不动点解特殊方程（学生版）.docx
不动点解特殊方程利用不动点法解特殊方程任何一个方程的求解都可以化为求某个函数的不动点问题.因为，任一方程总可以写成g(x)=O的形式这里g(x)是X的函数将g(x)=O变为等式g(x)+x=x记/(x)=g(x)+x,就能得到与g(x)=O的同解方程G)=X,从而将求g()=o的解变成求函数/(x)不动点的问题了.在解方程之前，我们往往先要了解方程解的情况,如果方程根本就无解，那么研究它的解法是没有意义的.另一方面，有些实际和理论问题的解决，只要求出方程的近似解，甚至并不需要对方程进行具体求解，而只要知道方程的解是否存在.举一个颇有影响的例子：公元1799年德国数学家高斯(Gauss)证明了'在复数范围内，n次代数方程：+尸+/_2产2+.+印+/=0至少有一个根”.即著名代数基本定理.利用不动点理论,我们可以把方程8(力=父+。“国"+可_2亡-2+牛+%=0的求根问题化为求函数力=g(x)+.r的不动点问题，由于方程g(x)=0的根不可能超越复平面的某个半径很大的圆域,且函数g(x)显然是连续的.因此，在这个大圆域内运用布劳韦尔(Brouwer)不动点理论，知道至少存在一个%,使/5)=不，即g(0)+0=0,也就是说方程g(力=O至少有一个根.可是，当时证明这个定理是艰辛的.也许上述这个例子较抽象.我们不妨来看方程x=sinLcos三(*)62要判定它是否有解，用常规方法是难以奏效的.事实上，判定方程(*)是否有解，就是判定/(x)=Si"CQSW是否存在不动点.O2显然/(X)在X«0，1时有意义，且工40,1时，OVS加丝工1,0MeSW1.故620(x)l,又因为当工目()，1时正、余弦函数均为连续函数.所以也连续，由布劳韦尔不动点理论可知/U)必有不动点，即方程(*)必有解.对于初等数学中的一类特殊的方程，下面我们在实数范围内，研究不动点与这类方程的求解问题.定理I.若函数.y=()的定义域为2,值域为。一且qu2,则在2上，函数)=力的不动点也是其n次选代函数/()的不动点,即方程/(X)=X的解也是方程/(X)=X的解(wN).证明：(1)当=2时，设函数/(X)的不动点为,BP()=.因为quo*,所以f(%)=f(%)=(Ai).所以.产(XO)=毛成立.(2)设当=A时，命题成立.即/叫)=%.则当31时,/m()=w()=()=.所以当=z+l时命题也成立，综上，可知命题对WN均成立.例1.求方程25f+io/25+6=o的实数根.解：25x=25x4+10x2+6所以x=d+/+嘏=(+gJ+g(*)令/(x)=f+(,显然。uO,所以/(”的不动点就是/(力的不动点.即，9+g=的实根就是方程(*)的实根.解得X=昔言.所以原方程的实根为g±*.2I2I2例2.解方程X+：=+48I8J44解：令v=+",则y="j+：+设/(y)=(y+j,贝U原方程为")(y)=y,因为y=(y+j的解为)，=；.所以/(y)=y的解亦为尸：.所以原方程的解为X=丁一:=:.OO例3.解方程=J2+y2+也42+x解：令Fa)=77,则原方程为/4/)7,对于/(力，易知qu&.可知/("的不动点就是/M(x)的不动点.所以解方程77=,得苍=2；S=T(舍去)因而原方程的解为X=2.例4.解方程(f-3x+2)2-3(2-3x+2)+2X=O解：原方程可化为X=(X2-3彳+2)-3(x2-3x+2)+2令/(x)=f-3x-2,故原方程为了=X(x)=2-3x-2=x,解得=2±所以#-3x-2)-3(x2-3x+2)+2-X=(x2-4x-2)Q(x)=0.因为Qa)=X2-2r,所以X=。或x=2.故原方程有四个实根，SP2±2,0,2.定理2.若方程/(x)=(x)的解集为N,，(力的不动点集为M,则M=N.证明：若无不动点，则显然有MtN.若小是的任一不动点，XOcM,K!l()=因为/,()=r,()=/()所以X°是方程f(x)=fT(x)的解.即/eN.综上知有MUN.事实上，定理2说明互为反函数的两函数图像的交点未必一定在直线V=X上，如：函数y=(x)=-(xR)与其反函数y=f-l(x)=M(XWR)的图像的三个交点(0,0),(-1,1),(1,-1),其中只有点(0,0)在直线y=.定理3.若函数V=/(x)在定义域内单调递增,则方程/(x)=(x)的解是函数/("的不动点.证明：若方程/("=/(x)无解，则由定理2可知，“力无不动点.若方程W=T(x)有解,设凡是它的任一解，则玉)=尸U).若XoV/(不)，因/U)在定义域内单调递增，则/k)</)=/广仇)=小，这与假设矛盾.同理，%>f(xo)也不成立，故/(%)=%,即凡为外力不动点.反之，若函数“x)的不动点为小，由定理2可知，.%是方程/(力=尸(力的解.例5.已知函数"I)=1+-2(x-2).解方程/(x)=L(X).解:因为/W)="/+'-,当-2时Ja)单调递增,故只需解方程12+=,解得x=±2.所以方程f(x)=(x)的解为x=±2.我们常把一些方程的求解问题化为不动点问题来考虑，有些方程还可用逐步通近来解，它是代数方程及计算数学中的重要方法，其主要思想是：若/U)是实函数，要解方程/W=O,可将f(x)=O化为等价方程g(6=x(即求g(x)的不动点).由于该不动点不易求出，因此，我们考虑g(x)的递归数列%=g(4)(=0，l，2).如果数列初始值%=。，且数列4有极限，即hmq=。，当g(x)连续时，A=Ii叫,i=Iimg(q)=x(imj=g(%),-Xr-1rf/所以M)=。，即方程"x)=()的实根为%，其中/称为“x)=0的n次近似根.例6.求方程V-1=O的近似根.解：原方程可化为d=V+l,两边同除/得=+3.x令g()=+*因为g(x)的不动点不易求出，考虑其递归数列<*=1+5=OJ2)设f(%)=v-d,因为“)=(,/0-5)=10.故取初始值4=15.则a=1+-!-I.44444,=l+!71.479301.521.4444426。145698,a41.47108,¾1.46209,a6l.46779,-当时，凡1.46560，即I吧4=46560=所以gW=x0,故方程Xjx2T=O的一个近似根为KO=L46560必须指出：若将方程化为F=VT,两边同除X得X=f-L,令g()=2-J.,XX则其通归数列*=d-十5=042,)当。=1.5时,q1.58333,21.87537,a32.98377,a48.56772>.我们发现(读者可在计算机上进行计算)，当n越来越大时，凡不趋于任何一个常数.用数学语言说就是，数列6是一个发散数列，这样就求不出原方程的根了.因此，如何构造递归数列，构造的递归数列是否有极限是关键的.【强化训练】1 .解方程arctanarctanarctanx=x.2 .解方程X=(X2-2)2-2.3 .g(x)=x3+xf解方程/()二尸(x).O4 .求方程V+x-I=O的正的近似根(精确到10一)
