专题23三角函数的定义及诱导公式（3知识点3题型3考法）（解析版）.docx

专题23：三角函数的定义及诱导公式(3知识点+3题型+3考法)知近三角函数的定义,W启1'刖枢里怀叫用G点P的纵.义(1)杆微角的二角函数定义点P的横三角函数 的定义及 诱导公式题型一：利用三角函数的定义求三角函数值题型二:三角函数值的符号判定题型三:诱导公式的应用养之比叫角的正切函数，记作tan =£.它们都是以角为自变量，以考法一：给角求值、化简求值考法二:给值(或式)求值考法三：利用诱导公式证明恒等式标的比值为函数值的函数.(2)将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,通常将它们记为：正弦函数y=3inx,xR;余弦函数y=cosx,xR;正切函数y=tanx,xk(kZ).(3)设。是一个任意角，角Q的终边任意一点尸(X,)，那么设r=y2+y2,则Sina=上ICOSa=tan若已知角终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论.知识点二：三角函数值在各象限的符号(1)设”是一个任意角，角”的终边任意一点尸(x,y),那么设r=(2+)户,则Silla=2,CoSa=tan=?.通过正弦、余弦和正切的计算公式可以确定符号rrX口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).知识点三：诱导公式公式终边关系图示公式公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等.sin(a+Zr2)=sina>cos(a÷A,2)=cosa,其中攵tan(a+k2元)=tan,公式二角7r+与角的终边关于原点对称5w(÷)=-5wCOS(r+a)=cosatan(+(i)=tafia公式三角一(X与角的终边关于，轴对称建sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-a)-tana公式四角兀一口与角的终边关于、轴对称-sin(-a)sinaCoS(Tr-)=cose,tan(-(j)=-tana公式五筑SyA(LO)sin(-)=cosacos(y-a)=sina公式六4第Sinq+a)=cosacos(y+a)=-sma记忆口诀：可概括为"奇变偶不变，符号看象限：“偶"当A0(AZ)中k取偶数时(-±,±,i«),三角函数名不变，符号由原三角函数角所在象限决定;“奇”当口(AZ)中k取奇数时(.,z),三角函数名改变，符号由原三角函数角所在象限决定；2±-+a22题型一：利用三角函数的定义求三角函数值解题思路：设是一个任意角，角的终边任意一点P(,y),那么设r=J7”，则Sina=2；CoSa=-；tan='若已知角终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论.rr×例L已知产(1,加)是角。的终边上一点，tan=-2,则Sin。=()A.一走B.一在CTD.空5555【答案】A【分析】根据三角函数的定义求出加的值，再根据三角函数的定义进行求值即可.【详解】由三角函数的定义知：tan。=m=-2,所以sin=述.55故选：A.例2.如果角。的终边过点P(2sin60o,-2cos60。)，则COSa=()A.-B.yC.-D.2222【答案】D【分析】先算点P坐标，然后由三角函数定义可得.【详解】由题可得P(G,T),因为/=,3+1=2所以cosa=r2故选：D例3.已知角。的顶点为原点，起始边为X轴非负半轴，若点P(4,y)是角。终边上一点，且Sine=-竽，则y=()A. 8B. 8C. 6D. -6【答案】B【分析】利用三角函数的定义可得出关于7的等式，即可解出y的值.I-MWJ因为点尸(4,y)是角。终边上一点，旦Sine=-差由：角函数的定义可得Sin夕257+475,则y<0,解得y = -8.故选：B.变式训练4 .若角的终边经过点尸(-3,4),则Sina+tana等于()8 A.158B.15C.卫15D.1115【答案】A【分析】根据三角函数定义可得.【详解】因为角a的终边经过点2-3,4),则/=(-3)2+4)=5,所以Sina,tan a = 53所以Sina+tana=gg=-得故选：AD.j.25 ±55 .已知角。的终边落在直线y=2x上，则Sina的值为()r255【答案】D【分析】根据三角函数得定义求解即可得出结论.【详解】设直线V=2x上任意一点尸的坐标为(叽2加)(w0)t则Cp=JW2+(2m)2二石|向(O为坐标原点),y2m2m根据正弦函数的定义得：Sma=谦=7丽,用>O时，Sina=;/<O时，Sina=55所以选项D正确，选项A,B,C错误,故选：D.6 .已知角的终边经过点P(T,-6),且COSa=4,则一+13sin a tana2【答案】J【分析】由题意结合三角函数的定义求出P(r,-6)点坐标，再求出Sina,tana即可求解【详解】因为角。的终边经过点P(T-6),且COSa=-得，所以3"；PW解得X=；或=-3，22因为点尸的纵坐标为-6,且CoSa=<0,13所以角a的终边落在第三象限，所以即尸(一宗-6),的212.y12所以Slna=,tana=一，13X51.rxlI11352Sinatana121232故答案为：-7.已知角a的终边经过点P(-4m,3m)(mA0),贝!2Sina+cosa的值可能为()3322A.-B.C.-D.5555【答案】CD【分析】根据三角函数的概念求解Sina,cosa,即可得2sina+ssa的值.J( 一 4* + (3mj|5 年COSa =a(-4w)2 + (3w)2I5wI【详解】已知角a的终边经过点0)343(4则当用0时，sina=-,cosa=-,此时2sina+cosa=当机0时，sina=cosa=,此时2sina+cosa=2x1-之+22所以2sina+cosa的值可能为或-不.故选：CD.题型二：三角函数值的符号判定解题思路：设a是一个任意角，角a的终边任意一点P(v,J),那么设r=Jf+y2,则Sina=上；CoSa=孑；tana=E.通过正弦、余弦和正切的计算公式可以确定符号rrX口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦（如图）.要考查两类题：第一类通过角所在象限确定三角函数的符号；第二类：通过三角函数的符号来确定角所在象限。例1.已知sin6<0,tanO<O,则角。的终边位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系，即可求解.【详解】由SinOvO,tan6<O,根据三角函数的符号与角的象限间的关系，可得角。的终边位于第四象限.故选：D.例2.“sinO+tan"O"是"6为第一或第三象限角”的（）A.充分而不必要条件B,必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据同角三角函数关系化简，根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件即可得解.【详解】因为Sine+tan6=Sln”（cos,+1）>。时,则由然0,COSe所以。为第一或第三象限角，反之，当。为第一或第三象限角时，tan6>>0,所以sine+tan6>0,综上，"。+121100是“6为第一或第三象限角的充分必要条件，故选：C例3.若tana>0,则（）A.Sina>0B.CoSa>0C.sin2a>0D.cos2a>0【答案】C【分析】根据tana>0,得到。的终边在第象限或第三象限讨论求解.【详解】解：由tana>0知。的终边在第一象限或第二象限，当a的终边在第象限时，Sina>0,COSa>0,sin2a=2sinacosa>0,r2.2cos2a-sin2a1-tan2a彼太的，cos2a=cosa-sina=；=；-,符号不确定：cosa+sina1+tana当a的终边在第三象限时，Sina<0,CoSa<0,sin2a=2sinacosa>0,.2.2cos2a-sin2a1-tan2a父由rcos2a=cosa-sina=,付节不确AL；COS-a+sina1+tana故选：C变式训练4 .已知COSetane<0,吗<0,则角。的终边在（）tanA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【分析】根据所给条件得到SineV0、tan。，CoSe<0,即可判断.【详解】因为cosOtan。<0,即cos0=sine<0,COSe又sin£<0,所以tar。>0,gJtan=>o,所以COSe<O,tancos所以角。的终边在第三象限.故选：C5 .已知。为第二象限角，则()A.CoSa-Sina>0B.sincr+cosa>OC.sin2«<OD.Sinatana>O【答案】C【分析】根据第二象限角的三角函数值的正负分别判断各选项.【详解】因为为第二象限角，所以Sina>0,CoSa<0,tana<0,则sin2=2sincos<0,sa-sina<0,Sinatana<0,而Sin+cos的取值不确定.故选：C.C"ISinXlIcosXIItanxl.,l幺"口目,、6 .若J-+l=-1,则X可能在的象限是()SinXcos%tan%A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】BCD【分析】对角X的终边的位置进行分类讨论，求出则+叵对+崛的值，即可得出结论.sinxCOSxtanX【详解】当X是第一象限角时，则+叵对+回1=3。-1,故X一定不是第一象限角；sinxCOSxtanX当X是笫二象限角时，陛竺L凶+国=ITT=T,即X可以是第二象限角；sinxCosxtanX当X是第三象限角时，则+也对+包即X可以是第三象限角；sinXcosXtan%当X是第四象限角时，则+座4+包1=-1+1一1=-1,即X可以是第四象限角.sinXcosXtanx故选：BCD.题型三：诱导公式的应用考法一：给角求值、化简求值解题思路：利用诱导公式公式求任意角三角函数值的步躲(1) “负化正”：用公式一或三来转化.(2) “大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3) “小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4) “锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.例1.2022A.BB.-C.yD.-2222【答案】B【分析】直接利用诱导公式计算得到答