实验二迭代法初始值与收敛性.docx
实验二：迭代法、初始值与收敛性:实验要求考虑一个简单的代数方程x2-x-=0.针对上述方程，可以构造多种迭代法，如XN=d=1+'b,u=+1等。在实轴上取初值，分别用以上Xn迭代做实验，记录各算法的迭代过程。二：实验要求及实验结果(1) 取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同放入初始值，反复实验。请读者自行设计一种比较形象的记录方式(如何利用Matlab的图形功能)，分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系。(2) 对三个迭代法中的某一个，取不同的初值进行迭代，结果如何？试分析对不同的初值是否有差异？实验内容：i)对七+1=W-1进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值-0.6,1.6进行实验，并画出迭代结果的趋势图。编写MATLAB运算程序如下：%迭代法求解%令x=x2-1clearn=30;x=-0.5;X1=x2-1;fori=l:nx!=x12-1;xx(i)=xl;endm=linspace(0,29,n);plot(m,xx)title(,x=-0.5')如上图所示，选取初值分别为-0.6、1.6时，结果都是不收敛的。分析：g(x)=x-,g(x)=Ix,要想在某一邻域上Ig(X)I=2xvl,则DXe但是所以不存在某个邻域使得该迭代公式收敛。即迭代公式对任何初值都是发散的。ii)对七u=l+-!-进行迭代运算，选取迭代次数n=30；分别选择初值=07,2.1进行实验，并画出迭代结果的X"趋势图。编写MATLAB运算程序如下：%迭代法求解%令x=x2-Iclearn=20;x=-0.5;xl=l+Lx;fori=l:nxl=l+Lxl;xx(i)=xl;endm=linspace(0,29,n);plot(m,xx,b,)title(,x=-0.5')如上图所示，选取初值分别为-0.7、2.1时，结果都是收敛。分析：g(x)=l+-,设g(x)1.65,÷,x1.65,+,g(x)=在1.65,+oo上有界，且(x)=X<1,X1.65,+00则由迭代式对任意初始值1.65,+oog(%)=1+,产生的序列都收敛。同时由XXng(x)=l+-!-,可以看到，在/-oo,+oo选取初值，在进行n次迭代后，都会存在一个1.65,此时乙相当于是在1.65,”范围内的初始值，迭代公式产生的序列收敛。所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。Hi)对XN=JE进行迭代运算，选取迭代次数n=20：分别选择初值=-0.6,2.1进行实验，并画出迭代结果的趋势图。编写MATLAB运算程序如下:%迭代法求解%令x=sqrt(l+x)clearn=20;x=-O.5;xl=sqrt(l.+x);fori=l:nxl=sqrt(l+xl);xx(i)=xl;endm=linspace(0,29,n);plot(m,xx,'b')title('x=-O.5')1分析：g()=Jfi+l设g(x)lT,+8,WwT+oo,g)=/在-1,48实数域上有界,且2。X+1产生的序列都收敛。同时<1,/4-1,+00则由迭代式对任意初始值0-l,+oolg(x)=yxll+l由g(x)=Jx,+l可以看至打在XOWo,T选取初值，对迭代结果所产生的虚数的实部和虚部也是收敛的。如初值选取x=3,得到20次的迭代结果如下：实部收敛于1.618,虚部收敛于0,Columns1through51.1688+0.6050i1.4867+0.2035i1.5782+0.0645i1.6058+0.020Ii1.6143+0.0062iColumns6through101.6169+0.0019i1.6177+0.0006i1.6179+0.0002i1.6180+0.0001i1.6180+0.0000iColumns11through151.6180+0.0000i1.6180+0.00(X)i1.6180+0.00(K)i1.6180+0.0000il.6180+0.0000iColumns16through201.6180+0.0000i1.6180+0.00i1.6I80+0.0000i1.6180+0.0000il.6180+0.0000iMl×-3上图是初值选取为-3的迭代结果趋势图，可以看出，当迭代结果为虚数时，迭代结果最终还是收敛的。在进行n次迭代后，实部都会存在一个Z>-1,此时互相当于是在-1,+oo范围内的初始值，迭代公式产生的序列收敛。所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。(3) 线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初值的选取的。比较线性与非线性问题迭代的差异，有何结论和问题。i)对线性方程/(+如)=4()+/(%)，设/(x)=v+b,贝J(x)=°若线性方程的迭代是收敛的，则有If(X)卜同vl,-l<<l对/(x)=r+A而言，o,-)o±,都有xJ(x)e-y+,所以，对任何初值，方程的迭代都是收敛的，不受初值的影响。若线性方程的迭代是发散的，则对任何初值都发散，方程迭代的收敛性也不受初值的影响。n)对非线性方程的迭代，就复杂的多。对于方程迭代发散的方程而言，无论初值如何选择，收敛性是不会改变的。方程的迭代还是发散。对方程迭代收敛的情况而言，若想要使得初值的选择不会影响收敛性，那必须要使得X,f(x)-8,+00并且在某一定点的邻域内，'(x)<l,情况是很复杂的。
