2.6平面向量数量积的坐标表示学案解析版.docx
§6平面向量数量积的坐标表示学习目标核心素养1 .掌握数量积的坐标表达式.(重点)2 .能用坐标表示两个向量的夹角，判断 两个平面向量的垂直关系.(重点)3 . 了解直线的方向向量的概念.(难点)1 .通过学习直线方向向量的概念 及数量积的坐标表示，体会数学 抽象素养.2 .通过求解两向量的夹角及判断 两向量的垂直关系，提升数学运 算素养.自主预习AjS新Sffl H¾p¾ SI M . jj XIZ ¾*f新知初援Q1 .平面向量数量积的坐标表示设向量 =(, y), b=(X2, ”).(I)=xx2+viv2;(2)2=H+y?,即同=,I+M；(3)设向量a与b的夹角为仇则cos 6=儡J=心滑(4) ± 今x2+wv2=0.思考1：垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？提示能.a-Lb<ab=xx2+yy2=O.2 .直线的方向向量给定斜率为A的直线/,则向量m=(1, 一与直线/共线,我们把与直线/共 线的非零向量m称为直线/的方向向量.3 考2：直线的方向向量唯一吗？提示不唯一.因为与直线/共线的非零向量有无数个，所以直线/的方向 向量也有无数个.初试身毛THL (2019全国卷 II)已知蕊=(2,3), AC= (3,6 BC=lt 则H3"=()A. -3 B. -2 C. 2 D. 3C 因为3C=AC-A8=(1, r-3),所以IBCl=N1+Q3)2=1,解得，=3,所以BC=(1,0),所以A88C=2Xl+3X0=2,故选 C.2 .已知 ”=(2, -1), b=(l, x),且。_L5,贝IJX=.2 由题意知 b=2xl+(-l)x=0,得x=2.3 .已知向量 =(4, -1), b=(xt3)9 若MI =步贝IJX=.±22 由IGl = Ibl得14?+( l)2=d+32,解得 x=±244 .已知=(3, -1), =(1, -2),则。与。的夹角为.；设Q与万的夹角为2则COS H * 1甘二"=当,又。0, ,JT所以合作探究。提素养HE/UO【AZIIUrISUYAZ3平面向量数量积的坐标运算【例1】 已知向量和b同向，b=(l,2), b=10,求: (1)向量。的坐标；(2)若 c=(2, 1),求(c)b.解 1 (1)设 =劝=(九 2)(A>0).VZF=10, 5A5cos 0o=10, 解得 z=2. *. u(2,4).(2)(ac)=(2×2÷4×(- l)=0Z>=0.现件方法进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常 有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先 利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.跟踪训练1. (1)已知向量 =(2,l), b=(-f &), (2一5)=0,则 =()A. 12B. 6C. 6D. 12(2)已知正方形ABCD的边长为2, E为CO的中点，点尸在Ao ±,AF=2FZ),则Bab=.2(I)D (2)§ Kl)2a 。= (4,2) ( 1, k) = (5,2-&),由 a(2a-b) = 0f 得(2,l)(5,2-k)=0,所以 10+2=0,解得 C=I2.(2)建立平面直角坐标系如图所示,则A(0,2), E(2,l), 0(2,2), B(0, O), C(2,0),因为/=2而，所以戏，2).所以薪=(2,1), =f, 2j-(2,0)所以而盾=(2,1)(一右2)=2 X (-)+IX 2=IJ【例2】 已知=(l,2), b=(l, z),分别确定实数2的取值范围，使得:(Da与力的夹角为直角；(2)与力的夹角为钝角；(3)与力的夹角为锐角.解=(l,2)-(1, 2)=1+2%(1)因为。与力的夹角为直角，所以CoS。=0,所以ab=Of即 1+22=0,所以 =3.(2)因为与b的夹角为钝角，所以 cos。V0,且 CoSeW 1,所以bVO,且与力不反向.由。力VO,得 1+2VO,故4VT由与共线得/1=2,故。与力不可能反向.所以/1的取值范围为(一8, g)(3)因为。与的夹角为锐角，所以 CoSO>0,且 COSOW1, 所以b>O且明办不同向.由。协>0,得>一,由与b同向得=2.所以/1的取值范围为(一；，2JU(2, +8).规律方法1 .已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式IaI=Yf+y进行计 算.2 .求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；(2)再求出两向量的模；h(3)由公式cos。=而而，计算CoSe的值；(4)在O, 内,由CoSe的值确定角夕跟踪训练2.已知 =(l,2), b=(-2, 4), c=y5.求|°+2如(2)若(+b)c=,求向量。与。的夹角.解(1)。+2方=(1,2)+2(-2, -4)=(-3, 一6), a+2Z>=(-3)2+(-6)2 = 35.(2)”=(-2, 4)= 2(1,2)=-2,*,a-rb= at (a+O)c= - ac=,.设。与C的夹角为Q9C则 cos e=r-；Mc5-25×512,2V0, .'O=铲,2即与C的夹角为l兀向量的模探究问题1 .由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？提示设 Aa1, y), Ba2, ”)，则A8=(X2-XI, y2-y)f 由向量长度的坐标表示可得 HBl = IA8| =J(2-x)2+072-y)2.2 .求向量的坐标一般采用什么方法？提示一般采用设坐标、列方程的方法求解.【例3】 设平面向量=(l,l),8=(0,2)求a2b的坐标和模的大小.思路探究I利用向量的坐标运算求得a2b的坐标表示，然后求模.解Va=(l,l), b=(0,2),a-2Z=(1,1)-2(0,2)=(1, -3),：.a - 2b =l2+(-3)2=T.母题探究1.将例3中的条件不变，若c=3a-(a b)b,试求c.解。力=IXO+1X2=2,c=3(lJ)-2(0,2)=(3, -1), H=32+(-l)2=i.2 .将例3中的力=(0,2)改为=(0, -2),其他条件不变，若kab与a+b共线，试求攵值.解V=(1,1), b=(0, -2),一b = 2(l,l)-(0, -2)=, Z+2).+b=(l,1)+(0, -2) = (1, -1).：kab 与 a-Vb 共线，k+2(-A)=0.：.k=-,3 .将例3中的力=(0,2)改为。=(0, -2),其他条件不变，若久一。的模等 于T,试求改值.解ca-b=k()-(Of -2)=氏 /:+2),ka-b的模等于而.2+(+2)2=l,化简得F+2Z-3=0,解得A=I或=3.即当女=1或=3时满足条件.律方法求向量的模的两种基本策略(1)字母表示厂的运算利用MF=/,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示厂的运算,若=(x, y),则Q=2=x2+P ,于是有IGI = y2+y2.厂7 课堂小结F1 .设 Q=(X1, y), )=(X2, ”)，贝！J a_Lb<=>xiX2+yi”=0.应用该条件要注意：由aLb可得RIX2+y1y2=O;反过来，由xx2+yy2=O 可得a±b.2 .向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度 和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的 长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直.当堂达标固理基ggWlHNwaTTmCTRTW1 .判断(正确的打“ J”，错误的打“X”)若两非零向量的夹角O满足cos 0V0,则两向量的夹角0 一定是钝(2)若 A(J, y), B(X2, ”)，则A8 =(x2一加)?+任2y尸.()（3）两向量。与）的夹角公式cos 0=xX2-yyz行+而+货的使用范围是a0且bW0.()答案(1)× (2) (3)2 .已知。=(一小，-1), Z>=(l, 3),那么 ,。的夹角 8=()A. 30o B. 60o C. 120o D. 150°一333D cos =-V,又因为 e0°, 180°,所以。=150。1Z ZZ3,已知向量=(l, )，6=(1, )，若2ab与b垂直，则Ial等于()A. 1B.2C. 2D. 4C (2。一力)为=2。力一|例2=2(-1+2)(1+2)=2_3=0, =÷3. a=2+n2=2.4.己知。=(一3, -2), >=(-4, %,若(5。一力。一3)=-55,试求的 坐标.解=(3, -2),6=(-4,江 5ab=111, 10k).b-3a=(5, Z+6),.(50-1)Q-3a)=(-11, 10A)(5, Z+6)=一 55(4+ IO)(A+6)= -55,(&+10)(&+6)=0,:k= - 10 或 k= -6,.*.=(4, -10)或 6=(-4, -6).
