)单调递增，所以'(x)min=tM=AOe"+斤一./=1+.+/-1=2,xo所以力2例题3.【答案】=-1,b=e+l(2)3【详解】(1)定义域为(。*),r()=(z)*,(l)=2e-=2e+l/(l)=2e+l-=e解得=-l,b=e+.(2)由题意有(/一2)炉+111工一工+相0恒成立，即mv(-x+2)e'-InX+%恒成立(x)=(-x+2)ev-lnx+x,Xe,g，(X)=(IT)卜一).当xl时，l-x0,2令MX)=e、一L其中x；，则(x)=e*+9>O所以函数人(力=-：在Xe上单调递增因为«；)=6-2<0,A(l)=e-l>O,所以存在唯Fe(g,1),使得MXO)=小一，=0,即小。=,可得Xo=Tn/.Z)当g<xv/时，g<x)>O,此时函数g(x)单调递减，当<xvl时，g<x)v,此时函数g(x)单调递增.2,s(x)min=g(%o)=(-Xo+2)e%-ln%o+Xo=(一七+2)一+2/=-1+2x0,XOXo21y=-l+-+2x=2(x+-)-l,由对勾函数性质知函数在Xt(0,1)递减，XX/£(；1)，.g(0)=-l+j+2%(3,4)当m3时，不等式zwv(-x+2)e*-InX+x对任意XW恒成立，.正整数机的最大值是3.精练核心考点1 .【答案】J(2)证明见解析【详解】(1)解法一：当0时,由ejf>0,且XW(U)时SinX>0,故/(X)Wl成立;当。0时，即为/(x)maG由广(力=。-,令r()=o,得X=4，当X时，附x)>0;当xe(%)时，(x)<O:所以/(x)在(0,单调递增，在(；,，单调递减，所以幻2=d5卜言1,即o<心0j综上，a2e7-解法二：/(x)=W竺1,由e，>o,且X(O,乃)时SinX>0,所以,min设g()=J则小)(”。吟令/(X)=。，得X=?snxsinX4当xw1°'()时，g'Cv)<°:当xe?,乃)时，g'(x)>O:所以g(x)在(0,?)单调递减，在“单调递增，所以g(%)min=g(2)解法一：/(力=誓J，二”F.当可呜"时，小)<0；0,()单调递增，在万J单调递减，故0<%<?<公先证1一芭VX2,由(<_内，故即证/(X2)</(一"，由f()=f(w),故即证/(%)</心吟，所以-x2现证2则 g)=y从而 X1 + X2 > .-4( SinX-COSX)-TW=上单调递减，所以MX)>力O<0'< sinx2,即证乃一X2< sin(-x2),x2 设，二万一，故即证4<sin,即证e'sin->Oe设 g(f) = e'sinf TJ w则，(，)=©'($出/+8§/)-1,设p(f)=e'(sin/+COSf)-1,则p'(f)=2e'cosf,当时，p'(r)>O:当TfS引时，pH。，所以p()e(o,j)单调递增，在(5,当)单调递减,又P(O)=0,目=滔-1>0,(当卜-1<0,所以九停裔，使得p(fo)=O,故g(f)在(O/o)单调递增，在，,弓)单调递减,3月e3-34>0*32缶丁一3乃=>44所以g(f)>O,即SSimT>0,故<SinX2.TT解法二：证明耳-<x2的方法同解法一./(力坐J，”*时,")=oj,()=r,cee则/(可在X=万处的切线方程为y=(x-万),下面证W(X,-兀)<(,).ee设r(x)=e(x一万万)，、-44(COSX-SinX)=1=一41cosx-sinx+ee、几j(1COSX-SinX)lll,、8cosx设MX)=+->则(X)=丁,当了S时，«。>0;当xe(S"时，4)<0,所以/(另在(夕9上单调递增，在(M上单调递减,/图闺=4WO。，e2>所以叫使得/(o)=0,故r(x)在单调递减，在(公,1)单调递增，又由=*鸣%泮Se4r(x)<O,即二(一%)<4寸产2,所以"?<sinx,.ee2e22.【答案】/(x)的单调增区间为(FT)和(0,
