小学六年级奥数详解-工程问题.docx
第一讲工程问题工程问题是应用题中的一种类型.在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）.这三个量之间有下述一些关系式：工作效率X工作时间=工作总量，工作总量÷工作时间=工作效率，工作总量÷工作效率=工作时间.为表达方便，把这三个量简称工量、工时和工效.例1一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成,甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？分析设这项工程为1个单位，那么甲、乙合作的工效为乙、丙合12作的工效为甲、丙合作的工效为L。因此甲、乙、丙三队合作的工效的15202倍为+'+所以甲、乙、丙三队合作的工效为（,+L+L）÷2='°12152012152010因此三队合作完成这项工程的时间为1÷，二101天）解：1÷-+-+-）÷2=10（天）121520答：甲、乙、丙三队合作需10天完成.说明：我们通常把工量”一项工程看成一个单位，这样，工效就用工时的倒数来表示。如例1中甲、乙两队合作的工时为12天，那么工效就为工，12它表示甲、乙两队一天完成全部工程的12例2师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务,师傅先做5天后，因事外出，由徒弟接着做3天，共完成任务的二批零件各需几天？10分析设一批零件为单位“1，其中6天完成任务，用!表示师徒的工效和.要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天.解：师傅工效：（-1-1×3）÷2=±10610徒弟工效：61015师傅单独做需几天：l÷=101天）徒弟单独做需几天：1÷=15（天）°答：如果单独做，师傅需10天，徒弟需15天.例3一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天.假设甲先做假设干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？分析解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据题目的条件，找到等量关系，列方程解题。解：设甲做了X天.那么,甲完成工作量的X,乙做的天数10X,12乙完成工作量（ioXL9因此L+（10-X）×1=1,129两边同乘36,得到：3x+40-4x=36x=4.答：甲做了4天.例4一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成.如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？分析设一件工作为单位“1.甲做6小时，乙再做12小时完成或者甲先做8小时，乙再做6小时都可完成，用图表示它们的关系如下：由图不难看出甲2小时工作量=乙6小时工作量，甲1小时工作量=乙3小时工作量.可用代换方法求解问题.解：假设由乙单独做共需几小时：6X3+12=30（小时）.假设由甲单独做需几小时：8+6÷3=10（小时）.甲先做3小时后乙接着做还需几小时：(10-3)×3=21小时).答：乙还需21小时完成.例5筑路队预计30天修一条公路.先由18人修12天只完成全部工程的o如果想提前6天完工，还需增加多少人？分析由18人修12天完成了全部工程的L可通过18X12求出用一天3完成！工作量共需要的总人数,也可通过18X12求出用一人完成！工作量共需33要的总天数。所以由L÷(18X12)求出1人1天完成全部工程的几分之几(即3一人的工效)。解：1人1天完成全部工程的几分之几(即一人的工效)：-÷(18X2)=3648剩余工作量假设要提前6天完成共需多少人：(I-I)÷-×(30-12-6)3648_2,123.648=36(人)需增加几人：36-18=18（人）.答:还要增加18人.例6蓄水池有一条进水管和一条排水管.要灌满一池水，单开进水管需5小时.排光一池水，单开排水管需3小时.现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水的顺序轮流各开1小时.问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）分析与解答在解答“水管注水问题时，会出现一个进水管，一个出水管的情况.假设进水管、出水管同时开放，那么积满水的时间=1÷（进水管工效一出水管工效）。排空水的时间=1÷（出水管工效一进水管工效）.这道应用题是分析推理与计算相结合的题目.根据条件推出水池中的水每小时减少一二2。水池中有半池水即工,经过6小时后还剩,一Zx（635152215÷2）=Io如果按进水、排水的顺序进行，那么又应进水1小时，这时水池10内共有水如果按每小时！的流速排出需要÷J=2（小时），共10510310310用的时间为6+1+卷=7.9（小时）=7小时54分刚好排完。例7一件工作，甲5小时先完成了1，乙6小时又完成了剩下任务的一4半，最后余下的局部由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成？分析这道题是工程问题与分数应用题的复合题.解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量转化为占单位“1（总工作量）的几分之几？解：甲工作效率：1÷5=-L;420乙工作效率：1-)×1÷6=-；4216余下局部甲、乙合作需要几小时：U-)X(1-)÷(+-)=3(小时)4220163答：还需要其小时才能完成任务。例8甲、乙二人植树，单独植完这批树甲比乙所需要的时间多L如果3二人一起干，完成任务时乙比甲多植树36棵，这批树一共多少棵？分析求这批树一共多少棵，必须找出与36棵所对应的甲、乙工效差。乙知甲比乙所用的时间多可以求出甲与乙所用的时间比为4：3o当工作总量3一定的情况下，工效与工时成反比例，甲与乙的工时比为1=4：3,所以甲3与乙的工效比是3：4o这个间接条件一旦揭示出来，问题就得到解决了。解：设乙所用时间为“1，甲的时间是乙的1+1二J(倍)，那么甲与33乙的时间比是4：3。工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工效比是时间比的反比，为3：4。共植树多少棵：36÷(£-3)=252(棵)77答：这批树一共252棵.例9加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的I没有完成。乙知甲每天比乙多加工3个零件，求这批零件共多少个？分析欲求这批零件共多少个，由题中条件只需知道甲、乙二人每天共做多少个即可，然后这就转化为求甲、乙两人单独做各需多少天，有了这个结论后，只需算出3个零件相当于总数的几分之几即可.由条件知甲做16天，乙做12天共完成工程的I,也即相当于甲、乙二人合做12天，另外加上甲又做4天共完成这批零件的|；又知道甲、乙二人合做24天可以完成，因此甲单独做所用天数可求出，那么乙单独做所用天数也就迎刃而解。解：甲、乙合作12天，完成了总工程的几分之几?×12=1242甲1天能完成全工程的儿分之儿？÷(16-12)=5240乙1天可完成全工程的几分之几？J_J_=J_244060这批零件共多少个?3÷%一=360（个）答：这批零件共360个.例10一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成.假设甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？分析要求共用多少小时？可以设想把这些小时重新分配：甲做1小时，乙做1小时，它们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做1小时.这样先大致算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下局部问题就好解决了.解：假设甲、乙两人合作共需多少小时？1÷（-+-=7-（小时）12185甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？l-7×（+）=121836余下的,由甲单独做需要多少小时？36-÷-=-（小时）36123共用了多少小时？7X2+1=14-（小时）33答：共用了14LJ、时。3习题一1, 一项工程，甲单独做12天可以完成.如果甲单独做3天，余下工作由乙去做，乙再用6天可以做完.问假设甲单独做6天，余下工作乙要做几天？2, 一条水渠，甲乙两队合挖30天完工.现在合挖12天后，剩下的由乙队挖，又用24天挖完.这条水渠由乙单独挖，需要多少天3,客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，经2小时24分钟相遇，相遇时客车比货车多行9.6千米.客车从甲站到乙站行4小时30分钟，求客车与货车的速度各是多少？4,水箱上装有甲、乙两个注水管.单开甲管20分钟可以注满全箱。现在两管同时注水2.5分钟，注满水箱的二。如果单开乙管需要多少分钟注满水箱？5, 一项工程，甲、乙单独做分别需要18天和27天.如果甲做假设干天后，乙接着做，共用20天完成.求甲乙完成工作量之比.6, 一项工程，甲、乙两队合作6天能完成单独做，甲完成！与乙完成63上所需时间相等。问单独做甲、乙各需多少天？27,做一批儿童玩具.甲组单独做10天完成，乙组单独做12天完成，丙组每天可生产64件.如果让甲、乙两组合作4天，那么还有256件没完成.现在决定三个组合做这批玩具，需要多少天完成？
