2023年一次函数知识点完整.docx

一次函数知识点总结【基本要点】1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式S=U，中，U表达速度表达时间，S表达在时间f内所走的路程,则变量是,常量是O在圆的周长公式c=2nr中，变量是,常量是.2、函数：一般的,在一个变化过程中，假如有两个变量X和y,并且对于X的每一个拟定的值，y都有唯一拟定的值与其相应,那么我们就把X称为自变量，把y称为因变量，y是X的函数。注：这是课本对于函数的定义,在理解与实际运用中我们要注意以下几点：1、函数只能描述两个变量之间的关系，多一个少一个变量都是不对的;如：y=xz中有三个变量，就不是函数;y=0中只有一个变量,也不是函数；而y=O(x>O)却是函数，由于括号中标明了自变量的取值范围；2、当自变量去每一个拟定的值时因变量只能取唯一拟定的值相相应,反之，当因变量取每一个拟定的值时自变量可以去若干个值相相应；由于这两个变量有先变与后变的问题,让后变的先取一个值，先变的就不一定只取一个值；3、我们只能说函数值是自变量的函数,或用自变量来表达函数值,如：a是b的函数就说明a是函数值，b是自变量；用y表达X就说明y是自变量，X是函数值；任何函数都要标明谁是谁的函数，不能随便说一个解析式是不是函数,如：Y=x2,只能说y是X的函数，就不能说X是y的函数；4、函数解析式的表达：只有函数值写在等号左边，具有自变量的式子写在等号右边;注恚不能写成2y=3x-3或y2=3x-3的形式；5、任何函数都包含自变量的取值篦国，假如没指明说明自变量的取值范围是任意实数。自变量的取值范围从以下几个方面把握：(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实效；(2)关系式具有分式时,分式的分母不等于零；(3)关系式具有二次根式时,被开放方数大于等于零；(4)关系式中具有指数为零的式子时,底数不等于零；(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之故意义。例题：写出下列函数中自变量X的取值范围y=2-x.y=.y=4-x1.y=x+2x-2.x-23、函数的图像一般来说,对于一个函数,假如把自变量与函数的每对相应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.4、函数解析式：用品有表达自变量的字母的代数式表达因变量的式子叫做解析式。5、描点法画函数图形的一般环节第一步:列表（表中给出一些自变量的值及其相应的函数值）：第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值相应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。6、函数的表达方法列表法:一目了然，使用起来方便,但列出的相应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的相应规律。解析式法:简朴明了，可以准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表达。图象法:形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。7、正比例函数及性质一般地,形如y=kx（k是常数，kWO）的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx（k不为零）k不为零X指数为1b取零当k0时，直线y=kx通过三、一象限，从左向右上升,即随X的增大y也增大；当kVO时，直线y=kx通过二、四象限，从左向右下降，即随X增大y反而减小.（1）解析式:y=kx（k是常数，k0）必过点：（0,0）、（l,k）（3）走向：k>0时，图像通过一、三象限；k<0时，图像通过二、四象限（4）增减性：k>0,y随X的增大而增大；k<0,y随X增大而减小倾斜度：Ik越大，越接近y轴；Iki越小，越接近X轴例题：1、正比例函数y=（3"7+5）x,当In时，y随X的增大而增大.2、若y=x+2-38是正比例函数，则”的值是（）223A.OB.C.D.3323、函数片（hl）x,j，随X增大而减小，则A的范围是（）A.ZVoB.Ar>lC.kD.左<14、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款J，元与买鲜鸡蛋个数片（个）之间的函数关系式是.平行四边形相邻的两边长为*、几周长是30,则y与X的函数关系式是.8、一次函数及性质一般地,形如y=kx+b（k,b是常数，k0）,那么y叫做X的一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kX,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）k不为零X指数为1b取任意实数一次函数y=kx+b的图象是通过（0,b）和0）两点的一条直线,我们称它为直线y=kX+b,它可以看作由直线y=kx平移Ib个单位长度得到.（当b>0时,k向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式:y=kx+b（k、b是常数,kw）（2）必过点：（0,b）和（-2,0）k（3）走向：k>0,图象通过第一、三象限；kV0,图象通过第二、四象限b>0,图象通过第一、二象限;b<0,图象通过第三、四象限k>0O直线通过第一、二、三象限 b>0k<0=直线通过第一、二、四象限 b>0k>0=直线通过第一、三、四象限 b<0<0=直线通过第二、三、四象限Z?<0（4）增减性：k>0,y随X的增大而增大；k<O,y随X增大而减小.（5）倾斜度：Ikl越大，图象越接近于y轴；Ik越小，图象越接近于X轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kX的图象向上平移b个单位；当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.例题：1、若关于X的函数y=S+1）xm,是一次函数,则11j=,n.2、函数片6与尸力廿a的图象在同一坐标系内的大体位置对的的是（）3、将直线片3x向下平移5个单位,得到直线；将直线产二一片5向上平移5个单位,得到直线.4、若直线y=-X+。和直线y=+b的交点坐标为（z,8）,则。.5、已知函数y=3*+l,当自变量增长加时，相应的函数值增长（）A.3w4B.3zC.mD.3而一19、一次函数y=kx+b的图象的画法.根据几何知识:通过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线,即两点拟定一条直线，所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下:是先选取它与两坐标轴的交点：（0,b）,（-,0）.即横坐标或纵坐标为0的点.K例题：1、已知点Pl（XLyl）、P2（x2,y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点,且yl>y2,则X1与X2的大小关系是（）A.x1>x2B.xl<x2C.x1=x2D.无法拟定解:根据题意,知k=3>0,且yl>y2.根据一次函数的性质“当k>0时,y随X的增大而增大"，得xl>x20故选A。2、若mV0,7>0,则一次函数y=mx+的图象不通过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、一次函数y=kx+b满足kb>O,且y随X的增大而减小，则此函数的图象不通过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解：由kb>O,知k、b同号。由于y随X的增大而减小,所以k<0。所以b<0。故一次函数y=k+b的图象通过第二、三、四象限，不通过第一象限。故选A.10、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kX平移Ibl个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.IK一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a,b为常数，aW0）的形式,所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相称于己知直线y=ax+b拟定它与X轴的交点的横坐标的值.12、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a,b为常数,a0）的形式,所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.13、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=-0元+£的图象相同.bb（2）二元一次方程组I"的解可以看作是两个一次函数尸一察X+?和y=x+等的图象交点.a2x+b2y=c2bbb2b2【考点指要】一次函数常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中,解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法；为方便大家计算以及分析题目，现介绍一些解题过程中可以运用的公式与性质，希望大家能反复揣摩、理解、运用以期纯熟地掌握,这样可以化繁为简!这里要强调的是以下这些公式不要随便外传！牢记！1、一次函数解析式的几种类型ax+by+c=O一般式y=kx+b斜截式（k为直线斜率,b为直线纵截距，正比例函数b=o）（3）y->1=k（-1）点斜式（k为直线斜率，（，V）为该直线所过的一个点）.21二二21二ZI两点式（x1,%）与（力，必）为直线上的两点）x-xxxl-x2土一2=O截距式（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）ab2、求函数图像的k值：之二A（M,%）与（勺，%）为直线上的两点）X-X23、求任意线段的长：）Qfj+（必-h）2（X，M）与（，内）为直角坐标系任意两点）4、求任意两点所连线段的中点坐标：（WL225、若两条直线y=kx+bI与y=k2x+t½互相平行，那么k=k?,blb26、若两条直线y=kx+b与y=k?x+b2互相垂直，那么kX*=-l7、将y=kx+b向上平移n个单位后变成y=kx+b+n;向下平移n个单位变成y=kX+b-n8将y=kx+b向左平移n个单位后变成y=k（x+n）+b;将y=kx+b向右平移n个单位后变成y=k（x-n）+b（任何图像的平移都遵循上加下减,左加右减的规则）9、若y=k1x÷b1与y=2x+b?关于X轴对称，那么k|+k?=0、bl+b3=010、若y=kx+b与y=k2X+b2关于y轴对称,那么k+k?=0、b1=b211、同理，y=kx与y=k2x关于平行、垂直、平移、对称也满足以上性质12、y=kx+b与坐标轴围成的三角形面积为品13、y=kx(k是常数，k0)必过点：(0,0)、(1,k)14、y=kx+b必过点：(0,b)和0)k【例题讲解】例题1:若y是文的一次函数，图像过点(-3,2),且与直线y=4x+6交于轴上一点，求此函数的解析式。变式练习1:求满足下列条件的函数解析式:与直线y=-2x平行且通过点(1,T)的直线的解析式；525例题2：已知直线y=女工+b通过(1,(),且与坐标轴所围成的三角形的面积为亍，求该直线的表达式。变式练习2：一次函数y=%x-4与正比例函数=自K的图象都通过点(2,-1),(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)求这两个函数的图象与X轴围成的三角形的面积。巩固练习】y=ryJ1 ,一次函数y=-2x+4的图象与X轴交点坐标是,与y轴交点坐标是2,如图，一次函数图象通过点A,且与正比例函数y=X的图象交于点3,则该一次函数的表达式为（）A.y=-x+2t>B.y=x+2C.y=x-2D.y=-x-23