6.2指数函数（解析版）.docx

6.2指数函数【题型归纳目录】题型一：指数函数定义的判断题型二：利用指数函数的定义求参数题型三：求指数函数的表达式题型四：指数型函数过定点问题题型五：指数函数的图象问题题型六：指数函数的定义域、值域题型七：指数函数的单调性及其应用题型八：比较指数募的大小题型九：解指数型不等式题型十：判断函数的奇偶性【知识点梳理】知识点一、指数函数的概念：函数），="（>0且l）叫做指数函数，其中X是自变量，。为常数，函数定义域为R.知识点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如），=优（。>0且l）的函数才是指数函数.像y=233y=2;y=3'+l等函数都不是指数函数.（2）为什么规定底数。大于零且不等于1：如果 = 0,则X>0时，4,恒等于0,X 0时,优无意义如果”。，则对于一些函数，比如"7,当11,时，在实数范围内函数值不存在.如果=l,则y=r=l是个常量，就没研究的必要了.知识点二、指数函数的图象及性质:y=axOVa<1时图象时图象图象:(0同性质定义域R,值域(0,+)4。=1,即X=O时，y=l,图象都经过(0,1)点屋=a,即X=I时，y等于底数a在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数x<0时，ax>X>O时，O<a*<1x<0时，0<ar<1x>0时，ax>1既不是奇函数，也不是偶函数知识点诠释：(I)当底数大小不定时，必须分">l''和"OvaVl''两种情形讨论.(2)当Ovacl时，X>+oo,y0；当a>l时x-,y0.当a>l时，。的值越大，图象越靠近)，轴，递增速度越快.当Ova<l时，的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.(3)指数函数y =优与y=O 的图象关于)，轴对称.知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律(1)y=a',y=f,Iy=C*,®y=dx,则：O<h<a<<d<c又即：x(0,+)时，bx<ax<dx<cx(底大累大)x(,0)时，bx>ax>dx>cx(2)特殊函数y=2xry=3x,y=(；)*，y=()的图像:【方法技巧与总结】1、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：若A-8>0oA>8;A-B<O>A<A-B=OOA=8；当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断4>,或4<即可.BB2、简单指数不等式的解法(1)形如afx>/的不等式，可借助y=ax的单调性求解；优的单调性求解;(2)形如。的不等式，可将匕化为。为底数的指数哥的形式，再借助y=(3)形如>的不等式，可借助两函数)，=优，y=。X的图象求解.【典型例题】题型一：指数函数定义的判断例1.(2022全国高一单元测试)下列函数中，是指数函数的个数是()y=(-8),=2t；y="y=23”.A.1B.2C.3D.O【答案】D【解析】中底数一8<0,所以不是指数函数：中指数不是自变量X,而是4的函数，所以不是指数函数:中底数，只有规定4>0且。工1时，才是指数函数；中3,前的系数是2,而不是1,所以不是指数函数.故选：D.例2（2022全国高一专题练习）下列是指数函数的是（）A.y=（-4yB.y=22-1C.y=axD.y=x【答案】D【解析】根据指数函数的解析式可知，y=方为指数函数，A、B选项中的函数均不为指数函数，C选项中的底数。的范围未知，C选项中的函数不满足指数函数的定义.故选：D.例3.（2022全国高一专题练习）下列函数：y=3J丁=61y=62>），=8'+1；y=-6'.其中一定为指数函数的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】形如y=优3>011。工1）为指数函数，其解析式需满足底数为大于0,且不等于1的常数，系数为1,指数为自变量，所以只有是指数函数，®都不是指数函数，故选：B.变式1.（多选题）（2022重庆西南大学附中高一期中）下列函数是指数函数的有（）A.y=x4B.y=（；）“C.y=22xD.y=-3v【答案】BC【解析】对于A,函数y=/不是指数函数，对于B,函数y=（g）*是指数函数；对于C,函数y=22'=4'是指数函数；对于D,函数y=-3"不是指数函数.故选：BC.变式2.（2022全国高一专题练习）下列函数中是指数函数的是（填序号）.y=2()'y=2'T；y=图;®y=xx；一；)，=%.【答案】【解析】y=2(五的系数不是1,不是指数函数；y=2的指数不是自变量X,不是指数函数；N=11是指数函数；)，=犬的底数是X不是常数，不是指数函数：v-3+的指数不是自变量”，不是指数函数；(g)y=)是察函数.故答案为：【方法技巧与总结】一般地，函数y=(>0且。工1)叫做指数函数，其中指数X是自变量，定义域是R,。是指数函数的底数.题型二：利用指数函数的定义求参数例4.(2022山东淄博职业学院高一阶段练习)若函数/(x)=(T)X为指数函数,则4的取值范围是【答案】lvv2或>2,【解析】/()=(-1)x为指数函数，则0<-lvl或一1>1,解得：l<<2或>2,故答案为：lv0<2或>2,例5.(2022.全国.高一专题练习)函数.丫=(储-5+5)/是指数函数，则4的值为.【答案】4a2-5+5=1【解析】因为函数y=(-5+5)"为指数函数，则>0,解得=4.a故答案为：4.例6.(2022湖南长沙市南雅中学高-一阶段练习)函数是指数函数/(x)=(-3a+3)优，则有。=【答案】2【解析】由题意可得“2-3+3=l,解得=2或=l,又>0且l,所以。=2.故答案为：2变式3.(2022全国高一专题练习)己知函数y=2"和y=2>b都是指数函数，则.+=.【答案】1【解析】因为函数y=2'是指数函数，所以1=l,由y=2E是指数函数，所以力=0,所以。+=1,故答案为：1.变式4.(2022.宁夏平罗中学高一期中)函数y=(2a-3)是指数函数，则。的取值范围是.【答案】|,2)J(2,+8)【解析】因为)，=(2。-3)*是指数函数，f24-3>03所以C,一解得：=v<2或2<av”2a-32即的取值范围是(|,2)J(2,+).故答案为：(去2)M2,+oo)变式5.(2022全国,高一专题练习)已知点(2,9)在函数幻="(。>0且亦1)图象上，对于函数y=f(x)定义域中的任意4,x2(x1x2),有如下结论：/(%+x2)=/(X)./(%)；/(%)=/(%)+/(&);XT2中)")；/上述结论中正确结论的序号是.【答案】【解析】点(2,9)在函数/(幻=能(。>0且。)图象上，即9=/,.=3,f(x)=3t,对于函数x)=3'定义域中的任意的x2X2),有+x2)=3e=333电=/&)/(/) 结论(1)正确；又f(g)=3%/(x1)÷)=3r-÷3,/(x1x2)(x1)÷(2), 结论(2)错误；.4)一/(工2)二0又/(x)=3'是定义域R上的增函数， 对任意的不与，不妨设王毛，则/()vf(%),，内-9。，/(vj)-(a)O,结论(3)错误;乂)(芭+4)二3中,/(，)+/(%)二3国+3士/(x,)+(x2)X1 X221,3'3“、1”丝，p+s)2、牛3牛2/(斗)+/(毛)-*22F.2、1,3-32>2平广)；结论(4)正确;故答案为：(1),(4).【方法技巧与总结】)'二"系数为1.题型三：求指数函数的表达式例7.(2022全国高一单元测试)已知函数/(x)是指数函数，且/=9,则出)【答案】3【解析】由题意，设"力="(。0且al),因为f(2)=9,所以/=9,又>0,所以a=3,所以/(x)=3",所以/仁)=".故答案为：3例8.(2022湖南高一课时练习)已知函数/(x)是指数函数，且-I)=W,则/(3)=.【答案】125【解析】设“力="(>0且"1)，则/")=t3=害=5太得a=5,故力二5"因此，/(3)=53=125.故答案为：125.例9.(2022.重庆市璧山中学校高一期中)写一个函数，满足函数值域为(0,+8).(答案不唯一，写出一个符合题意的即可)【答案】八")=2，(答案不唯一)【解析】因为函数值域为(0,+),所以函数/(幻=21故答案为：/(X)=2"(答案不唯一)变式6.(2022福建省福州外国语学校高一期中)已知函数/(x)满足：(1)对于任意的内，WeR,有/'(%+%)=/(X),/(%)；(2)对于任意的M,awR,且西工天，都有*2)<o1x2请写出一个满足这些条件的函数.(写出一个即可)【答案】/(x)=(；J(答案不唯一)【解析】由题知：设/(x)因为任意的对eR,有/)=(；1，/(X2)=小)小)=成出=3，(Hr.所以满足对于任意的百，七WR，有/(+A)=(xi)(x2);因为对于任意的,wcR,且西士马，都有一"'")<0，xIx2所以/（x）为R上减函数，f（x）=6）满足题意.故答案为：/（x）=（gj（答案不唯一）变式7.（2022全国高一课时练习）若函数y=（x）的图象与函数），=3，的图象关于y轴对称，则），=/（力的表达式为.【答案】力（9【解析】由题可知：函数y=（）的图象与函数y=3，的图象关于y轴对称用T来取代X,则f（）=3r=GJ故答案为:/（x）=Y【方法技巧与总结】待定系数法题型四：指数型函数过定点问题例10.（2022上海高一单元测试）函数），=。川（。>0,4/1）恒过定点.【答案】（TJ）【解析】当x+l=0,即X=-I时，y=°=l,所以y=ax+a>0,41）恒过定点（一覃）.故答案为：（-11）例1L（2O22全国高一单元测试）若>0且。1,则函数/（x）="i+3的图像恒过的定点的坐标为.【答案】（4,4）【解析】令-4=0,得x=4,所以/（4）=°+3=4,所以函数力=。1+3的图像恒过定点（4,4）.故答案为：（4,4）例12.（2022全国高一单元测试）函数/。）=优7+23>0,。点）的图象恒过定点.【答案】(1,3)【解析】令X-I=0,可得X=1,所以f=0+2=3,即f(x)图象恒过定点(1,3).故答案为：(1,