7.1角与弧度（八大题型）.docx

7.1角与弧度课程标准学习目标(1)知道弧度制是角的另外一种度量制，能说出以半径为基准度量角，知道度量单位即1弧度角是如何定义的，能画出1弧度的角，了解这样定义的合理性：能说出两种度量制之间的换算关系是180°=m*ad,并能准确进行角的两种度量之间相互转化；了解其中蕴含的数形结合的数学思想方法，和数学知识之间的联系性；(2)能感受到引入弧度制的意义，比如，可以使弧长公式和扇形面积公式变得比较简洁.(1)掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.(2)熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.(3)理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.(4)掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式.知识点Ol任意角的概念1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角：按逆时针方向旋转所形成的角.负角：按顺时针方向旋转所形成的角.零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角.知识点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2、终边相同的角、象限角终边相同的角为尸£0尸=2h+,k三Z角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.知识点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差360。的整数倍.3、常用的象限角角的终边所在位置角的集合X轴正半轴=A360ceZ)，轴正半轴=×360o+90o,ZX轴负半轴«=×360o+180o,&Zy轴负半轴=×360o+270o,keZX轴a=A:xl80o,攵Z)，轴a=Ar×180o+90o,Z坐标轴=×90o,&wZ是第一象限角，所以(2br<<2Qr+gr(AZ)a是第二象限角，所以2kzr+vv2Qr+)(AwZ)a是第三象限角，所以a2乃+;TVa<2kr+(AZ)a是第四象限角，所以a2Ar+r<<2k+2(kZ)j【即学即练1】(2023高一校考课时练习)已知集合A=O0为锐角,8=例。为小于90。的角,C=6为第一象限角,。=例。为小于90。的正角,则下列等式中成立的是()A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D【答案】D【解析】因为A=例。为锐角=e00<e<90°,。=6|6为小于90。的正角=付0。<6<90。,对于集合5,小于90。的角包括零角与负角，对于集合C，C=例夕为第一象限角=W360”<<90'+360",攵z,所以A二。，故选：D知识点02弧度制1、弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作Irad,或1弧度，或1(单位可以省略不写).2、角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：180°=万阳dlrat=f-157.30o=57o18,1°=0.01745(rad)1803、弧长公式：="(是圆心角的弧度数),扇形面积公式：STwIa|/.知识点诠释:(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-2万等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角。的弧度数的绝对值是：=i,其中，/是圆心角所对的弧长，r是半径.【即学即练2】(2023全国高一专题练习)把下列角度与弧度进行互化.(1)72°；(2)-300。；(3)2；(5)780°(6)-15600(7)67.5°(8)-y(10)4【解析】(I)72o=72o-=(6)1oU5(7)-1560o=-1560o-=-1800367.5°=67.5°=18008(8)1010Tl =Jl -600°.题型一：角的概念例1.（2023新疆塔城高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（）A.锐角是第一象限角B.终边相等的角必相等C.小于90的角一定在第一象限D.第二象限角必大于第一象限角【答案】A【解析】锐角是指大于。小于90的角，故其在第一象限，即A正确；选项B.终边相等的角必相等，两角可以相差360整数倍，故错误；选项C.小于90的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；选项D.根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误.故选：A例2.（2023高一校考课时练习）下列各命题正确的是（）A.第一象限角都是锐角B.三角形的内角必是第一，二象限角C.不相等的角终边必不相同D.相等的角终边相同【答案】D【解析】390。为第一象限角，显然不是锐角，A错误；90。为轴线角，不属于第一，二象限角，B错误：30。与390。的终边相同，C错误；两角相等终边相同，D正确.故选：D例3.（2023高一课时练习）射线OA绕端点。逆时针旋转120。到达03位置，由。8位置绕端点O旋转到达OC位置，得NAOC=-150。，则射线OB旋转的方向与角度分别为（）A.逆时针，270oB.顺时针，270°C.逆时针，30oD.顺时针，30°【答案】B【解析】由题意可得/403=120。，设NBOC=6,则NAoC=NAOB+NBOC=1200+6=T50°,解得6=-270。，所以射线。3绕端点。顺时针旋转270°,故选：B变式L（2023高一课时练习）下列说法正确的有几个（）（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于0。小于90。的角；A.0个B.1个C2个D.3个【答案】C【解析】第一象限角的集合为。|0。+人360。<。<90。+h360。,22,锐角是大于0。小于90。的角，锐角的集合为a0°<<900,所以（1）错误，（2）正确，（3）正确，故选：C.变式2.（2023高一课时练习）时间经过1小时50分钟，则分针转过的角度是（）A.-660B.140C.-140D.660【答案】A【解析】50÷60=j,则360。X3=300。，66因为时针都是顺时针旋转，所以时间经过1小时50分钟，分针转过的角度是Y60。.故选：A变式3.（2023高一课时练习）手表走过2小时，时针转过的角度为（）A.60oB.60oC.30oD.30°【答案】B【解析】时针每小时转过的角度为30。，由于时针顺时针旋转，因此时针转过的角度为负数.所以手表走过2小时，时针转过的角度为-30o2=YO0.故选：B【方法技巧与总结】理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.题型二：终边相同的角的表示例4.（2023全国高一课堂例题）在区间便,360。）内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角.-80°（2）1600°；(3)-819o36".【解析】(1)因为-80。=280。-360。，所以在区间0。,360°)内，与-80°角终边相同的角是280。，它是第四象限角.(2)S1600o=160o+4×360o,所以在区间360。)内，与1600。角终边相同的角是160。，它是第二象限角.(3)因为-819°36'=260o24'-3x360°,所以在区间0°,360°)内，与-819。36'角终边相同的角是260。24',它是第三象限角.例5.(2023全国高一随堂练习)写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-7206<360的元素厂写出来:(1)60;(2)-45;(3)1303181;(4)-225.【解析】与60终边相同的角的集合为划尸=60+k360,kz,135由-72060+360<360,11JW-<7,66当2=2时，=60-2×360=-660,当M=T时，夕=60-360=-300,当A=O时，6=60,所以，适合不等式-720Q<360的元素/为-660、-300、60.(2)因为T5=315-360,所以，与T5终边相同的角的集合为伊/=315+%36OMZ,231由一720315+Ar360<360,OO当上=一2时，夕=315-2×360=-405,当k=T时，£=315-360=-45,当A=O时，夕=315,所以，适合不等式-720<360的元素仅为Y05、-45、315.(3)因为130318'=22318'+3360,所以，与130318,终边相同的角的集合为加忸=223185360次Z,由一7204223.3+%360v360(AgZ),可得=-2、T、0,当=-2时，4=223182x360=T96421当A=-I时，夕=22318-360=73642',当A=O时，=22318',所以，适合不等式不20夕V360的元素尸为-49642'、73642'、22318,（4）因为-225=135-360,所以，与-225终边相同的角的集合为伊忸=35+h360wZ,195由一720135+h360<360,可得一%<G,OO当左=-2时，夕=135-2×360=-585,当无=T时,6=135-360=-225,当欠=0时，0=135.所以，适合不等式-7207<360的元素夕为-585、-225、135.例6.（2023全国高一随堂练习）在0。360。范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：-5418'（2）3958'；（3）-119030'（4）1563.【解析】（1）-5418'=30542'-360，所以，在0。360°范围内，与-5418'终边相同的角为30542,且-5418'为第四象限角.（2）因为3958'=358'+360,所以，在0o360。范围内，与3958'终边相同的角为358',旦3958'为第一象限角.（3）因为T19030'=249304x360，所以,在0°360°范围内，与-119030'终边相同的角为24930',且T19030'为第三象限角.（4）因为1563=123+4×360，所以，在0°360。范围内，与1563终边相同的角为123,且1563为第二象眼角.变式4.（2023全国高一随堂练习）下列角中哪些角与30角的终边相同：（1）210；（2）-330:（3）390；（4）750.【解析】（1）Y与30。角的终边相同的角为a=30+A360