与对数函数的图像与性质相关的应用技巧（解析版）.docx
与对数函数的图像与性质相关的应用技巧对数函数作为基本初等函数之一，在高考命题中经常涉及到，因为这部分和初中的学生知识不衔接，初中完全没有涉及到这部分内容，而后面的学习内容和这部分关系不大，因而容易被遗忘，所以一些规律性知识，需要要求学生积累和背诵，同时需要加强重点题型、常规题型、热点题型的强化训练，本部分从对数式的运算、对数函数的图象与性质、对数函数的性质与运用这几个方面进行探讨。题型一对数式的运算例1(1)(2023上天津蓟州第一中学校考)Iog932Iog6427+Iog92Iog427=()【答案】C【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得.之昱但IgT Ig 26 Ig32 Ig 22【解析1Iog932.Iog6427÷Iog92log427=lg×舒翳蜜=维X些+=；+(=1，故选c。21g361g22Ig321g248g.(2-x)(x<1)(2)(2023四川宜宾统考一模)设函数/(力=5,则"-2)+(bg=()3x+,(xl)A. 8B. 9C. 22D. 26【答案】C【分析】根据对数的运算性质分别计算出/(-2),/(bg38)即可求解.【解析】/(-2)=监2-(-2)=-2,因为晦8>1,所以/(38)=3嘀卬=3*8+喝3=3嘀24=24,所以2/(-2)+/(log38)=-2+24=22.故选C.g1216+ 乃 8 + 10g2-10g4 y：(3)(2023上云南大理下关第一中学校考期中)计算:已知/+/=3,求止二的值【解析】p+0÷log2-log227«g,.2116(2÷-÷3-,0g=JI+i+iog：因为j+T=3，所以a+""=a1+a1-2=7,所以二十。"=,十。-】)-一？=47,所以上W=JX/IdLa2+。-2-1=46a+aa+a【规律总结】解决对数运算问题的常用方法将真数化为底数的指数幕的形式进行化简.将同底对数的和、差、倍合并.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.【跟踪训练】lg(3-x),(x0)1 .(2023上河南南阳高三校考阶段练习)设函数/(X)=2,则/(20)=()/(x-3)+l,(x>0)A.3B.4C.5D.logI172【答案】C【解析】由题意得/(20)=07)+l=(14)+2=(T)+7=bgj(3-(-l)+7=-2+7=5,故选c。22 .(多选题)(2023上辽宁大连高三育明高中校考期中)已知2wf=3"=6,则机、满足的关系是()A.+=1B.nn>4mnC.(h-1)2+(h-1)2>2D.m2+n2<8【答案】ABC【分析】利用指数式与对数式的互化可得出M=Iog26,"=bg36,利用换底公式结合对数的运算性质可判断A选项：利用基本不等式可判断BCD选项.【解析】因为2加=3"=6，则机=log26,n=Iog36,对于A选项，-+-=Iog62+Iog63=Iog66=I,A对；mn112对于B选项，由A选项可知，1=一+一>7ii，贝>2,即B对；对于C选项，w-l=log26-log22=log23,n-l=Iog56-Iog33=Iog32,所以，(m-l)2+(-l)2=(log32)2+(log23)2>21o2log23=2,C对;In3In2对于D选项，m2+w2>Imn>8，D错：故选ABC.3. (2023上安徽合肥第十中学校联考期中)计算1+24+嗝3=.【答案】50【解析】"+2,啕3=2+2、2*3=2+16x3=50-4. itW271-025+log3<f÷lg25+lg4-7,0g72.【解析】!M=3-0.5+4-l+log33+21g5+21g2-2=5.5+2(lg5×lg2)-2=6.25题型二对数函数的图象及应用例2(1)(2023上山东潍坊统考)已知函数V=l°g广(>Q">°)图象如图所示，则二次函数y=f+加+c的图象顶点的横坐标的取值范围为()A.(1,2)B,CJ)D.(-2,T)【答案】B【分析】令，=1,则l<g<2,则得到顶点横坐标范围.D【解析】令尸bgr=L其中>O,b>O,则“:，由图知1<区<2,*bb则y=加+Z>x+c的顶点横坐标为-e(,-;),故选B.(2)(2024山东济南高一开学考试)当。>1时，在同一平面直角坐标系中，函数歹与y=k¾,的图【答案】A【分析】由可知0<<l,根据指数函数和对数函数图象的单调性即可判断得结果.【解析】依题意可将指数函数J=化为N=仕Y，由。>1可知O<L1;由指数函数图象性质可得尸Aj为单调递减，且过定点(0,1),即可排除BC,由对数函数图象性质可得y=k¾/为单调递增，旦过定点(1,0),排除D,故选A。(3)(2023下山东烟台统考期末)函数/(x)=Ink-Il-In卜+1|的部分图象大致为()【答案】A【分析】先判断函数/(x)的奇偶性，可排除CD选项；进而取特殊值X=；和X=-T排除B选项，求解.【解析】由+>o'得±,所以函数“力的定义域为(Y>,)u(TI)D(I，m)，关于原点对称，又/(-x)=ln-x-l-ln-x+l=lnx+l-lnx-l=-M,所以函数/为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD选项；当x=T时，函数/'(X)=Ing-InT=Ingvlnl=O,当彳=一；时，函数/(x)=ln-Inl-=ln3>lnl=0,故排除B选项.故选A.【规律总结】对数函数图象的识别及应用方法在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【跟踪训练】【解析】方法一：因为一>0,g(x+2).(x-2)<0,所以2<x<2,所以函数/(x)=H0g4l的定义域为(-2,2),关于原点对称，又/(-)=(-幻2氏4公=-封，所以函数/(x)是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C；当x(0,2)时，1>1,即log,若>0,因此/(x)>0,故排除A.故选:D.方法二：由方法一，知函数/(力是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C；又/(l)=glog23>0,所以排除A.故选D.【分析】首先判断函数为非奇非偶函数，再利用特殊值，即可利用排除法判断.【解析】函数/CO=吟U定义域为xx0,/(一)=*(1匕=见*,所以/=叫是非奇非偶函数，排除A、B,函数/(%)=吗的零点是土e，当X=e时,ee71/e=2<L，排除D.故选Cee7 .(多选题)(2023河南信阳统考模拟预测)函数/(x)=logjx+l(<<l)的大致图象不可能为()【答案】BCD【分析】易得函数为偶函数，再结合对数函数的性质即可得解.【解析】函数/(x)=logx+l(0<<l)的定义域为卜IXW0,因为/(T)=Iog(JXI+l=(x),所以函数/(力为偶函数，当Xw(0,+)时，/)=log0x+l(0<<l)为减函数，且过定点(L0),故函数/(X)=logjx+l(<a<l)的大致图象不可能为BCD选项.故选BCD.8 .(多选题)(2023上辽宁高三校联考开学考试)已知优函数=1。&(一%)与丁="的图像可能是【分析】首先由优=VX得出=1,再分类讨论。和b的取值范围，根据指数函数和幕函数的图像得答案.b【解析】因为"=Z"即优=(',所以。=:,当时，则0<b<l,指数函数y=b”在R上单调递减,且过点(0,1)；对数函数y=k在(0,+8)单调递增且过点(1,0),将y=k¾z的图像关于y轴对称得到y=log"(r)的图像，则y=bg,()在(-8,0)上单调递减且过点(-1,0),故A符合题意；当0<。<1时，b>t同理可得，指数函数y=Z在R上单调递增，且过点(0,1),V=bg“(-x)在(-8,0)上单调递增且过点(-1,0),故B符合题意；故选AB.题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小例3(1)(2023上陕西榆林高三校考阶段练习设a=sin5,b=e叫C=IOgOQ5,则。也。的大小关系是()A. a>b>cC. b>c> aB.a>c>bD.c>a>b【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数性质利用1比较仇C,再由正弦函数的性质比较。与O比较.【解析】因为b=e°'>e0=1，O=Iog04i<=Iog040.5<Iog040.4=1,而<5<2,sin5<0,所以"c<b,故选C(2) (2023上北京顺义校考)己知=bgs2,b=og43tC=Sin二，比较,b,C的大小为()6A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c【答案】C【分析】利用函数y=lo&x和y=iog的单调性，分别比较。、分与C的大小关系即可.【解析】因为函数V=IogsX在(0,+8)上单调递增，所以。=1og52<log56=:,又C=SinB=:，所以<C;又因为函数y=l0g4x在(0,+8)上单调递增，所以l0g43>l0g42=J,所以6>c.622综上b>c>a.故选C(3) (2023上陕西西安高三长安一中校考期中)已知奇函数/O)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(I0g52),6=g(lne),c=g(log83),则,Ac的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a【答案】A【分析】由己知得g(%)在(0,+8)上单调递增，判断k>gs2,In忘IogQ的大小关系得。也C的大小关系.【解析】由/(x)为奇函数知g(x)=xf(x)/W在R上单调递增且/(0)=0,所以当>0时，/数)>0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增，且g()>o.又=g(logs2),>=g(lne)=g(),c=g(logs3),因为21og$2=log$4<l,所以IogsZvg,因为6Iog83=6Iog2,3=6×loS23=2loSz3=loS?9>loSz8=3»所以logfi3>g,所以0<l0g52<g<嘀3,所以a<b<c【跟踪训练】9. (2023上湖南长沙高一雅礼中学校考期中)若q=2023°2,>=Iog022023,c=O.22023,贝J()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.Oa>b【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小.【解析】因为=2023°2>2023°=1，所以。>1,S=Iog022023<Iog021=0,所以6<0,因c=O.22o23<O,2o=1,且c=O223>o,所以0<c<1,所以0>c>b,故选C.10. (2023上湖南长沙高三雅礼中学校考)已知bfc=.则mb,C的大小关系是In43()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c【答案】B
