数列求和不等式的证明策略.docx
数列求和不等式的证明策略一.直接放缩型例1：一<11-H<1(112).2/?+1+22n(k=2 )证明：-!-!-W一2nn+kn+1111111111FH<1FH<+FH2n22nn÷1n+22nn+1n+1+1h111111n12/?+1n+22nn+1例2,设=+-L+L+L2.求证：an<2."2"3"naa=Ih1-F÷1÷H+H.n2a3“na22 3222 2 3 FT 册 4n五.两项配凑放缩型例 1.Xn=2+-9 求证:(-l)Xl+(-l)2X2÷ + (-l)nXn<l (n 7V+)(-2)fl-证明：V (-l)nn=(-l)n2 +-2'J(T)T不妨考虑 为奇数时，Gl)llXn+Gl)n+ln+l= 5T + -T ÷- 2,+l -32/又H=kk>k*-),k21111<=-9k2Mk-I)k-k于是,l+-+-+-r<1+(1-)+(-)+()=2<2."2232n2223n-nn可放缩成等差数列型例L求证：吟以6+尔+一师而ENQ证明：/yn(n+1)>=n:.Jl2+423H卜jt(j+1)>1+2d1-/7="("十).Jl2+23+÷h(11+1)<(3+5HFflt+1)=<-,得证。v222三.可放缩成等比数列型例L数列aJ满足a11+=an2nan+l(nN*),且a11n+2求证：一!一+!+!<?+al+a21+an2证明:.an+=an(a11-n)+l>an(n+2-)+l=2an+lan+l2(an+l)/.an+l2(an.+l)即.1+4-2(an,l÷1)22(an_2+1)"2nl(a,+1)211IJllIlll11H-H7+T=T<-l+alI+41+。22232w+,22z,+,2+24“例2.f(x)=-,x(0,+)9数殖Xn满足Xn+=f(Xn)(nN4J,且Xi=Lan=xn-2I,x+1万Sn为aJ前n项和，证明：Sn<口-。证明.痴+尸Xn+JI=I-2I=12-l-2|=(行_nz2乙+1+IZ+”又乂11>0.2用<(四_1)以一四|<(后1)2|工1行|0<(四1)"|巧一也|=(&_1)向.Sn=a+a2+an<(2-1)+(2-I)2+(2-1)m熹盘等得证。四.可放缩成裂项差式型例1.求证：l7r*TV2(nN)2232n2证明：2)nn(n-)n-n,Il1i11111IClr.1+<1÷1+=2<2.2232n2223n-1nn例2.求证：l+y-+yy-+÷P-<3(ll2,"N)2( -1)V + ndn-l、TE12证明：V=7=-7=r<nnyn11yn+nn2_2(Vn-Vn-T)yn(n-)(yn- + 4n)Yn(Jl-D12 3 111111、° Ia231 1于是n为偶数时，(-i)Xl+(-l)2X2,<卜(-l)nXn<1741=1Vl,2222八n为奇数时，前nl项为偶数项，"于是有(-l)Xl+(-l)2X2÷(-l)nXn<l+(-l)nXn=I-Xn=1-(2+)=-l+<1,得证。(-2)“-2m+-33例2.an=-2n-2+(-l)n-1(n7+),证明：对任意的整数m>4,有，+,+'-<13%出a,n8证明：由通项公式得34=2,113r1132n,+2n-2当n3且n为奇数时,IIJIXan22z,2÷12n,-1222,-3+2,'-2z,"2-lw-i + 2一2=1(?一 2+击）,当m>4且m为偶数时，+=+(+)+(一+4%a4a54a,n-M13/111、131八1、137<-+-(+-)=-+-×-×(1-)2223242m22242,n4288当m>4且m为奇数时， F + -7 - 8 <综上对任意整数m>4有'+'+'-<N。%a,n8评析：由于通项中涉及有（1尸这一符号法那么，因此结合两项之和将其消去，再行放缩便能易于求和使问题得证。六.利用题设结论例1不等式+1>log。川N*,>2.log网表ZK不超过log2的最大整数。23n2设正数数列”满足：q=bb>0）,an<“I,n2.求证册<3.2+bog2n简析当2时勺=竺也二-+：即+%Man-lan-l2+ Nlog 2 川于是当3时有_L_L>_Li°g2nanat2()对可得放即例24=i,*=(1+m+/.用数学归纳法证明252);In(I+x)VX对X>0都成立,证明<e?(无理数=2.71828)解析()结合第(/)问结论及所给题设条件ln(l+%)<x(x>0)的结构特征,缩思路：”Z(1+二一+：)%=>ln1<ln(l+-v-+,nnn+n2n"+n2八11工日I1+*于是皿一2帝。十一d1.1I(M+i。”Z(-;+)=>Inart-Ina11+厂+/2'nInan-Inq<2=>an<e2.(1+!)all+!=an+.+1(1+X%+D=n(n-)n/I(ZZ-I)向n(n-i)加(J+DTn(%+l)In(l+1)<1n(n-l)nn-),一!?一!11=ZlIn(a*+1)-ln(aj+1)<Y-=>ln(n+l)-ln(a,+1)<1-<1，i=2,=2-1)n即ln(tzrt+1)<1+In3=>”<3e-l<e2.七.利用单调性放缩例1.设数列“满足。+=4；-叫+1(WN+),当q3时证明对所有九L有(i)ann+2i-+.+_LI+。11+21+。”2解析用数学归纳法：当，2=1时显然成立，假设当A时成立即4Z+2,那么当=女+1时怎+=ak(ak-k)+ak(k+2-k)+(k+2)2+>k+39成立。(/7)利用上述局部放缩的结论4句2%+1来放缩通项，可得ak+i+2(ak+1)=>ak+12a',(6Z1+1)2a,4=2a+,=击.2例2各项均为正数的数列%的前n项和满足S>1,且65“=(an+1)(%+2),hN(1)求%的通项公式；(2)设数列"r满足勺(2%-1)=1,并记7；为，,的前n项和，求证：37；+1>log2(fl,+3),nN"(I)解：由为=m=工(可+1)(4+2),解得a=l或a=2,由假设a=S>l,因此ai=2。又由a11+=Sn+-Sn=(rt+l)(a+i+2)=(an+1)3+2)，66得a11+-痴3=0或痴+=anHan>0,故an+=-痴不成立，舍去。因此an+iar3=0。从而aj是公差为3,首项为2的等差数列，故aj的通项为a11=3n-2o(11)由=1可解得2=IogJ1+=log2Ia,J3-1从而北二4+b2+=log3"O1253-IJ因此37；+"log/+3)=*仁I-马、)高。令/=H2言力总那么1253n-)3n+2/(+1)3+2pn+3?二(3j+3)3f(n)-3+5Un+2j-(3+5)(3+2产。因(3+3)2-(3+5)(3+2)2=9+7X),故/(11+i)>).特别的/()/(D=->1o从而37；+1-Io氐册+3)=logf(ny>O,即37j,+l>log2(%+3)°例15数列上由以下条件确定：xi=a>09xrt+1=-L+-K.证明：对22IxJ总有SG;(ID证明：对2总有工“匕”(02年北京卷第(19)题)解析构造函数f(x)=Ux+易知/*)在G,÷)是增函数。2(x)当=火+1时S+8+4在G,+)递增故+1>/(4)=&.2(Xk)对（三）有=UZ-且,构造函数/(x)=UX它在心长0)上是增函21XnJ2(x)数，故有X“-X“+1=J(X“-”>/(笈)=0，得证。八.数学归纳法武汉市教育科学研究院命制的“武汉市2005-2006学年高三年级二月调研测试”第22题：函数f(x)是在(0,+8)上每一点处可导的函数，假设XF(X)>f(x)在x>0上恒成立，1)略；2)求证:当x>0,X2>0时有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2);3)不等式ln(l+x)<x在x>-l且XWO时恒成立，求证:2(+ 1)(+ 2)ln22+4-ln32+7ln(n+l)22232(+1)2其中第3问给出的参考答案为：由2)结论推广到一般有f(Xi)+f(X2)+f(Xn)<f(Xl+X2+Xn)(H2),设f(x)=xlnx,那么在Xj>O(i=l,)时9有x1lnx1+x2lnx2+x1Inx1<(x1+x2+Xn)In(X1+x2+xn)9令Xn二厂',5+1)记 Sn=Xl+X2÷ + Xn= 7 + -7 + +22 321 1 1 1 =VT+ 4(" + If 12 23 n(n + )：,-41n22 +4-ln32 + +2232-ln(zz +1) > 5 + 1)2221+ + +3215 + 1)2又Sn>-L+-L+1=I-L2-33-4(+1)(+2)2+2.(X1+X2+Xn)ln(Xi+X2+Xn)/、.八1、1/、lzl1n<(x1+x2+xn)l11(l)<(x+x9+%,)<()=+1+11'"/7+12+22(n+l)(÷2)n- 2(+ 1)(+
