1.2空间向量基本定理典型例题（解析版）.docx
1.2空间向量基本定理典型例题考点1：空间向量基底的概念及辨析1 .若伉。是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是()A.b+c,b,-b-CB.a>a+b>abC.a+b»a-b»cD.a+b,a+b+c,c【答案】C【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对选项A：,因此向量力+c,仇-b-C共面，故不能构成基底，错误；对选项B：,因此向量夕，a+b»-心共面，故不能构成基底，错误；对选项C：假设c=l(+4+"(-b),c=(+)a-)b,这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；对于选项D：(a+b)+c=a+h+c,因此向量+b,+Z?+e,d共面，故不能构成基底，错误；故选：C2.已知凡"d是空间的一个基底，则可以与向量W=+2""c构成空间另一个基底的向量是()A.2a+2b-cB-a+46+WC.b-cD.a-2b-2c【答案】C【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.【详解】因为24+25一c=(+2与+(4-c),a+4b+c=2(a+2b)-(a-C)»a-2b-2c=2(-C)-a+2b),所以向量2+2力一d，a+4b+c»0-2-24?均与向量?，"共面.故选：C3.已知SAJ_平面ABGABJ.AC,SA=AB=tBC=G则空间的一个单位正交基底可以为()A.1a*AC,AsB.43,ACASC.jAB,IAC,IA5j>D,卜S,AB,苧8C【答案】A【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.【详解】因为SAj_平面ABCAB.AC都在面48。内，所以S_LAe,SA±AC.因为A8工AC,AB=BBC=5所以AC=2,又SA=1,所以空间的一个单位正交基底可以为（ar/acas.故选：A4.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B.若“<0,则<,b>是钝角C.设他,A,c是空间中的一组基底，则+儿b+c,c+a也是空间的一组基底D.若对空间中任意一点O,有OP=,OA+<O3+（C则P,A,B,C四点共面【答案】ACD【分析】根据向量共面的定义可判断A,利用向量夹角的取值范围判断B,根据基底的定义可判断C,根据共面定理可判断D.【详解】对于A,因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，A正确；对于B,若<0,则<,b>是钝角或是180，B错误；对于C,因为,b,c是空间中的一组基底，所以,b,c不共面，假设+b力+d,c+d共面，则+=/!（+c）+"（e+a）,=1即，11矛盾，所以+b,b+c,c+4不共面，Z=12+z=0所以M+6b+c,c+也是空间的一组基底，C正确；对于D,因为OP=LoA+J8+,C且!+,+,=1,632632所以P,A,B,C四点共面，D正确;故选:ACD.考点2：用空间向量基底表示向量c,则 BE=（）【答案】A1 1 .B. -ci Hb+c22I ,D. a + b + c2【分析】由空间向量线性运算即可求解.【详解】由题意可得BE = BBI+BA+AE = BB+ BA + gAG= Bl+BA + -AC = Bl+BA + -(C-BA = -BA + -C+B. =-a + -c+b.1 212、7 221 22故选：A.6.在平行六面体ABC。-A/GR中，M为AG与。的交点，若A8 , AD = h，=c,则下列向量中与相等的向量是（）11,11,1I111 1A. -a + -b + cB. a + -b + cC. ab + cD. ab + c22222222【答案】B【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.【详解】在平行六面体A8CO A8CR中，M为AGBBR的交点,5.如图，在直三棱柱ABC-AqG中，E为棱AG的中点.设BA=,BB1=bfBCBM=A+Ai+AyM=-AB+AAy+(1B1+AiDi)=-a+c+-a+-b=-a+-b+c.故选：B7.如图，三棱柱A8C18C中，M、N分别是叫、Ae的中点，设A8a，AC=/?,4=C,则NM=.【答案】a-b+-c22【分析】由空间向量的线性运算即可求解.【详解】NM=NA+AM=-AN+B+BM=-C+AB+-AA=a-b+-cf2222故答案为：-；/?+；<?8.如图，在四面体48CD中，AE=AB>AH=ADCF=(-)CBfCG=(I-A)CDt2(0,l).求证：E、F、G、四点共面.(2)若九二；，设M是EG和777的交点，。是空间任意一点，用。4、OB、OC、。表示OM【答案】(1)证明见解析4212(2)0M=-OA+-OB+-OC+-OD9999【分析】(1)证明出而而,即可证得结论成立;1EMEH11(2)由(1)可得出EH二一尸G,可得出EH尸G,则一=-,由此可得出EM=MG,再结合空2MGFG22间向量的线性运算可得出。W关于04、OB、OC、0。的表达式.【详解】(1)证明：因为E"=AH-AE=;IAo-U8=23O,FG=CG-CF=(-)CD-(-)CB=(-)BD,所以EH=EFG,则E”尸G，因此E、F、G、”四点共面.1IllB1UU111,21(2)解：当a=L时，AE=-AB,即OE-OA=-(OB-OA),可得OE=-OA+-O8,33333因为CG=gc,即OG-OC=I(OQOC),可得OG=gC+OQ,121由(1)知，EH=-BD,FG=-BD,因此E”二一户G,332又因为EH、FG不在同一条直线上，所以，EHHFG,FMFH111/x则J=-,则EM=-MG,-OE=-(OG-OM,MGFG222v7所以，OM=-oe+-og=-oa-ob+-oc+-od333(33)3<33)421-2-=-OA+-OB+-OC+-OD.9999考点3：用空间向量基本定理及其应用9 .已知直线43,BC,不共面，若四边形34GC的对角线互相平分，AC1=-A÷2yBC÷3zCC1,则+y+z的值为(),52HA.1B.-C.-D.636【答案】D【分析】由题意A3,8C,CCj为空间的一组基底，然后利用空间向量基本定理求解.【详解】由题意，知A8，BC，不共面，四边形BBCC为平行四边形，CCl=BBi,A3,BGCC1J为空间的一组基底.AC1=AB+BC+CC1,又AC1=xAB+2yBC+3zCC1,.x=2y=3=,.=l,V=,211：.x+y+z=.6故选：D.10 .己知兄瓦。是空间的一组基底，其中A8=2-3A,AC=a-cfAO=2Z?+/IA若A,B,C,。四点共面，则入=()【答案】D【分析】根据题意，设存在唯一的实数对(x,v),使得AB=x4C+)，AO,结合向求的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解.【详解】由题意，设存在唯一的实数对Q,y),使得A8=xAC+yAO,艮2a-3b=x(一+)'(»+义。，则2a-3b=xa+2yb+(y-x)c,34贝ljx=2,y=-,y-x=O,解得4=一§.故选：D.U.已知空间四边形A8CO的每条边和对角线的长都等于1,点E,尸分别是8C,A。的中点，则ABB的值为.【答案】-/-0.5【分析】BC-BD，丽两两成60角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算.根据题意48C。为正四面体，BC,BD，8A两两成60角，BABC=BABD=BCBD=g,由AE=BE3A=(BC-BA,CF=BF-BC=-BA+-BD-BC,22所以AECF=+1111111111=X1XXI=.故答案为：-T12.如图，E、尸、G分别是正方体48CT)-AqGR的棱A。、AB.CQ的中点，”是AG上的点，GC也平面EfH.若A3=JL则A/=.【答案】1【分析】设4"=/IAG,其中0W4W1,将七尸、EH、GC；用基底卜仇AQ,"1表示，分析可知Gg、EF、七”共面，则存在？、eR,使得团=?M+GG,根据空间向量的基本定理可得出关于用、/1的方程组，解出;I的值，即可得出A4的长度.1_1【详解】设A"=；IAG,其中OW4W1,EF=AF-AE=-AB-AD,EH=AH-AE=AB-AD-AA-AD=AB+-AD+AAx,GCi=GC+CCi=AB+A.,因为GG平面EFH,则GG、EF、E”共面，显然GC、石尸不共线,所以，存在加、eR,使得由=zM+GC；,即4A8+(;I-T)AD+/IAA1=AB-：AQ)+(JA8+AA1=f-rn+?!AB-mAD+nAAy,11C-m+-n=22因为48, AO,相；为空间中的一组基底，所以，,-n解得2=；，n=A1/T因此，AH=-AC1=L故答案为：1.
