2.2.1向量的加法学案解析版.docx
§2从位移的合成到向量的加法2.1向量的加法学习目标核心素养1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量.（重点）2.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算.（难点）1 .通过学习向量加法的定义及三角形法则与平行四边形法则，体会数学直观素养.2 .通过运用交换律、结合律进行向量加法运算、提升数学运算素养.ZimYlJXlTAZXlZz411向量求和法则及运算律类别图示几何意义向量求和的法则三角形法则a已知向量mb,在平面内任取一点A,作薪=G,BC=b,再作向量就,则向量AC叫作与b的和，记作+力，即+b=AB-BC=AC向量求和的法则平行四边形法则40B已知向量b,作AB=",AD=b,再作平行G的晶=心连接。C,则四边形ABCO为平行四边形，向量元叫作向量与b的和，表示为AC=+b向量加法的运算律交换律a+b=b-a结合律(+b)+c=+S+c)思考：根据图中的四边形ABCz),验证向量加法是否满足结合律.(注：AB=a,BC=b,CD=c)提示VAD=AC+CD=(B+BO+CD,.AO=(+A)+c,又.AO=A8+BO=AB+(8C+CO),AO=+S+c),.*.(+)+c=+(b+c).初试身11 .作用在同一物体上的两个力尸=60N,尸2=60N,当它们的夹角为120。时，这两个力的合力大小为()A.30NB.60NC.90ND.120N答案B2.在AABC中，必有薪+&+说等于()A.0B.0C.任一向量D.与三角形形状有关答案B3 .化简下列各向量：(1)A÷BC=.(2)÷O+O=.(I)AC(2)PM根据向量加法的三角形法则及运算律得：(1)A÷BC=AC.(2)+OM+QO=PQ+QO+OM=PO+OM=PM.4 .在正方形ABCO中，A=1,则前+G=.答案2合作探究。提素养必句向量加法法则的应用【例1】(1)如图，用向量加法的三角形法则作出+岳(2)如图，用向量加法的平行四边形法则作出解(1)在平面内任取一点。，作。4=%AB=bf再作向量。3,则。在平面内任取一点0,作。4=%0B=b,再作平行。B的4C=b,连接BG则四边形OACB为平行四边形，OC=+A规律方法用三角形法则求向量和，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”.且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置.两向量共线时,三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用.Q跟踪训练1 .己知向量,b,c,如图，求作+0+c.解在平面内任取一点0,作。4=%AB=b,BC=c,如图，则由向量加法的三角形法则，得OB=a+b,OC=a+b+c.【例2】化简下列各式：(l)ic+;(2)5+(+i;Q)ABDF+CD+BC+FA.思路探究所给各式均为向量和的形式，因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解.解说+低=6+访=n.(2)5+cb+BC=(5+ic)+cB=DC+=o或而+a+诟=(法+CD)+BC=(CD+DB)+BC=CB-BC=O.(3)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+O)+DF+FA=ac+cd+5f+m=D+DF+M=AF+FA=0.规件方法向量加法运算律的应用原则及注意点(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.(2)注意点：三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”；向量的和仍是向量；利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的.跟踪训练2 .如图：在平行四边形ABeO中.()AB+AD=；(2)AC+CD+D0=；(3)AB-AD+CD=；(4)AC-BA+DA=.(I)AC(2)A0(3)AD(4)0(1)由平行四边形法则知AB+AD=AC.(2)AC+>+DO=AD+5b=AO.+G+a=n+Eb=G.4 4)VA=CD,C+BA+DA=AC+cb+DA=W+DA=O.向量加法的实际应用探究问题1 .如何计算两个向量的和？提示两个向量相加，其和仍是一个向量.计算两个向量的和需利用三角形法则或平行四边形法则，在使用三角形法则时，应注意“首尾相连”；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同.2 .共线的两向量相加，其结果怎样？提示（1）向量Q与力同向（如图所示），即向量+b与（或6）方向相同,且+5I=Ial+|。|.（2）向量。与力反向（如图所示），且IalVIN时，+b与方向相同（与Q方向相反），且+b=b一同.【例3】在静水中船的速度为20mmin,水流的速度为IOmmin,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.思路探究速度是向量，因此需要作出船的速度与水流速度的示意图，把实际问题转化为三角形中求角度问题.解作出图形，如图.船速存领与岸的方向成Q角，由图可知Vm+v=Vfr,结合已知条件，四边形ABCO为平行四边形，在RtZkACO中，CD=AB=v察=10mmin,AD=vM=20mmin,.CD101.cosa=20=2>Anc<=60o,从而船与水流方向成120。的角.故船行进的方向是与水流的方向成120。的角的方向.母题探究1 .（变结论）若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少？解由题意可知局I=WlGl=坐X20=lM（mmin）=乎（km/h）,则经过3小时，该船的实际航程是3X乎=竽(km).2 .(变结论)若例3的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角).解I如图所示，AD=BC=vfe=20mmin,AB=v=IOmmin,则tanNBAC=2,即为所求.规律方法应用向量解决平面几何问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.一课堂小结G1 .三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的.当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则.2 .向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.3 .使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0,而不应写成0.当堂达标。国亶基DAZ；IAZDAHlAe3LSHUAZ(.JI1 .判断(正确的打“，错误的打“X”)(1)两向量的和，可能是一个数量.()两向量相加，就是两向量的模相加.（）(3)CD+DE=CE.()(4)矩形ABCD中，BA+BC=RD.)答案(1)×(2)×(3)(4)2 .已知四边形ABCQ是菱形，则下列等式中成立的是()KABA-BC=CAB.4+AC=BCC.AC+BA=A£)D,AC+AD=DCC由加法的平行四边形法则可知低+而=就;即(一届)+G=n,所以AC+BA=AD.3 .据图填空，其中=62,b=CO1c=OBtd=BA.(l)+b+c=；(2)b+d+c=.(1)D(I)CA()a+b+c=DC+CO+OB=DB.(2)b+d+c=C0-BA+0B=CA.4 .若表示“向东走8km”，表示“向北走8km”，求：(I)a+Z>(2)指出向量的方向.解(1)如图所示，作a=G,AB=bf则ab=OA+AB=OBf所以0+旬=O=82+82=82.(2)因为NAO8=45。，所以+8的方向是北偏东45°.
