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第七章传递函数矩阵的矩阵分式描述与结构特性引言引言 传递函数矩阵的矩阵分式描述（MFD,Matrix Fraction Description）是复频域理论中表征线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。本章前半部分将对MFD做较为系统和全面的讨论，主要内容包括MFD的形式、构成、真性、严真性和不可简约性等。本章后半部分讨论传递函数矩阵的结构特性，它是复频域分析和综合的基础。传递函数矩阵的结构特性由极点和零点的分布属性、极点和零点的不平衡属性表示：极点和零点的分布属性：极点和零点的分布属性：决定系统的稳定性和运动行为；极点和零点的不平衡属性：极点和零点的不平衡属性：反映系统的奇异特性和奇异程度。其中，我们需要重点掌握的内容包括Smith-McMillan型、结构指数、极点和零点。本章主要内容本章主要内容1.矩阵分式描述2.规范矩阵分式描述3.埃米特型、波波夫型、史密斯-麦可米伦型MFD4.传递函数矩阵的极点、零点和结构指数5.传递函数矩阵的评价值（略）6.传递函数矩阵的零空间和最小多项式基（略）7.1 矩阵分式描述矩阵分式描述 MFD实质上就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表示为两个多项式矩阵之“比”。MFD形式上则是对标量有理分式形式传递函数g(s)相应表示的一种自然推广。1 右右MFD和左和左MFD 考虑p维输入和q维输出的连续线性时不变系统，其输入输出关系的传递函数矩阵G(s)为qp有理分式矩阵，其表示形式为)17()()()()()()()()()(11111111sdsnsdsnsdsnsdsnsGqpqpqqpp 严格真有理矩阵：严格真有理矩阵：有理矩阵 G(s)满足 G()=0。真有理矩阵：真有理矩阵：有理矩阵 G(s)满足 G()=G0(非零常数)。考察G(s)是否为严格真有理矩阵或真有理矩阵，只要观察G(s)中的元素 gij(s)=nij(s)/dij(s)是否有 deg nij(s)deg dij(s)。数学上，对qp有理分式矩阵G(s)，总能因式分解成：右矩阵分式描述右矩阵分式描述：G(s)=Nr(s)Dr-1(s)(6-2)和左矩阵分式描述左矩阵分式描述：G(s)=Dl-1(s)Nl(s)其中 右分母矩阵右分母矩阵：pp 阶方阵Dr(s)；右分子矩阵右分子矩阵：qp 阶矩阵Nr(s)；左分母矩阵左分母矩阵：qq 阶方阵Dl(s)；左分子矩阵左分子矩阵：qp 阶矩阵Nl(s)。)()(00)()(000000123222113121112122322222111311211111321232221131211323222121313212111232322222121131312121111sNsDnnnnnndddndndndndndnsDsNdddnnnnnndndndndndndndndndndndndnllrrrrrrrrrrccccccccc其中dci是G(s)中第i列元素的最小公分母；dri是G(s)中第i行元素的最小公分母。例如，【例例7-1】给定23传递函数矩阵G(s)为 解解 首先构造G(s)的右MFD。为此，定出G(s)各列的最小公分母如下：dc1(s)=(s+2)(s+3)2，dc2(s)=(s+3)(s+4)，dc3(s)=(s+1)(s+2)1433)1(231)3)(2(1)(2ssssssssssssssG 进而，构造G(s)的左MFD。为此，定出G(s)各行的最小公分母如下：dr1(s)=(s+2)(s+3)2，dr2(s)=(s+1)(s+3)(s+4)由此可以导出G(s)的右MFD为1221)2)(1()4)(3()3)(2()2()3()3)(2)(1()1()4)(1(1)()()(ssssssssssssssssssDsNsGrr由此可以导出G(s)的左右MFD为2 MFD的特性的特性 (1)MFD的实质的实质 类似于SISO线性时不变系统的传递函数的分式化表示，)4)(3()3)(1()4()1()3()3)(2)(1(1)4)(3)(1()3)(2()()()(222121sssssssssssssssssssNsDsGll)37()()()()()()()(11snsdsdsnsdsnsgMIMO线性时不变系统的传递函数矩阵的MFD G(s)=Nr(s)Dr-1(s)=Dl-1(s)Nl(s)实质上，上式也属于G(s)的分式化表示。因此，称Dr(s)、Dl(s)为G(s)的分母矩阵，Nr(s)、Nl(s)为G(s)的分子矩阵。(2)MFD的次数的次数 对传递函数矩阵G(s)的一个右MFD，规定 Nr(s)Dr-1(s)的次数=deg det Dr(s)(7 4)对传递函数矩阵G(s)的一个左MFD，规定 Dl-1(s)Nl(s)的次数=deg det Dl(s)(7 5)注：注：对于同一个G(s)，其右MFD的次数和左MFD的次数一般不相等。(3)MFD的不惟一性的不惟一性 对传递函数矩阵G(s)，其右MFD和左MFD 不惟一，且不同的MFD可能具有不同的次数。解解 G(s)的两个MFD为 【例例7-2】给定22传递函数矩阵G(s)为22222)2()2()2()2()1()(ssssssssssG1222122122221112)2()2()1(00)()()()2(00)2()1()1()()()(ssssssssDsNsGsssssssssDsNsGrrrr并且可求出deg detD1r(s)=6，deg detD2r(s)=5。两右MFD的次数是不等的。对于传递函数矩阵G(s)的MFD，无论是右MFD还是左MFD，表征其结构特征的两个基本特性为真性（严真性）和不可简约性。3 真性真性(严真性严真性)有理矩阵定理有理矩阵定理 定理定理7-1 设G(s)是 rm 阶真性(严真性)有理矩阵，G(s)=Nr(s)Dr-1(s)=Dl-1(s)Nl(s)，则)117(,2,1)()()()()107(,2,1)()()()(risDsNsDsNmjsDsNsDsNlrilrilrilrircjrcjrcjrcj和242120)(,1624737412)(223222sssssssDsssssssssNrr 【例例7-3】真有理矩阵G(s)=Nr(s)Dr-1(s)，其多项式矩阵Nr(s)、Dr(s)如下 从两个多项式矩阵可知，c1Nr(s)=2 c1Dr(s)=2 c2Nr(s)=2 c2Dr(s)=3 注意注意：上述定理的逆命题并不成立，下面是一个说明这个问题的实例。【例例7-4】矩阵 G(s)=Nr(s)Dr-1(s)，多项式矩阵Nr(s)、Dr(s)如下111)(,21)(2ssssDsNrr 解解 由两个多项式矩阵可知，cjNr(s)cjDr(s)，j=1,2但是，G(s)=Nr(s)Dr-1(s)=-2s1 2s2-s+1 却是多项式矩阵，既不是真有理矩阵，更不是严格真有理矩阵。定理定理7-2 设Nr(s)和Dr(s)是rm和 mm 阶多项式矩阵，且Dr(s)是列既约的，则有理矩阵 Nr(s)Dr-1(s)是真性(严真性)有理矩阵的充要条件是)217(,2,1)()()()(mjsDsNsDsNrcjrcjrcjrcj 定理定理7-3 每一个非奇异多项式方阵M(s)都可以通过单模矩阵Ur(s)或Ul(s)将其变换成列既约矩阵M(s)Ur(s)或行既约矩阵Ul(s)M(s)。（祥见上一章）定理定理7-4(多项式矩阵除法定理多项式矩阵除法定理)设Nr(s)和Dr(s)是两个rm和mm阶多项式矩阵，且Dr(s)非奇异，则存在唯一的rm阶多项式矩阵Qr(s)和R(s)使得 Nr(s)=Qr(s)Dr(s)+R(s)(7-31)且 R(s)Dr-1(s)是严真性有理矩阵，或者说在Dr(s)为列既约条件下 cj R(s)cj Dr(s),j=1,2,m (7-32)定理定理7-4的对偶定理的对偶定理 设Nl(s)和Dl(s)是两个rm和rr阶多项式矩阵，且Dl(s)非奇异，则存在唯一的 rm 阶多项式矩阵Ql(s)和L(s)使得 Nl(s)=Dl(s)Ql(s)+L(s)(7-33)且 Dl-1(s)L(s)是严真性有理矩阵，或者说在Dl(s)是行既约的条件下，有 ri L(s)deg dij(s)，j=1,2,i-1。当dii(s)=1，满足关系式 dij(s)=0，j=1,2,i-1。则称Nrh(s)Drh-1(s)为G(s)的列Hermite型MFD。)407()()()()()()()(21222111sdsdsdsdsdsdsDpppprh 定义定义7-2 行Hermite型MFD 对于qp传递函数矩阵G(s)的左MFD，G(s)=Dlh-1(s)Nlh(s)，如果qq分母矩阵Dlh(s)具有行Hermite型：其中，对角元dii(s)为首1多项式，i=1,2,q。当dii(s)为含s多项式，满足关系式deg dii(s)deg dji(s)，j=1,2,i-1。当dii(s)=1，满足关系式 dji(s)=0，j=1,2,i-1。则称Nrh(s)Drh-1(s)为G(s)的列Hermite型MFD。)417()()()()()()()(22211211sdsdsdsdsdsdsDqqqqlh Hermite型型MFD的惟一性的惟一性 对qp传递函数矩阵G(s)，其所有不可简约右MFD均具有相同列Hermite型MFD Nrh(s)Drh-1(s)，其所有不可简约左MFD均具有相同行Hermite型MFD Nlh(s)Dlh-1(s)。证明证明 略。2 Popov型型MFD 对qp传递函数矩阵G(s)，给出Popov型右MFD和Popov型左MFD的定义。定义定义7-3 Popov型MFD 对于qp传递函数矩阵G(s)的MFD，G(s)=NrE(s)DrE-1(s)=DlE-1(s)NlE(s)。如果pp分母矩阵DrE(s)具有Popov型，则称NrE(s)DrE-1(s)为G(s)的Popov型右MFD；如果qq分母矩阵DlE(s)具有Popov型，则称NlE(s)DlE-1(s)为G(s)的Popov型左MFD。Popov型型MFD的惟一性的惟一性 对qp传递函数矩阵G(s)，其所有不可简约右MFD均具有相同Popov型右MFD NrE(s)DrE-1(s)，其所有不可简约左MFD均具有相同Popov型左MFD NlE(s)DlE-1(s)。证明证明 略。7-3 史密斯史密斯-麦可米伦型麦可米伦型 史密斯-麦可米伦（Smith-McMillan）型是有理分式矩阵的一种重要规范型。由B.McMillan于1952年在推广多项式矩阵的Smith型基础上提出。它是分析传递函数矩阵的极点和零点的重要的概念性和理论性工具。1 Smith-McMillan型的定义型的定义 定义定义7-4 Smith-McMillan型的定义：当且仅当秩为r的qp有理分式矩阵M(s)具有如下形式：其中，i(s),i(s)为互质，i=1,2,r；满足整除性i+1(s)|i(s)和i(s)|i+1(s)为，i=1,2,r-1。则称该M(s)为Smith-McMillan型。)617(000)()()()()()()(2211sssssssMrr2 Smith-McMillan型构造原理型构造原理 对于qp有理分式矩阵G(s)，设 r=Rank G(s)minq,p则必存在qq和pp单模阵U(s)、V(s)，使得变换后传递函数矩阵U(s)G(s)V(s)为Smith-McMillan型。【例例7-5】导出下列22严格真有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型。解解 首先定出G(s)各元有理分式最小公分母d(s)和相应分子多项式矩阵N(s)，有 22222)2()2()2()2()1()(ssssssssssG22222)1()1()1()(,)2()1()(ssssssssNsssd进而，取单模阵对U(s)、V(s)，10)1(1)(,1)1(
