微积分第2版第2章极限与连续习题祥解.docx
微积分第2版第2章极限与连续习题祥解习题2.1（八）1.观察下列数列怎,(5) = (-ln;当ZlfoO时，极限是否存在，如存在，请写出其极限值.解当8时，极限为|;极限为0；极限不存在;极限为1；极限不存在;极限不存在.(2)当一>OO时,(3)当一8时,(4)当一8时,(5)当一8时,(6)当一8时,2.对于数列5=1,2,)，给定(1)£=0.1,(2)£=0.01,n+1(3)£=0.001时，分别取怎样的N,才能使当>N时，不等式|乙一1|<£成立？并利用极限的定义证明此数列的极限为1.解要使卜“一II=1=!<£=o.i,只要+>=10,>9,故取1m1+1n+0.1N=9即可.(2)要使风一1|=1=-<=0.01»只要+1>=100»>99,故1"17?+177+10.01N=99即可.(3)要使Ixn-11=1=-<=0.001,只要+1>-=1000，n>999>I1n+10.001故取N=999即可.对于任意给定的£>0,要使比一1|=1=-<>即+1>L,n>-1.n+1取正整数N=-1,则当>N时，恒有1=/一IV£,故lim一J+1flo0n+1习题2.1(B)1 .用数列极限的定义证明下列极限：(1) Iim14-=O；(2)Iim"=Lon+1-R3«+13证明（1）对于任意给定的£>0,要使不等式xn-a2-<l + (T)z + 12成立，只需>一成立.取N =2,则当>N时，恒有所以 IimI+(T)" =0./1Too（2）对于任意给定的£>0,要使不等式成立，只需>-成立.取N=-!-,则当>N时，恒有n1<.3+13所以Iimzz-=-.n303+l32 .利用数列极限的定义证明：lim（、加TT-«）=0.Jt-KC证明对于任意给定的£>0,要使不等式"口（所向一成立，只需成立.取N=-4+1,则当N时，恒有_£_(>h+T-V11)-0<.所以Iim(J"+1-«)=0.n3 .若数列xz,有界，且IimyZI=0,证明IimXrIy=0.证明因为数列怎有界，所以存在M>0,对所有的乙都有同M,对于任意给定的£>0,要使不等式氏”一OHXMVAJ<e成立，只需<二，又因为IimyJ=O,所以对于给定的，=±>0,存在N,则当">NM28M时，恒有yn<=-l7lM取K=max,N，则当>k时，恒有氏小呜所以IimxhyZl=0.11-KO4 .对于数列xm),若x2a-1a(k),x2ka(k),证明：xm«(?).证明因为X2J->4(%->8),所以V£>(),肪>0,当%>勺时，有-4Vg；又因为。(200)，所以对上述£>0，32>0»当攵>%2时，有|积一。|<£.记K=HBX占&，取N=2K,则当>N时，若n=2k-l,则左>K+g>Z,得氏一4=员1一<£，若=22，则Z>K22,得上一汗=卜2%一&<£.从而只要>N,就有x4<£,WIimx,=a.习题22（八）.对下图中函数f(),求下列极限，如极限不存在，说明理由.ylW() 1'1 1) Iim f(x) ； (2) Iim f(x) ； (3) Iim f(x). x-2x-1x0解(1) Iim f(x)=O; (2) Iim f() = -l ；.v-2Xf-I(3)lim(x)不存在，因为了()jf(0+).2 .对下图中所示函数/*),下列陈述中哪些是对的,哪些是错的？(1) IimF(X)不存在; Iimf(x) = 0： lim(x) = l;(4) limf(x) = 0 ；(5) Iimf(X)不存在: xl(6)对每个XoE(T)，Iim /*)存在.解 错，因为lim(x)存在与否，与/(0)的值无关.(2)对，因为/(0-) = /(0+) = 0.(3)错，因为lim(x)的值与/(O)的值无关.x0(4)错，/(l+0) = 0, /(I-O) = -I,故lim(jc)不存在.xl对，因为/(l + 0)f(l-0).(6)对.3.用极限定义证明：X2 4(1) lim(2x-l) = 1 ；(2) Iim= -4 ；IXT-2 + 2(3)Iim生2=2；(4)Iim半=0.18XT+oyJ证明(1)对于任意给定的£>0,要使不等式(x)-=(2x-l)-l=2x-l<成立，只需x-l<成立.取K=,则当0<上一1卜5时，恒有(2x-l)-l<.所以lim(2x-l)=1.XTI(2)对于任意给定的£>0,要使不等式-=-(-|"一露+2)÷4=x÷2<人I/II4I乙成立，只需取b=£即可.则当OVk+2|时，恒有x?4-(-4)<.x+2M4所以Iim-=-4.x-2+2(3)对于任意给定的£>0,要使不等式(x)-A=-2=t<33成立，只需一成立.取M=一,则当W>M时，恒有2x+3C2<.X，.2x+3C所以Iim=2.18X(4)对于任意给定的£>0,要使不等式I”、.sinx八1W-Al=L_0<<xx成立，只需x>F成立.取M=F,则当x>M时，恒有U习题2.2(B)1.当x2时，/(x)=x24,问3等于多少，使当卜一2|<5(x)-4<0.l?解由于x->2,x-20,不妨设卜一2|匕即l<x<3要使卜2-4=(+2)(X-2)<5x-2<0.001,只要x.2<l=0.0002,取5=0.0002,则当0<上一2|<6时，就有(x)-4v0.001.9 V2 +12 .当Xf 8时，/(x) = ±-222 ,问X等于多少，使当国>X时， X +31(x)-2 <0.01?解 因为|/(幻一2| = |当9一2|二35<.要使签，一2 <0.()1 ,只要4<0.01» SP>105 ,取X=IOJL 则当同>X 时，就有Ifa)-2V0.0L3 .讨论x0时，X-1,(1) f(x) =< 0, x + l,解由于下列函数的极限是否存在.x<0x = 0 ；%>0(2) f(x)sinx, -<x<0%, 0<xvlIim 于QC)= Iim(X-I) = -I,xOx0Iimf(x)=lim(x+l)=1,xO4xO4Iimf(x)Iimf(x).x0-x0*所以Iim/(x)不存在.(2)由于Iimf(x)=IimSinX=O,Iim/(x)=Iimx=0.x0x0x04x*故Iimf(x)=Iim/(x).所以Iimf(X)=0.x0x0*x0<nF蛤I,、3+ll+4.设函数/(X)=3，求：5-3x(1) Iim f(x) ；(2)吧/；(4)Iim f(x)；X>-00Iim F(X) .A2小.、1.X+X1.4xC解hm/(x)=IlmLi-LT=Iim=2.XfmXTx5x-3x<*x-2x(2) Iimf(x)=lim¾=Iim5%-3国XT-OC8x4Iimf(x)=Iim=川：1=Iim-=2.-+-to÷5x-3xo+2x/八£，、1.次+因1.2x1(4) Iimf(x)=Iimi-=Iim=3.ro-5x-3x-to-8x4r2-lr>2(5) 函数/(幻=",问当。取何值时，函数/(x)在Xf2时的极限存2x-aX<2在.解因为lim(x)=lim(2x+)=4+,x2-x2Iimf(X)=Iim(x2+1)=5.x2rxr由极限存在的条件，有Iimf(X)=Iim/(x),得=l.x2-xt习题2.3（八）1 .下列变量在何种情况下为无穷小，又在何种情况下为无穷大？1 X-I(1) ;(2)-T-;(3)In(X-I).I-XX-I解(1)由于Iim=O,故Xf8时，变量为无穷小.由于Iim=8,Xf30I-X1-x,I-X故Xg变量占为无穷大. 1r 1 1(2)由于IimF=0 ,故x->8时，变量为无穷小.由于Iim-= ,XToO x -1X -1XfT X -1r 1故XT时，变量F为无穷大.X-I(3)由于IimIn(X-I) = 0,故x2时，变量为In(X-I)无穷小. x2由于 Iim ln(x-l) = + ,或 Iimln(x-l) =- ,X-HX>xl+故X+或Xf广时变量In(X-I)为无穷大.2.根据定义证明:y = x-l为当xl时的无穷小;_ sinx为当X8时的无穷小X(1)因为所以V£>0,取S=£,则当o<k-<s时，就有I . I I(x-i)-o即尸1为当1-1时的无穷小.(2)因为COSXoJ,所以V£o,取X = L 则当国x时，恒有N£COSX一OV £ ,y=£2吐为当工8时的无穷小.X3.求下列极限.sinx(1) IimXTg XQ)Iim2 i -5x + 6(3)Hm =T -2解(1)因为SinJr是有界函数,X->8时，一为无穷小.所以X,.sinx.Iim=0.XTg(2)当x2时，x+1有界，f-5%+6为无穷小.所以lim=.22-5x+6z1.x-4(x+2)(x-2)(3) Iim=Iim=lm(x+2)=4.x2-2-t2-212习题23(B)1 .举例说明，两个无穷小的商不一定是无穷小；无穷小与无穷大的积不一定是无穷小.2_i解(D如lim(x-l)=O,Iim(X2-I)=O,但Iim=Iimer+1)=2.不是无穷小.rl.vIxl-XTl例如Iim(X-I)=0,Iim=,XTlxl厂1但是Iim(X-I)I=Iim:I=Iim!=不是无穷小.XTlx-1I
