函数压轴题型专题3函数的周期性对称性.docx

题型3函数的周期性、对称性1 .函数/(x)是定义在R上的奇函数，且/。1)为偶函数，当x0,l时，力=，若函数g(x)=/(X)尤一方恰有一个零点，则实数6的取值集合是()A.12Z,2k+ZzB.f2ZH,2A,AzI44jI22)C.I4k-Ak+-fkezD.I4A:+,4A:+-LkezI44)44J【解析】函数/(x)是定义在R上的奇函数，且/(x-l)为偶函数，f(-x)=-/(),(-l)=/(X-I),f(x_2)=F(X-1)-1)=/(-X)=-/(X),即f(x+2)=-f(x)9.f(x+4)=-f(x+2)=(x),.(x)的周期为4"woj时,f(%)=衣=y,X-1,0,-X0,1,/(-X)=(T)2=-fx，/(x)=-x,/(-X-I)=f(x-1),/./(x)=(-x-2),fM周期为4,/(x)=/(-X-2)=/(-X+2),当X1,2,-X+2。1J(X)=/(-%÷2)Jr+2,当X2,3,一+2-1,0J(x)=f(-x÷2)=-Jx-2,做出函数f()图像，如下图所示:令g(x)=f(x)-x一人=0，当xf-l,O,gx)=fx-x-b=-4-x-x-b=0,_xb=占,两边平方得/+(26+1*+。2=0,A=(2b+l)2-4从=48+1=0,匕=一,，4此时直线与/()在xe1,0函数图像相切，与函数有两个交点，同理/?=一"，直线与/(幻在x4,5函数图像相切，与函数有两个交点,4则要使函数f(x)在1,4内与直线y=x+Z?只有一个交点，则。满足<b<,/()周期为4,44b范围也表示为44所以所有b的取值范围是4k+1</?<4&+”,ZZ.44故选:D.2.设函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(-2)=-f(x)对一切xR恒成立，当TWXWI时，f(x)=x3,则下列四个命题：f(x)是以4为周期的周期函数.f(x)在1,3上的解析式为f(x)=(2-)3.33f(x)在(-,/(一)处的切线方程为3x+4y-5=0.f(x)的图象的对称轴中，有x=±1,其中正确的命题是()A.B.C.D.【解析】/(x)=-(x-2)=/(x-4).=4当1<x3时，f(x)=-f(x-2)=-(X-2)3=(2-X)3当1<X<3时，f,(x)=-3(x-2)2.M=,()=-,()=",所以切线方程为133y=-(x-)/.3x+4y-5=0/(x)=一/(X2)=/(2-x),(x-2)=-/(x)=/(-x).f(x)的图象关于X=±1对称，因此选D.3 .设函数/(%)为定义域为R的奇函数，且/(%)=f(2%),当0,1时，f(x)=sinx,则函数g(x)=ICOSTrXI-f(外在区间一慨,U上的所有零点的和为()A.6B.7C.13D.14【解析】由题意，函数f(r)=-/(x),f(x)=f(2一x),则一/(T)=/(2-x),可得/(%+4)=/(x),即函数的周期为4,且y=/(x)的图象关于直线=1对称.g(%)=cos(nx)-/(%)在区间-|,，上的零点，即方程ICoS(x)=/(x)的零点，分别画y=cos(%)与y=f(x)的函数图象，；两个函数的图象都关于直线X=I对称，二方程ICOS(x)=f(x)的零点关于直线X=I对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6,故选A.4 .定义在R上的奇函数f()满足(2+x)=(2-x),当XWO,2)时，/(x)=-4x2+8x.若在区间凡句m=l上，存在皿机之3)个不同的整数Xa=I,2,.,m),满足WJ)一(XR)I72,则。一的最小值为()I=IA. 15【解析】B. 16C. 17D. 18图形如下：定义在R上的奇函数/(x)满足/(2+x)=(2-x),得+2+2)=(2-x-2)=(-x)=-(x),即/G+4)=/(x),:则/(x+4)=-(x+4)=-f(x)=(x)./(x)的周期为8.函数/(x)的当不同整数可分别为T,1,2,5,7时,ba取最小值，/(-1)=-4,/(1)=4,/(2)=0,至少需要二又四分一个周期，则b-a的最小值为18,故选D5 .已知偶函数(r)满足/(3+x)=f(3T),且当x0,3时，=Xew若关于X的不等式/2(同一"'(同0在-150,150上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是()(_3/_3(LA.0,e2B.e2,3e£C.3eD.e92elL/JJ【解析】因为偶函数/(%)满足f(3+x)=(3),所以f(6)=(x)=/(T),即/(6+x)="x),所以函数/(x)是以6为周期的周期函数，当X0,3时，/()=Xe2，所以r(x)=/(i£),当0x<2时，r(x)>,函数/(力递增；当2vx3时，(x)<0,函数/(x)递减:当当x=2时，函数/(“取得极大值F(X)=7作出函数/(x)在(-3,3上的图象，如图所示：因为不等式/2(X)-V(X)>0在-150,150上有且只有150个整数解,所以不等式r(x)丁(x)>0在(-3,3上有且只有3个整数解，当/(x)=0时，不符合题意，故不等式x)>t在(-3,3上有且只有3个整数解，因为/=NJ=3/，所以黑=。>1，即/(i)<(3),/(Oe故不等式力>1在(-3,引上的3个整数解分别为-2,2,3,所以，"l)<r<，即<f<3>,故选：B6.已知函数g(x),(工)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g(x)+z(x)=e"+sinx-x,若函数/(X)=少一网一融(工_2020)2储有唯一零点，则实数丸的值为()A.T或B.1或一，C.-1或2D.一2或122【解析】解：已知8(工)+/7(工)="+5111X一%,且g(x),z(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则g(-x)+h(-x)=ex+sin(-x)+x,得：g(x)-MX)=Cr-sinx+x,+得：g(x)=与二由于上一2020关于工=2020对称，则3卜2网关于X=2020对称，g(x)为偶函数，关于y轴对称，则(X-2020)关于X=2020对称，由于/(力=犷2网一加(冗_2020)-2%有唯一零点，则必有/(2020)=0,g(0)=l,即：/(2O2O)=3o-(O)-22=1-22=O,解得：丸=1或一.2故选：A.7.已知函数/*)为/?上的奇函数，且图象关于点(3,0)对称，且当X(0,3)时，/()=(l)x-l,则函数f(x)在区间2019,2024上的()3 7A.最小值为B.最小值为4 87C.最大值为0D.最大值为一8【解析】函数/(x)的图像关于点(3,0)对称，.(6+x)=-(-x).又函数/(x)为奇函数，J(6+x)=/(A:),函数/(x)是T=6的周期函数，Q2019=337×6-3,2024=337x6+2,由周期性可知，函数在区间2019,2024上的图像与在区间-3,2上的图像一样，又当x(0,3)时，/(x)=(i-l,由指数函数性质知在区间(0,3)上单调递减，文函数f为/?上的夺函数，故当Xe(TO)时，/(幻二1一2"故在(TO)上单调递减，且/=0,所以了(力在区间(T3)上单调递减，即“力在区间(-3,2上单调递减，函数取得最小值2)=-“3故函数在区间2019,2024上的最小值为一己4故选：A.【点睛】结论点睛：本题主要考查函数的性质及对称性与周期性的综合应用，函数周期性常用结论：(1)f(x+a)=f(x-d),则函数的r=2:(2)若f(%+)=-F(X),则函数的7=2；(3)若/(x+)=77,则函数的T=2;f(x)(4)函数/(x)关于直线式=Q与x=b对称，那么函数/(力的7=2|力一；(5)若函数力关于点(,0)对称，又关于点他,0)对称，则函数/(x)的r=2b-a;(6)若函数/(x)关于直线X=。对称，又关于点伍,0)对称，则函数/(x)的丁=4|。一.8.已知/(x)是定义在/?上的奇函数，满足/(x)=-f(x+l),当0xg时，/(尤)=五，则下列结论错误的是()A.方程/(同-X+4=0最多有四个解B.函数/()的值域为_4,4C.函数/(力的图象关于直线x=g对称D.f(2020)=0【解析】由)=-(%+D可得:/(x+l)=-(x+2),则f(x)=(x+2),所以函数/(X)的周期为2,所以/(2020)=/(0)=0,。正确，排除0；再由f(x)=-/(x+l)以及f(x)=-f(-x),所以(-x)=+l),则函数/(x)的对称轴为X=',C正确，排除C；2当噫Ikg时，/(x)=70,又函数是奇函数，一；殁火0时，fM=e,0】，即一1触:时/(x)w-<,<,又因为函数/(力的对称轴为X=-t213所以5领k5时/(%)13所以一领k时/()又因为函数/*)的周期为2,所以函数/O)的值域为,8正确，排除8:故选：4.9.已知定义在R上的函数/(光)满足f(x)=(x+2),且当一lxl时，/(x)=2,函数g(x)=x+J,实数。，b满足若x。,句，3x21-72,使得/(M)=g(x?)成立，则的最大值为()A.WB.1C.2D.2【解析】当X-T,)时，g(x)(,令2忖=可得X=±；.V(x)=(x+2),/(x)的周期为2,所以/(x)在-1,5的图象所示：故选：B.10.定义在R上的奇函数/(x)满足/(2-x)=(x),且在0)上单调递减，若方程/(X)=T在0,1)上有实数根，则方程/(x)=l在区间-1,11上所有实根之和是()A.30B.14C.12D.6【解析】由"2-X)=/(x)知函数/(x)的图象关于直线X=I对称，V/(2-x)=(x),F(X)是/?上的奇函数,/D=/(冗+2)=-x),(x+4)="x),：,/(力的周期为4,考虑了(x)的一个周期，例如-1,3,由/(九)在0,1)上是减函数知力在(1,2上是增函数，f(x)在(T,0上是减函数,f(x)在2,3)上是增函数,对于存函数外力有f(0)=0,/(2)=/(2-2)=/(0)=0,故当x(0,l)时,/(x)<(0)=0,当x(l,