弹性与塑性力学第2-3章习题答案.docx
第二章0OO2.1(曾海斌)物体上某点的应力张量。ij为。产O1001003(应力单位)O1003100求出：(a)面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n=(1/2,1/2,12)；(b)应力主轴的方位；(c)主应力的大小；(d)八面体应力的大小；(e)最大剪应力的大小。解答：(a)利用式(2.26)计算应力矢量的分量彳”得nnnT产。Ijnj=。Unl,。i2112,。13113=0；同样T2=j11j=272.47T3=3j11j=157.31所以，应力矢量彳的大小为=（九）2+（九产+（九）2"2=314.62(b)(c)特征方程：O3Ii2+I2°L=O其中L=。仃的对角项之和、I2=ou的对角项余子式之和、h=Oij的行列式。从一个三次方程的根的特征性可证明：Il=O1+02+。31.=°02÷O2O3+O3O1I3=O12O3其中得，。尸400、。2二。3二0是特征方程的根。将。I、。2和。3分别代入(2.43),并使用恒等式r+r+r=l可决定对应于主应力每个值的单位法线a的分量(n1、&、n3):nim=(0,±0.866,±0.5)nil2y=(0,+0.5,±0.866)nim=(±1,0,0)注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。(d)由式(2.96),可算otc=l3(0+100+300)=133.3ou=l3(90000+40000+10000+6*30000),z2=188.56(e)己经求得。产400、2=3=0,则有(2.91)给出的最大剪应力为皿=2002.2 (曾海斌)对于给定的应力张量。中求出主应力以及它们相应的主方向。3/2-1(22)-1(22)oij=-1(22)11/4-5/4(应力单位)-1(22)-5/411/4(a)从给定的。ij和从主应力值。I，。2和。3中确定应力不变量L，h和L；(b)求出偏应力张量Skj;(C)确定偏应力不变量工和工；(d)求出八面体正应力与剪应力。解答：同上题2.1(a)(b)(c)方法得到。尸4、02=2>3=1对应于主应力每个值的单位法线a的分量(n1、112、n3):(I)_Z11、ni-(0,+2,士正)干0.5,干0.5)(3) _ / I 1fli -i2,+ 0.5, ±0.5)(a)特征方程:0 'Ii 0 2 + I2 0 I3=O中L=Oij的对角项之和、L=Oij的对角项余子式之和、I3=Oij的行列式。代入数据的：I1=7；I2=14；I3=8(b)偏应力张量由式子(2.119)得出S”=。KrP"j,其中p=73-5/6Sij= -1(22)-1(22)-1(22)-1(22)5/12-5/4-5/45/12(c)J1=Sii=0,J2=l64+l+9=2.333,J3=l27(2*49+9*7*14+27*8)=0.741(d)Oot=13*7=2.333otc=23(I12-3I2)"2二1.2472.3 (李云雷)(a)解释：如果S>S2>S3,能得出&=眄?(b)解释：4可以为负值吗？(c)解释：J3可以为正值吗？解：(a)不能，因为S+S2+S3=0,所以S3不能等于0.(b)因为(="2(b。2)+。2。3)+(。3。1)，所以J2不可能为负值。(c)可以，当S,S2,S3中有一个正数，两个负数时人为正值。2.7(金晶)证明以下关系，2-，2(a)3证明：4=巧。2+5%+3212=(l+2+3)2=(1+2)2+32+23(1+2)=12+22+32+212+213+232A2-2=l(12÷212÷213÷232)-12÷13÷324(r÷2¼)4(l2÷13÷32);J2=7(1-2)2+(1-3)2+(3-2)2=-(12+22+32)-(12+13+32)(b)-遂+/证明:1=1÷2+3/3二123I1I2=(l+2+3)×(l2+l3+32)=31dg+(o"+CTJ+oC7-)+qo+人也+讶二乎2%Tw3+6g2+dE+g2g+%g2+w2+d2%)+3+g+?)3=Tdg2+<+丘+5+。0；+。；%)+9：+。;+。;)+*«r1A=sijsjkski代入下式.,.sl=i-p S2 =2-p s3 = 3-p=.-pij同附=7,-pjkSki=ki-P源代入得1.、p=-(1+2+3)A=样=(0-p)X伍一p)X(0-P)1/2)')二(12"+1"2+3"2+32"+1c12J3=L9H/?33312271（C）证明:与St.12=(1+2+3)2=(1+2)2+32+23(1+2)I2=12+13+32r2or223/巧一°八2/0一°八2/0一°八2UTV+-cy2=(丁)-+(丁)-+(丁)-(空)2+受驾+(，驾令;叫)7LLL7=亚(_3/AtOCt34，(d)12=(SIS2+s3s2+S"3)证明：U(L+%+*+)+§2+豆)=JGl1+$22+$33+2。2+243+241)乙二一( + SlS3)2.9 (梁健伟)证明：从一个给定的应力状态中加上静水应力，其主方向不改变。证明：设静水应力为(p,p,p),从主方向的定义有b/j=077,从给定的应力状态中减去静水应力得(4-2=(-p)ni,即：(11-p)nx+nn2+13n3=(-p)%2w+(22-P)n2+23n3=(PMCr311+OT32W2+(33-p)n3=(-p)n把等式右边的p%移项到左边得111+2n2+133=on2n+22n2+23n3=n20"a+几2+0*333=OKla所以从一个给定的应力状态中减去一个静水应力，其主方向不变。2.10 (张东升)证明：通过在应力原始状态中加上静水拉力或压力，不改变作用于过某定点任何平面的剪应力分量S.。证明：关于主应力轴，任意平面上S”是用百，%,%由式Sn=(12n12+22n22+32¾2)-(ln12+2r+3n1>给出。现假设静水应力状态(GGb)是被叠加上去，得一组主应力1+,2+,3+o对于这一新的应力状态，在任意斜截面外上的剪应力分量由下式得出：Sn=(1+)2w12+(2÷)2n22+(3+)2-(1+)w12+(2÷)r+(3+)n2由恒等式nini=1,将上式展开化简得Sn=(,2n12+22n22+3232)-(lw12+2n+3r)20这表明，原结论成立。2.11 (黄耀洪)画出例2.6中式(2.135)和式(2.136)中所给出的在主应力空间上的两个应力状态，并画出它们在偏平面上的投影。'1003'靖=030求b0的主应力，I1=crll+22+33=10+3+2=152223n12=+323331y+3320=3。22°010+2310=6+20-9+30=4700-53O0-7同理，解得。°的主应力%=3%=-53="7s2=2-p=3-5=-24 =arccos0.98 = llo28,P=（s；+s；+s；）%=7.48COSa=0.982J、=3G；+s：+$；）=28*2)v同理，求得0-7000-5的"=7.48=llo28r_(1)_(2)%在偏平面上的投影如下图所示:2.12（李松）如果Qijtjkfjajk,11ij和片为两点的两个应力状态,证明两个应力状态的主轴重合。注意不必将看作为另一个应力张量一一如第三章的应变张量一样，且主轴重合保持不变条件。（提示：将其中一种应力状态换到主坐标系上）证明：由题意得：ijtjk=tijjk对i、j取1至3展开关系式得:1111k÷12t2k÷13tk=tjjk÷L22k+t133k（1）112111k÷22t2k÷1123t3kzzt216k+t22112k÷t23113k（2）113111k÷1132t2k÷33t3kzzt3111ik+t3202k+t33113k（3）参照Gij的主轴,即iWj口寸，Gij=O.所以,对于（1）式K分别取2、3,由于ij时,ij=0.则有:K=2时，t2=t122;k=3时，t13=t133对于1>2>3,5=。和13=0.同理由（2）（3）式可得:t21=0和t23=。，t31=O和t32=0.一般地，ij时，tij=O.所以tij的主方向与Gij的主方向重合2.14（卢俊坤）在偏平面上画出下列函数:(a) J2=k：(b) J23-2.25J32=(C)TmaX=&其中，占、22和23为常数。解：（a）依题意得：将J2=k代入p=2J2得p=k、叵所以，在偏平面上的图像为以三轴交点为圆心，半径为匕&的圆。函数图象如图a所示（利用Matlab绘制，图线与最外围的黑线圆重合，绘图时常数占暂不考虑）。polar plot（b）依题意得：由CoS36 =33 J32 F及 p - y2J242得：=cos23J23和=327222再代入23-2.2532=得：(l-gcos239)6.p=2函数图象如图b所示(利用Excel和Matlab绘制，以G,为X轴，绘图时常数心暂不考虑)。图b(c)依题意得：由rmax=k3得：=&sin+。)=43再得：psin(y+)=k3l令p=Jx2+y2,cos=,sin=得3x+y=2yf2PP函数图象如图C所示（利用EXCel和Matlab绘制，以°；为X轴，绘图时常数心暂不考虑）。polarplot2. 15(a)(b)(c)（兰成）如果由两个应力状态叠加得出一个应力状态, 其最大主应力不大于单独的最大主应力之和； 其最大剪应力不大于单独的最大剪应力之和；静水压力分量的合成是两个单独状态简单的代数相加,证明:但剪力分量合成是两个单独状态的矢量相加。证明：假设两个
